平面（几何）外文翻译资料

平面（几何）

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摘要：在数学上，一个平面指的一个是平的二维表面。一个平面与一个点（零维），线（一维）和三维空间相类似。面可能出现为一些更高维空间的子空间，就好像房间里面的各面墙壁，它们相互独立，如在欧氏几何的设置。当只在两维欧几里得空间中工作，可以定义平面就是整个空间。在处理数学，几何，三角，图论和图形等许多基本任务时，都是在两维空间中进行，换句话说，就是在一个平面上进行。

关键词：平面； 几何； 向量

1、欧几里得几何

主要文章：欧氏几何

数学思想上第一个伟大的具有里程碑意义的成就，不言自明就是欧几里德提出的对几何问题的处理。他选择了不确定项的一个小核心（称为通用概念）和公设（或公理），然后他用其来陈述各种几何的证明。虽然在其现代意义上，平面在任何地方都不直接在给定的元素上定义，它可能会被认为是共同概念的一部分。在工作中，欧几里得从不使用数字来表示长度、角度或区域。所以欧几里得所认为的平面是和笛卡尔平面不太一样的。

平面嵌入三维欧几里得空间

本节只在三个方面涉及面嵌入三维欧几里得空间：具体而言，在R3。

2、通过已知的点和线确定平面

在任何数量维的欧几里得空间，一个平面是可以由以下任一条件唯一确定的：

三个不共线点（点不单行）可以确定一个平面。

一条直线和不在该线上的点可以确定一个平面。

两条不同但相交的线可以确定一个平面。

两条互相平行的线可以确定一个平面。

3、平面的基本性质

下面的陈述是在三维欧几里得空间范围里，而不是在更高维的空间里，虽然它们是高维类似物：

两个不同的平面平行且它们中的线互不相交。

一条直线与一个平面不平行，则它与平面相交于一个点，或者是包含在平面内。

两条不同的线垂直于同一平面，那么这两条线必须彼此平行。

两个不同的平面垂直于同一条线，那么这两个平面必须是相互平行的。

4、用点表示平面方程的一般形式

一条线在一个两维空间中的表达方式，可以使用斜率形式的方程式来进行描述，在三维空间中的平面可以通过平面上的点和平面内的一个向量来描述（该向量为平面的法向量），以表明其“倾向”。

令点 为向量位置上的一些点，令为一个非零向量，由向量位置上的这些点P和这个非零向量就可以确定一个平面，例如由点P₀到P的向量垂直于向量。值得注意的是，两个向量垂直当且仅当两向量的数量积为0。所需平面可以用一些点的集合来描述，例如（这里的积指的是两向量的数量积，而不是标量乘法。扩展上述方程，可写成为，这是一个用点表示平面的方程式。其实这仅仅是一个线性方程，如下所示：

，。

相反，很容易看出，如果a，b，c和d是常数且a，b和c不都为零，则等式是一个具有标准向量的平面。这个熟悉的平面方程被称为平面方程的一般形式。因此，例如形式为的回归方程，在三维空间中建立最佳拟合平面时有两个解释变量。

1. 一个点和两个向量描述一个平面

换句话说，一个平面可以用来自于这个集合中的所有点描述，其中s和t为所有实数， 和 是与平面线性无关的向量，是表示在平面上任意（但是固定）位置的向量。向量 和 可被看为起始于 但沿平面指向不同方向的向量。必须注意的是 和 可以是垂直的，但不能是平行的。

通过三个点，描述一个平面

令 , ,为不共线的三点

方法1

通过P₁，P₂和P₃的平面可以被描述为满足下述行列式方程的所有点（X，Y，Z）的集合：

方法2

为了用这个形式的等式来描述平面，先求解以下方程组：

该方程组可以使用克拉默法则和基本矩阵方法来解决。设：

如果D是非零的值（即平面不通过原点），则a，b和c为：

，，。

对于这些方程里的参数d，设d为任何非零数，将其代入这些公式可以求到具体的a，b和c。

方法3

平面也可以通过“点和法向量”来描述。平面一法向量可由向量积给出，点r₀可采用任何给定的点P₁，P₂或P₃。

6、点到面距离

主要文章：从点到面的距离

平面和不在平面上的点，从该平面到点P₁的最短距离为

由此可见，当且仅当时，点在该平面上。

如果，这意味着一个a，b和c是归一的，则方程可变为。

对于一个平面用另一个向量形式表示的方程被称为依靠参数D的黑森规范式。这种形式为，其中是平面的一个单位法向量，上一个点的的位置向量，D₀是平面到原点的距离。

使用向量可以快速得到更高层面的公式。令平面公式为， 是平面上的一个方向向量，是平面上位置向量上的一个点。根据点来求垂直距离。

该超平面也可通过标量公式表示，即，为常量。同样地， 相应的可以被表示为。我们想要的向量的标量投影在 的方向。设（作为满足超平面的方程），有

两个平面的相交线

记和是两个平面的相交线，其中是标准化的，可由给出，其中，。

通过上述条件可以发现，两个平面的相交线必须垂直于两个平面的法线，且平行于 （此向量积为零当且仅当两个平面是互相平行的，因此两平面是不相交的或者完全重合的）。该表达式的其余部分可以通过线上的任意点得到，具体做法为是这样的，让空间中的任何点都可以被写为， 以为基础。我们希望找到一个同时在两个平面上的点（即在两个平面的交集处），所以插入这个等式到每个平面的方程来，就可以得到两个联立方程，从而可求解C₁和C₂。

如果我们进一步假设，和正交，相交点到原点最近的距离是。如果不是这样的话，那么必须使用一个更复杂的过程来求解。

7、二面角

给定两个相交平面和，面alpha;和面beta;的法向量分别为、，它们之间的二面角被定义为它们各自法向量之间的角度，用公式表示为

1. 平面在数学中的其他领域

除了其相似的几何结构和相对于一般内积等距的同构性，平面可能被视为多元的抽象层次，每一个抽象层次对应具体的类别。

作为一种极端情况，在拓扑平面中没有所有与度量相关的的几何概念，这可以被想象为一种理想化的平凡的无限可弯曲的橡胶板，这种橡胶板上没有距离却有着比邻的概念，拓扑平面有线性的轨道，但没有直线的概念。邻域它等同于开放的圆盘是基本的拓扑结构，由它构造曲面（2维流形）并且在低维拓扑中对曲面进行分类。拓扑平面的同构指的是连续双射，它是图论中平面图的自然延伸，其中著名的结论有四色定理等。

平面也可以看作仿射空间，这里的同构指的是变换和非奇异线性映射的结合，这里没有距离，但共线性和线性比例被保存了起来。

微分几何观点下的平面被看作2维的实流形，即带有微分结构的拓扑平面。在这里，同样也没有距离的概念，但有平滑映射的概念。例如，可微的或光滑路径（取决于微分结构运用类型）。此时，同构指的是带有可微性程度的双射。

抽象的另一方面，我们可以将几何平面运用于兼容的领域，提升为复平面，这主要在复分析中应用。复平面只有两个同构，固定实数线，考虑其本身以及其共轭的同构。

与实数情形相类似，复平面也可能被看作最简单的，一维（复数）复流形，有时也被称为复直线，然而这种观点与2维情况下的实流形形成了鲜明的对比。这里，同构指的都是复平面上的共形双射，其唯一的可能性是由复数乘以变换而得的映射。

此外，欧几里德几何学（其任何地方都具有零曲率）并不是平面上具有唯一几何学说。平面也可以认为是通过立体投影而得到的几何形状，这可以看成是将一个球体放置在一个平面（就像在地板上放一个球一样），去掉球顶部的最高点，从这个视角把球投影在平面上。这种投影方法可以运用到地球表面的部分平面图。由此产生的几何体具有恒定的正曲率。

同样地，平面也可以给出一个度量标准赋予它恒定负曲率和认为它是双曲片面，后者可能发现运用在有两个空间维度和一个时间维度的狭义相对论简化的情况中（双曲平面是三维闵可夫斯基空间里的一个时间型超曲面）。

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Plane (geometry)

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a plane is a flat, two-dimensional surface. A plane is the two-dimensional analogue of a point (zero dimensions), a line (one dimension) and three-dimensional space. Planes can arise as subspaces of some higher-dimensional space, as with the walls of a room, or they may enjoy an independent existence in their own right, as in the setting of Euclidean geometry.

When working exclusively in two-dimensional Euclidean space, the definite article is used, so, the plane refers to the whole space.

Many fundamental tasks in mathematics, geometry, trigonometry, graph theory and graphing are performed in a two-dimensional space, or in other words, in the plane.

Contents

• 1 Euclidean geometry
• 2 Planes embedded in 3-dimensional Euclidean space
  • 2.1 Determination by contained points and lines
  • 2.2 Properties
  • 2.3 Point-normal form and general form of the equation of a plane
  • 2.4 Describing a plane with a point and two vectors lying on it
  • 2.5 Describing a plane through three points
    • 2.5.1 Method 1
    • 2.5.2 Method 2
    • 2.5.3 Method 3
  • 2.6 Distance from a point to a plane
  • 2.7 Line of intersection between two planes
  • 2.8 Dihedral angle
• 3 Planes in various areas of mathematics
• 4 Topological and differential geometric notions
• 5 See also
• 6 Notes
• 7 References
• 8 External links

Euclidean geometry

Main article: Euclidean geometry

Euclid set forth the first great landmark of mathematical thought, an axiomatic treatment of geometry.^[1] He selected a small core of undefined terms (calledcommon notions) and postulates (or axioms) which he then used to prove various geometrical statements. Although the plane in its modern sense is not directly given a definition anywhere in the Elements, it may be thought of as part of the common notions.^[2] In his work Euclid never makes use of numbers to measure length, angle, or area. In this way the Euclidean plane is not quite the same as the Cartesian plane.

Planes embedded in 3-dimensional Euclidean space

This section is solely concerned with planes embedded in three dimensions: specifically, in R³.

Determination by contained points and lines

In a Euclidean space of any number of dimensions, a plane is uniquely determined by any of the following:

• Three non-collinear points (points not on a single line).
• A line and a point not on that line.
• Two distinct but intersecting lines.
• Two parallel lines.

Properties

The following statements hold in three-dimensional Euclidean space but not in higher dimensions, though they have higher-dimensional analogues:

• Two distinct planes are either parallel or they intersect in a line.
• A line is either parallel

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