映射外文翻译资料

映射

实变量的实函数的性质往往可以通过它们的图形表现出来，但是当，其中w和z是复变量的时候，就不容易找到这样方便的图形来表示函数，这是因为z和w在一个平面上而不是在一条直线上．即便如此，我们也可以通过表示相应的点和来展示函数的某些性质．这样做时，一般分别在z平面和w平面画出它们．

当我们用这样的方式去考虑一个函数时，通常把它视为映射或变换．点z在定义域S上的像是点，所有包含于S内的T中点的像的集合称为T的像集．整个定义域S的像称为f的值域．一个点w的逆像指的是在定义域中以w为像的点z的集合，一个点的逆像可以是单个点，多个点，或者是空集．当一个点的逆像是空集时，理所当然地，它就不在的值域中．

诸如平移、旋转、反射这样的概念将被用于表达映射的几何特征，在这样的情况下，有时把平面z和平面w等同是很方便的，例如对于映射

这里可以被认为是向右平移一个单位．因为，所以映射

把每一个非零的z的向量半径绕原点按逆时针方向旋转一个直角，这里；映射

把每一个以实轴为轴做反射．

通常我们可以通过描述像曲线或是区域来获得更多的关于映射的信息，这样往往比简单的表示单个的点更有力．在如下的例子中，我们将通过对的研究来说明这一点．我们开始寻找一些在z平面中曲线的像．

例1 根据第12节的例2，映射可以被视为是如下的变换：

(1)

映射从xy平面到uv平面，这种形式对于找到双曲线的像是非常有用的．

比如很容易验证，双曲线

(2)

的每一支是以一对一的方式映射到垂直直线上，我们注意到当是在两个分支中某一个分支上时，从方程(1)得到．特别是当在双曲线的右半平面的分支上时，由(1)的第一个等式，我们有，因此右分支的图像可以用参数坐标表示为

显然当点沿着双曲线的分支向上移动时，这个点的像点也以向上的方向沿整个直线移动（如图17）．类似地，由于方程对

表示的是位于左半平面的双曲线的图形的参数表示，当点沿着左半平面的双曲线向下移动时，可以看出像点是沿着直线向上移动的．

从另一方面来说，双曲线

(3)

的每一个分支正如图17所示，都被映为直线．为了证明这一点，我们注意到从(1)的第二个方程得到：当在每一分支上时，有．如果它在第一象限的分支上，那么由，方程(1)的第一个等式揭示了这一分支有如下的参数表示

注意到

且

由于u连续地依赖x，很清楚当沿着双曲线(3)的上面一支向下运动时，它的像沿着整个水平直线向右运动．由于双曲线(3)的下面的一个分支有参数表示

并且由于

且

可以知道当点沿着双曲线(3)在下半平面一支由下向上运动时，它的像沿着整个水平直线向右运动（如图17所示）．

下面我们用例1来找出一些区域的像：

例2 区域是由满足的上半双曲线上的点组成，其中（如图18），由例1我们知道当一个点沿这些分支当中的一个向下移动，那么它的像就在映射的作用下沿线向右移动．因为当c取值在0和2之间时，这些分支盖满了区域，整个区域被映为水平带形区域．

由方程(1)，可见，平面z上的点的像为，因此当沿y轴向下向原点移动，它的像沿负的u轴向右移动并在w平面达到原点．那么，既然点的像是，当沿x轴从原点向右移动，它的像也沿u轴自原点向右移动．双曲线在上半平面分支理所当然地就是水平直线，那么很明显地，闭区间被映为闭带形，如图18所示．

我们将要看到极坐标在分析映射的时候是多么的有用．

例3 用极坐标表示，那么可以写为

(4)

其中．很明显要找到每一个非零的z的像，只要把z的模平方，再把它的幅角arg z变为两倍即可．

(5) 且

可以观察到圆周上的点被映为圆周上的点．因为第一个圆周上的点以逆时针的方向从正实轴向正虚轴移动（如图19所示），它的像的图形在第二个圆周上以逆时针的方向从正实轴向负实轴移动（参看图19）．因此当取遍所有正实数，相应的z和w平面上的弧就可以分别盖满第一象限和上半平面．映射在平面的第一象限是一一对应的，并将其映为平面w的上半平面，如图19所示，点自然而然地就被映为点．

映射也将上半平面映为整个w平面．然而在这种情况下它不是一一对应的，这是由于z平面上的正实轴和负实轴都被映为了w平面上的正实轴．

当n是一个大于2的正数的时候，映射（即）的各种性质都和的性质相似．这样的一个映射把z平面映为w平面，且w平面上的每一个非零点都是z平面上n个不同点的像．圆周被映为圆周；扇形被映为圆盘，且不是一一对应的．

其他的，但稍微复杂的映射，出现在第97节例1中和那一节1至4的练习中。

在第3章里我们将介绍和研究不是多项式的一些初等函数的性质，第3章将以下面的指数函数开始：

(1)

在这里两个因子和是有定义的（见第6节）．注意定义(1)可以被写为

这可以从微积分中广为人知的指数函数运算公式

得到提示．

这一节的目的就是要用向读者再提供其他一些推理比较简单的映射例子，我们从考察水平线和垂直线的像开始．

例1 映射

(2)

可以写为，这里，根据式（1）．因此，如果，映射(2)可以表示为

(3)

在竖直的直线x=上的点的像在w平面上有极坐标，当z沿 向上移动，像也沿图20所示的圆周逆时针方向移动．直线的像显然就是整个圆周；圆周上的每一个点都是直线上间隔为的无数多个点的像．

水平的直线被一一地映到射线上，为了表明这一点，我们注意到点的像有极坐标．于是很明显：当点z沿整条直线从左向右移动，它的像沿整条射线向外移动（如图20所示）．

水平和竖直的线段分别被映为射线的一部分和圆弧；通过观察例1很容易就可以得到各种区域的像，这就是下面的例子将要表明的．

例2 我们将要表明映射将长方形区域映为区域．这两个区域相应的部分和它们的边界可见图21．竖直线上的线段AD被映到圆弧，记为．在AD右侧连接水平边界的线段BC的像是更大的圆弧；显然，线段BC的像是圆弧，记为．当时，映射是一一的，特别是如果，那么；并且长方形区域被映为半圆环（如附录B图8所示）．

在这里我们用水平线的像去找出水平带形的像

例3 当时，无限带形的像为w平面的上半平面（如图22），这一点可以通过回忆例1中水平直线映为从原点出发的射线而得到．当实数c从增加到，y的截线从0增加到，相应射线的倾斜角从增加到．这个映射正如附录B图6所示，其两个区域对应边界上的点都已标明．

外文文献出处：Brown.J.W(USA).Complex functions and Applications (English version) [M].The 8th Edition. Beijing:China Machine Press,2009:38-44.

外文文献原文附后

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