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DOI 10.1007/s10469-017-9434-9

代数和逻辑，卷。56, No.2017年5月2日

(俄罗斯原始卷。56, No.2017年3月-4月2日)

适用于阿贝尔群类的通用不变量

A.A.Mishchenko1 ， V.N.Remeslennikov2 ，和A.V.treier3

UDC 512.54.01

关键词：阿贝尔群，不变量，泛等价性。

我们为证明了交换群的普遍等价性证明了的Szmielew定理的一个类比。

绪论

W.Szmielew在[1]中解决了阿贝尔群的初等等价问题。这里证明了以下结果，若的初等不变量值与的初等不变量值一致，则阿贝尔群和是基本等价的(基本等不变量的定义见1.3节).

本文的目的如下。我们用普遍理论代替交换群的基本理论，并引入一个普适不变量作为的序列。

,

其中是一个由初等不变量的值组成的向量。是一个素数，我们证明了交换群普遍等价的兹米卢定理的类模拟（定理 3.1). 然后，我们对阿贝尔群的任意泛类进行了分析，将其划分为两个集：主泛类和非主泛类。

根据命题1.3，一个群的泛类完全由其在中有限生成子群的同构类型集来定义。在集合上，包含下的偏序以自然的方式定义，如果偏序是有向的，则类K是主类。我们定义了主类的普适不变量，并证明了此类阿贝尔群的普适类的Szmielew定理的一个类比（定理4.1）

我们在第五节引入了一组正则阿贝尔群的，每个主泛类有一个代表（定理.5.2）。此外，在第六节，我们提出了主要普适类的公理系统（定理6.1和6.2）。本文中使用的关于阿贝尔群的事实包含在[2,3]中，关于模型理论的信息可以在[4-6]中找到。

1 . 预备知识

1 . 1 . 普遍等价性与可判别性之间的相互关系。在本节中，我们将讨论普遍理论的两个基本概念之间的关系：交换群的有限图的概念和类与的局部可判别性的概念。

我们回顾了模型理论中的一些定义。设L=( ，minus;，0gt;是一种组语言和X={x1, ...,xn , ...}是一组字母。原子公式是X字母中的项的不等式。原子公式的有限集S称为有限图。我们说一个字母x中 的有限图S1, ...，如果存在元素M，则在L的模型M中实现xn1, ...，M中的mn，其中满足S的所有原

V

子公式。在公式语言中，这意味着模型M满足一个存在性公式ϕs= 3x1, ...,xn ϕ(x1, ...,xn).否

定not;ϕs的

ϕisin;S

ϕs是一个通用公式。如果通用公式not;ϕs在M上满足，那么它没有一个n个元素的元组来满足公式ϕs.换句话说，一个通用公式定义了一个在M中没有实现的有限图，这种有限图被称为禁止图。我们用FD(M) 表示在M中实现的所有有限图的集合，用Forb(M)表示所有禁止的有限图的集合。

定义1.1。一个a组的普遍理论ThA(A)是群体语言中在a组中成立的所有普遍公式的集合。 我们说A组A和B是普遍等价的(写Aequiv;A B)，如果他们有相同的普遍理论。

上面的论点需要

引理1.1。设A和B是两组。以下条件基本相同：

1. A和（1）B是普遍等价的；
2. fd(a)=fd(b)；
3. 论坛(A)=论坛(B).

对于一个群G，FS(G)表示G的有限子群的同构类型的集合。

引理1.2。当且仅当FS(A)=FS(B).时，两个周期交换群A和B普遍等价

证据。如果一个有限图是在a上实现的，那么，根据定义，它是在a中的一些有限生成的子群上实现的。由于A和B是周期的和交换的，所以它们中的每个有限生成的子群都是有限的。此外，每个有限 子群都可以用一个有限图来定义。这立即意味着引理的陈述。

推论1.1。由周期交换群组成的通用类的普遍理论与该类中包含的有限群的普遍理论是一致的。 设K是一类交换群。用FD(K)表示在K类的某个模型M中实现的所有有限图的集合。任意存在公式ϕ

可以写成ϕ=3x的形式1, ...，xn^Si在哪里司是K类中的有限图。如果ϕ对K不满意，

i

那么ϕ的否定是一个以not;ϕ=Ax形式的通用公式1 , . . . , x n V not; 司.公式

i

not;ϕ在所有的有限图上都得到了满足司在K上被驳斥。换句话说，K满足所有的公式ϕi= Ax1, ...,xnnot;

司；所有这些有限的图司都被认为是被禁止的。用Forb(K)表示K类的所有模型M中所有禁止的有限图 的集合。与Forb(K)中的图表对应的一组公式用Phi;(Forb(K))表示。集合Forb(K)自然地赋予了部分阶 结构。设Phi;min(Forb(K))是对应于集合Forb(K)的最小元素的公式。上面的论点需要

推论1.2。（1）公式的集合Phi;(Forb(K))是交换群的一个类K的普遍理论的一组公理。

（2）公式的集合Phi;min(Forb(K))也是阿贝尔群的一个类K的普遍理论的一组公理。 在[8]之后，我们将阐述本节的第二个基本概念。

定义1.2。如果对于任何不同元素的有限元组a，组a由类K区分1, ...，一个isin;a，存在一个群Bisin;K和一个同态ϕ：一个→B，使图像ϕ(a1), ...，ϕ(an)在B组中是不同的。

用Dis(K)表示由类K区分的所有这些类A的同构类型集，以及由发件人(K)Dis(K）中有限生成群的 同构类型的集合。如果A组被K={B}类区分，则A组被B组区分。如果有任何有限生成的子群，则组A被类K局部判别A0对A的歧视是由K类造成的歧视。

定义1.3。头等K1（本地）是否受到一个阶级的歧视K2如果每个（有限生成的）A组都在K1是否受 到了阶级的歧视K2.

可辨别性的概念与两组之间的普遍等价的概念密切相关。我们所需要的[7]的结果如下所示： 引理1.3[7]。设A是语言L中的等式诺瑟代数。对于L中有限生成的代数B，以下条件是等价的：

（1），(A)sube;和(B)；

（2）B被A区分。

在[7]中引入了诺瑟尔代数的概念，对于a组，将其命名如下。对于有限多未知数中的任何无限方 程组S，群A都存在它的有限子系统S0使S的解与解重合S0.在[8]中，证明了每个交换群都是等式的诺瑟群。我们将引理1.3扩展到交换群的类。

引理1.4。让K1和K2是两类交换群。以下的陈述是等价的：

1. ) Th A (K 1 ) sube; Th A (K 2 );
2. K2是局部区分的K1.

证据。（2）rArr;（1）在[8]中，证明了一类阿贝尔群及其任何子类都是等式的诺瑟类。假设S是一 个有限的图，not;ϕs不属于ThA(K2)，而A是一个群体K2.然后not;ϕs 塔(A)，对于一些有限生成的子群A 的。组A是否受到了阶级的歧视K1.因此，对于图S，在中存在一个B组K1和B的元素，使S在这些元素上实现。然后not;ϕs 塔(K1)，因此是ThA(K1)sube;ThA(K2)。

（1） rArr;（ 2）LetThA( K1) sube; ThA(K2)，B是一组中的一组K2，而Sisin;FD(B)是一个在元素b上实现的有限图1, ...,bn isin; B .假设B0是B生成的子组1, ...,bn .因为B是一个交换群，所以这个子群B0可以用有限多的关系来定义；i。e.,B0有类似的表示

B0 = (b1, ...,bn | r1(b) = 0, ...,rk (b) = 0〉.

我们将有限图S扩展到一个有限图S= S n{r1(b) = 0, ...,rk (b) = 0}.显然，S也在B中实现了。从S，我们构造了一个通用的公式not;ϕs .显然not;ϕs ThA(K2)，因此not;ϕs塔(K1). 因此，存在一个组aisin;K1这样的有限图S是在元素a上实现的吗1, ...，并且存在一个同态ϕ：B0→A，这样的ϕ(bi)=艾, i = 1, ...,n.因此，k2被k1进行局部区分。

用FG表示所有有限生成的交换群的同构类型集。设K是某一类交换群。用FG(K)表示类K中有限生 成群的同构类型的集合，用ucl(K)表示K，i的通用闭包。e., ThA(K)的所有模型的集合。

推论1.3。对于一个集合Lsube;FG，存在一个具有L=FG(K)性质的通用类K，当且仅当

发件人( L ) = L .

证据。设L=FG(K)对于某个通用类K。由于L只由有限生成的组组成，所以Lsube;发件人(L). 我们主张逆包含。让Gisin;发件人(L). 通过引理1.4，Gisin;ucl（isin;），因此发件人(L) sube; ucl (L) = K.自从发件人(L)只由有限生成的组组成，发件人(L) sube; FG (K) = L.

相反，让L = Disfg（=），并考虑一个类K=ucl（=）。然后FG(K)=FG（=(L)）=FG（=（L(L)）

=FG（L(L)）=Disfg(L)=L。

下面的定理是众所周知的。

定理1.1。每两个无扭力的交换群都是普遍等价的。

为了方便读者，我们利用上述概念和结果对该定理进行了证明。无扭转交换群a的有限生成子群为 Zk型群，利用引理1.3，足以证明以下几点：

引理1.5。交换群Z和Zk对任何kisin;N相互区别。因此，Z和Zk对于任何k-isin;-N都是普遍等价的。 证据。显然，Z是由Zk自Zlt;Zk.

我们展示了Zk被Z区分开来。为了做到这一点，根据定义，我们需要声明，对于任意数量的非平凡元素h1, ...,hn isin;Zk，存在一个同态ϕ：Zk在→Z下，这些元素的图像不同于0。我们解释Zk作为秩k的整数格；然后是元素h1, ...，hn可以表示为

h1= (alpha;11, ...,alpha;1k),

...

hn = (alpha;n1 , ...,alpha;nk),

在哪里alpha;ijisin; Z.考虑一组由长度为k的整数向量索引的同态，ϕm1,...,mk:Zk→Z，其作用方法如下

：

ϕm 1,...,mk(alpha;1, ...,alpha;k) = m1alpha;1 m2alpha;2 mkalpha;k ....

如果一个向量alpha;定义了该组中的一个元素Zk，而向量m为

同态，然后是ϕm(a)是这两个向量的标量积m·a。对于两个非零向量，如果两个向量不垂直，标量积 是不同零的。考虑一个

矢量h1.在空间Zk中，该向量对应于一个维数为kminus;1的垂直超平面；同样，其他向量也会符合超平面

。这样的超平面的数量是有限的，因此它们不能覆盖整个空间Zk.因此，一定有 存在一个不属于这些超平面中的任何一个的向量m。因此，有一个

同态ϕm哪个将翻译所有的元素h1, ，即非零元素。因此，小组Zk被Z组所歧视。Z组和Zk相互区分

，通过引理1.3，它们对于任何kisin;N都是普遍等价的。

对于任意类K，我们定义delta;(K)如下：delta;(K)=0，如果存在一个数字misin;isin;，这样aisin;a=0，否则delta;(K)=1。

引理1.6。设K是交换群的一个通用类。然后FG(K)包含一个组Zk，其中kisin;N，当且仅当delta;(K)=1。 证据。让Zisin;K。然后delta;(K)=1。相反，让delta;(K)=为1。假设ZFG(K)。 然后是delta;(FS(K))=1和

Zisin;Disfg(FG(K))。通过推论1.3，我们得到了Zisin;FG(K)，并且通过引理1.5，FG(K)包含了该形式的所

有组Zk，其中kisin;N。

1 . 2 . 关于通用类的一些事实。设L是一种语言，K是l系统的一类。我们说类K是通用的，如果它是由语言L中的通用公式公理化的。下面给出的事实在模型理论中是众所周知的。

命题1.1。当且仅当满足以下条件时，一个类K是可公理化的：

1. ，如果Misin;K和M元素等价于一个l系统N(写的Mequiv;N)，则Nisin;K；
2. 如果{Miisin;K，iisin;I}是系统的集合，D是一个集合I上的超滤器，M是一个 在D上的超微产物，那么M也属于K类。

命题1.2。当且仅当满足以下条件时，类K是普遍公理化的：

1. K是可公理的； 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

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