linear algebra

Vectors and vector spaces

Linear algebra usually starts with the study of vectors, which are understood as quantities having both magnitude and direction. Vectors lend themselves readily to physical applications. For example, consider a solid object that is free to move in any direction. When two forces act at the same time on this object, they produce a combined effect that is the same as a single force. To picture this, represent the two forces v and w as arrows; the direction of each arrow gives the direction of the force, and its length gives the magnitude of the force. The single force that results from combining v and w is called their sum, written v w. In the figure, v w corresponds to the diagonal of the parallelogram formed from adjacent sides represented by v and w.

Vectors are often expressed using coordinates. For example, in two dimensions a vector can be defined by a pair of coordinates (a₁, a₂) describing an arrow going from the origin (0, 0) to the point (a₁, a₂). If one vector is (a₁, a₂) and another is (b₁, b₂), then their sum is; this gives the same result as the parallelogram (see the figure). In three dimensions a vector is expressed using three coordinates , and this idea extends to any number of dimensioRepresenting vectors as arrows in two or three dimensions is a starting point, but linear algebra has been applied in contexts where this is no longer appropriate. For example, in some types of differential equations the sum of two solutions gives a third solution, and any constant multiple of a solution is also a solution. In such cases the solutions can be treated as vectors, and the set of solutions is a vector space in the following sense. In a vector space any two vectors can be added together to give another vector, and vectors can be multiplied by numbers to give “shorter” or “longer” vectors. The numbers are called scalars because in early examples they were ordinary numbers that altered the scale, or length, of a vector. For example, if v is a vector and 2 is a scalar, then 2v is a vector in the same direction as v but twice as long. In many modern applications of linear algebra, scalars are no longer ordinary real numbers, but the important thing is that they can be combined among themselves by addition, subtraction, multiplication, and division. For example, the scalars may be complex numbers, or they may be elements of a finite field such as the field having only the two elements 0 and 1, where 1 1 = 0. The coordinates of a vector are scalars, and when these scalars are from the field of two elements, each coordinate is 0 or 1, so each vector can be viewed as a particular sequence of 0s and 1s. This is very useful in digital processing, where such sequences are used to encode and transmit data.

Linear transformations and matrices

Vector spaces are one of the two main ingredients of linear algebra, the other being linear transformations (or “operators” in the parlance of physicists). Linear transformations are functions that send, or “map,” one vector to another vector. The simplest example of a linear transformation sends each vector to c times itself, where c is some constant. Thus, every vector remains in the same direction, but all lengths are multiplied by c. Another example is a rotation, which leaves all lengths the same but alters the directions of the vectors. Linear refers to the fact that the transformation preserves vector addition and scalar multiplication. This means that if T is a linear transformation sending a vector v to T(v), then for any vectors v and w, and any scalar c, the transformation must satisfy the properties .

When doing computations, linear transformations are treated as matrices. A matrix is a rectangular arrangement of scalars, and two matrices can be added or multiplied as shown in thetable. The product of two matrices shows the result of doing one transformation followed by another (from right to left), and if the transformations are done in reverse order the result is usually different. Thus, the product of two matrices depends on the order of multiplication; if S and T are square matrices (matrices with the same number of rows as columns) of the same size, then ST and TS are rarely equal. The matrix for a given transformation is found using coordinates. For example, in two dimensions a linear transformation T can be completely determined simply by knowing its effect on any two vectors v and w that have different directions. Their transformations T(v) and T(w) are given by two coordinates; therefore, only four coordinates, two for T(v) and two for T(w), are needed to specify T. These four coordinates are arranged in a 2-by-2 matrix. In three dimensions three vectors u, v, and w are needed, and to specify T(u), T(v), and T(w) one needs three coordinates for each. This results in a 3-by-3 matrix.

Eigenvectors

When studying linear transformations, it is extremely useful to find nonzero vectors whose direction is left unchanged by the transformation. These are called eigenvectors (also known as characteristic vectors). If v is an eigenvector for the linear transformation T, then T(v) = lambda;v for some scalar lambda;. This scalar is called an eigenvalue. The eigenvalue of greatest absolute value, along with its associated eigenvector, have special significance for many physical applications. This is because whatever process is represented by the linear transformation often acts repeatedly—feeding output from the last transformation back into another transformation—which results in every arbitrary (nonzero) vector converging on the eigenvector associated with the largest eigenvalue, though rescaled b

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附录A 译文

线性代数

线性代数，处理向量和矩阵的数学学科，更一般地说，处理向量空间和线性变换。与经常被新想法和未解决的问题所激发的数学其他部分不同，线性代数被很好地理解了。它的价值在于它的许多应用，从数学物理到现代代数和编码理论。

向量和向量空间

线性代数通常从研究向量开始，向量被理解为同时具有大小和方向的量。矢量很容易用于物理应用。例如，考虑一个可以向任何方向自由移动的实体对象。当两个力同时作用于这个物体时，它们会产生与单个力相同的组合效应。为了描绘这一点，将两个力和表示为箭头；每个箭头的方向给出了力的方向，其长度给出了力的大小。由和组合产生的单个力称为它们的总和，写为。在图中，对应于由和表示的相邻边形成的平行四边形的对角线。

矢量通常使用坐标表示。例如，在二维空间中，一个向量可以由一对坐标定义描述从原点到点。如果一个向量是，而另一个是，则它们的总和为，这给出了与平行四边形相同的结果（见图）。在三维空间中，向量使用三个坐标，这个想法延伸到任何数量的维度。

在二维或三维空间中将向量表示为箭头是一个起点，但线性代数已应用于不再合适的上下文中。例如，在某些类型的微分方程中，两个解的总和给出了第三个解，并且解的任何常数倍也是解。在这种情况下，可以将解视为向量，并且解集是以下意义上的向量空间。在向量空间中，可以将任何两个向量相加以得到另一个向量，并且向量可以乘以数字以得到“较短”或“较长”的向量。这些数字被称为标量，因为在早期的例子中，它们是改变向量比例或长度的普通数字。例如，如果是向量，是标量，则是与方向相同但长度是其两倍的向量。在线性代数的许多现代应用中，标量不再是普通的实数，但重要的是它们可以通过加法，减法，乘法和除法在它们之间组合。例如，标量可以是复数，也可以是有限域的元素，例如只有两个元素和的域，其中。向量的坐标是标量，当这些标量来自两个元素的场时，每个坐标为或，因此每个向量可以被视为和的特定序列。这在数字处理中非常有用，其中此类序列用于编码和传输数据。

线性变换和矩阵

向量空间是线性代数的两个主要成分之一，另一个是线性变换（或物理学家所说的“算子”）。线性变换是将一个向量发送到另一个向量或“映射”到另一个向量的函数。线性变换的最简单的示例将每个向量发送到乘以自身，其中是某个常量。因此，每个向量都保持在同一方向上，但所有长度都乘以。另一个例子是旋转，它使所有长度保持不变，但会改变矢量的方向。线性是指变换保留向量加法和标量乘法的事实。这意味着，如果是将向量发送到的线性变换，则对于任何向量和以及任何标量，变换必须满足属性和。

执行计算时，线性变换被视为矩阵。矩阵是标量的矩形排列，两个矩阵可以相加或相乘，如表，两个矩阵的乘积显示执行一个转换后再执行另一个转换的结果（从右到左），如果转换以相反的顺序完成，则结果通常是不同的。因此，两个矩阵的乘积取决于乘法的顺序;如果和是相同大小的平方矩阵（与列具有相同行数的矩阵），则和很少相等。给定变换的矩阵是使用坐标找到的。例如，在二维空间中，线性变换可以完全确定，只需知道它对具有不同方向的任何两个向量和的影响即可。它们的变换和由两个坐标给出;因此，只需四个坐标，两个用于，两个用于，即可指定。这四个坐标排列在矩阵中。在三维空间中，需要三个向量、和 ，并且要指定、和，每个向量需要三个坐标。这将生成一个矩阵。

特征向量

在研究线性变换时，找到方向因变换而保持不变的非零向量非常有用。这些称为特征向量（也称为特征向量）。如果是线性变换的特征向量，则对于某个标量，则。此标量称为特征值。最大绝对值的特征值及其相关的特征向量对许多物理应用具有特殊意义。这是因为线性变换所表示的任何过程通常都会重复运行 - 将上一次变换的输出反馈到另一个变换中 - 这导致每个任意（非零）向量都收敛于与最大特征值相关的特征向量，尽管通过特征值的幂重新缩放。换句话说，系统的长期行为由其特征向量决定。

寻找线性变换的特征向量和特征值通常使用矩阵代数来完成，矩阵代数最初由英国数学家在世纪中叶开发。他的工作为现代线性代数奠定了基础。

矩阵和线性变换

让一个成为矩阵，比如说

如果你乘以什么，你会得到什么一个通过向量记住矩阵乘法，我们看到

如果我们定义一个函数，我们创建了一个由三个变量组成的函数其输出为二维向量。使用函数符号，我们可以写.我们创建了一个由三个变量组成的向量值函数。因此，例如，。给定任何矩阵B，我们可以定义一个函数（注意顺序和切换），哪里是一个维向量。再举一个例子，如果

然后函数哪里是

通过这种方式，我们可以将一个函数与每个矩阵相关联。反之亦然呢？给定一些功能，比如说，我们可以关联一些矩阵？我们只能在以下情况下是一种称为线性变换的特殊函数。功能是线性变换，如果是变量之一的次数。因此，例如，函数和是线性变换，但以下函数都不是：，或。请注意，我们从上面的矩阵中获得的两个函数都是线性变换。

让我们来看看这个函数，这是一个线性变换自.矩阵一个相关将是一个矩阵，我们将编写为

我们需要一个满足哪里。

最简单的查找方法一个是是如下内容，如果我们让，然后是的第一列一个（你能看到吗？），所以我们知道的第一列一个只是

同样，如果，然后是的第二列一个，即

把这些放在一起，我们看到线性变换与矩阵相关联

重要的结论是，每个线性变换都与矩阵相关联，反之亦然。

矩阵和向量相乘

矩阵向量积

定义矩阵之间的乘法 一个和向量即矩阵向量积），我们需要将向量视为列矩阵。我们仅定义矩阵向量积，用于一个等于中的行数，因此，如果是一个矩阵（即列），然后是定义为列向量。如果我们让，然后是一个列向量。换言之，行数一个（可以是任何东西）确定产品中的行数。

矩阵向量积的一般公式为

虽然乍一看可能令人困惑，但矩阵向量乘法的过程实际上非常简单。一个取点积每行一个。（这就是为什么的列数在一个必须等于)矩阵向量积的第一个分量是。事实上，如果只有一行，矩阵向量积实际上是伪装的点积。

例如，如果

和。然后

矩阵-矩阵乘积

由于我们将向量视为列矩阵，因此矩阵向量积只是矩阵和矩阵乘积（即两个矩阵之间的乘积）的一个特例。就像矩阵向量积一样，乘积矩阵之间仅当一个等于中的行数。在数学术语中，我们说我们可以将矩阵由矩阵（如果碰巧是，然后将是一个的列向量，我们将返回到矩阵向量积）。

乘积是一个我们称之为矩阵，即。计算，我们把B作为一堆列向量彼此相邻排列：

则的每列是的矩阵向量积一个与相应的列。换句话说，组件在的第行和第列是点积是的第行和第列。在数学中，我们编写以下组件

一个例子帮助使该过程变得清晰。让成为矩阵

和成为矩阵

然后

行列式和线性变换

线性变换：（困惑？）是映射从维空间到维空间。这样的线性变换可以是与矩阵。

如果我们将自己限制在同一空间内的映射中，例如然后与正方形相关联矩阵。人们可以计算出这种平方矩阵的行列式，并且这些行列式与面积或体积有关。事实证明，矩阵的行列式告诉我们其相关线性变换的重要几何性质。我们将为一维、二维和三维线性变换概述这种关系。

一维线性变换

一维线性变换是一个函数对于某些标量要以与查看高维线性变换相同的方式查看一维情况，我们可以查看作为矩阵。行列式矩阵只是数字本身。虽然这种情况非常简单，但我们可以通过首先查看这种情况来收集有关线性映射的一些直觉。

一个示例一维线性变换是函数。我们可以通过其图形来可视化此函数，该图形是一条穿过斜率为的原点的线。但是，相反，让我们将其视为从实际线开始的映射回到真正的生产线。在这种情况下，我们将函数，它映射数字在轴到新数字在轴。取数字并将其映射到。将映射到和-1/2映射到-3/2。我们还使用语言，即3是映射下1的图像。

我们可以通过查看如何来总结此映射映射数字间隔。例如映射间隔[0,1]到间隔[0,3]，如下图所示。我们对间隔进行了着色[0,1]及其形象[0,3]带有绿色到红色渐变，说明区间中的每个点是如何映射的中给定颜色的点[0,1]映射到图像中相同颜色的点[0,3]。

矩阵的行列式与T为3表示T拉伸对象，使其长度增加3倍。由于行列式为正，T保留对象的方向：在两个区间[0,1]及其形象[0,3]，则红色点位于绿色点的右侧。

另一个例子是线性变换T(x)=minus;12x.如下图所示，T映射间隔[0,1]到区间[-12,0].与关联的矩阵的行列式T是minus;12.由于此行列式的大小为12,T将对象缩小到其原始长度的一半。负行列式表示T反转对象的方向：如颜色所示，间隔右侧[0,1]映射到区间的左侧[minus;1/2,0].

一般来说，线性变换T(x)=ax拉伸对象以将其长度更改一个系数|a|.如果a为阳性，T保持方向;如果a为负数，T反转方向。我们将根据相关矩阵的行列式获得更高维线性变换的类似结论。

二维线性变换

二维线性变换是一个函数T:R²→R²的形式

a,b,c和d是定义线性变换的数字，我们可以更简洁地写成

T(x)=Ax

x=(x,y)和A是2times;2包含定义线性变换的常量的矩阵，

我们将把T作为映射对象从xy飞机上x′y′：(x′,y′)=T(x,y).与一维情况一样，此映射的几何属性将反映在矩阵的行列式中A相关T.

首先，我们来看看线性变换

与所有线性变换一样，它映射原点x=(0,0)回到原点(0,0).我们可以感受到T通过观察它在标准单位向量上的作用，i=(1,0)和j=(0,1).T地图(1,0)自(minus;2,0)，并绘制地图(0,1)自(0,minus;2).它将两个向量拉伸了一个因子2并将它们一直旋转pi;弧度。

为了更好地可视化T，我们可以检查它如何在平面中映射区域。下图显示了(x′,y′)=T(x,y)在单位正方形上[0,1]times;[0,1].我们将正方形的四分之一着色为不同的颜色，以帮助可视化正方形内的点是如何映射的。该图表明T确实旋转了正方形pi;围绕原点的弧度，并将每侧拉伸2倍。

我们声称这种行为应该反映在相关矩阵的行列式中。

在这种情况下，det(A)=(minus;2)(minus;2)minus;(0)(0)=4.行列式是4，即使它似乎将所有内容都串起了2倍。行列式是正的，即使它旋转了所有内容，以便将右侧的点映射到左侧的点，并将顶部的点映射到底部的点。难道我们不应该得到一个负决定因素吗？

获得因子4而不是2的原因是2times;2矩阵反映的是面积而不是长度。事实上，行列式的绝对值2times;2矩阵

给出由向量跨越的平行四边形的面积(a₁,a₂)和(b₁,b₂).映射T拉伸了1times;1面积1的平方转换为2times;2面积4的平方，面积增加四倍。该区域的四倍增长由大小为4的行列式反映。

正行列式的原因是，在二维空间中，旋转，甚至一直由pi;弧度，不考虑改变方向。如果我们绕着映射的正方形的周长逆时针方向走，我们仍然会遇到红色，绿色，黄色，蓝色顺序的颜

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