附录Y 外文原文

Mechanism and Machine Theory

Dynamic contact stiffness analysis of a double-nut ball screw based on a quasi-static method

Yongjiang Chen ⁎, Wencheng Tang

Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China

a r t i c l e i n f o

a b s t r a c t

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Received 9 August 2012

Received in revised form 14 September 2013 Accepted 17 October 2013

Available online 14 November 2013

Keywords:

Double-nut ball screw Contact angle Normal force

Dynamic contact stiffness

This paper aims to investigate the dynamic contact stiffness characteristics of a double-nut ball screw operating at high speeds. The present study first established a proper transformed coordinate system according to the ball screw mechanism, then a variable contact angle is now considered as a function of the position angle of balls to reflect their dependence on the distribution in the raceway. It goes further to derive a contact stiffness matrix to capture the dynamic behavior of ball screws, which is based on the quasi-static method. The obtained numerical results are validated by experiment. Finally, the 5-dof dynamic model is employed to investigate the distribution of contact angles and normal force varying with the ball screw position angle under different operation condition and structure parameters, and the relation between dynamic contact stiffness and operation condition and structure parameters.

copy; 2013 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. Introduction

Ball screws are widely used in positioning machine tool due to their relatively low cost and low sensitivity to external forces and inertia variations [1]. However, as there is an ever-increasing demand for high speed and high acceleration performance of machine tools, the vibrations of the ball screw adversely affect the positioning accuracy and fatigue life of the ball screw drive. Therefore, more attention must be paid to the dynamic contact stiffness of the ball screw, which plays a very important role in the dynamic behavior of the ball screw under high rotational speeds [2].

In order to investigate the dynamic contact stiffness characteristics of the ball screw, the dynamic analysis of the ball screw should be carried out first. Up to now, it is difficult to investigate the motion and force condition inside the ball screw through experiment directly. The best and most effectual way to investigate the dynamic of this system is that of numerical analysis. The early work on the kinematics of the ball screw was published by Lin et al. [3]. They presented a theoretical method to explore the kinematics of the ball screw using Frenet–Serret Coordinates. These coordinates allowed a convenient way to visualize the motion inside the mechanism, but in their theoretical analysis the normal forces and contact angles created at the ball-screw and ball-nut contact areas were assumed to be equal. The analytical methods used in Lins study were partially adapted in Wei and Lins [4] study, and Harriss [5] theory and the method applied to analyze the sliding–rolling behavior of the ball bearing was also used in their study to evaluate the transmission efficiency of a preload ball screw. In their study, the assumptions made by Lin et al. [3] about equal contact angle and normal force for the ball/screw and ball/nut contact areas were found to be incorrect. Therefore, the influence of differentiating these parameters at two contact area was considered in their study. However, their model was still derived based on the underlying assumption that all balls in the ball screw are equally loaded and run at the same speed. It means that the contact angles and normal forces of each ball in a ball screw are assumed to be a constant value in the dynamic analysis. This assumption is made for the purpose of simplifying calculations, but the real contact behavior and elastic deformation at the position of each ball are unable to be considered. The fact is that the variation of the contact angle and normal force at either the

⁎ Corresponding author. Tel.: 86 25 52090508. E-mail address: chenyongjiang233@sina.com.cn (Y. Chen).

0094-114X/$ – see front matter copy; 2013 Elsevier Ltd. All rights reserved. http://dx.doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2013.10.008

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screw raceway or nut raceway with the ball screw position angle is affected greatly by the operation condition and structure parameters in reality. Recently, Mu and Feng [6] fully inherited the analytical method that was used in the analysis of ball bearings to determine the dynamic characteristic of the high-speed ball screw. They did not modify the coordinate transformations according to the ball-screw mechanism. Thus their approach by no means can reveal the intrinsic dynamic behavior of the ball screw. Beyond that, in their model the influence of contact angles and normal forces, which varies with the ball screw position angles, is also not considered.

On the other hand, most of the previous theoretical analyses were developed for a single-nut single-cycle ball screw, therefore, the preload effect does not need to be considered. And yet the preload has been universally accepted for a single-nut double-cycle and a double-nut single-cycle ball screw, and is using a great deal of the work of backlash dismissed. Wei [7] used the method of generating an offset on the border of two ball tracks to adjust the preload for a single-nut double-cycle ball screw. Although a double-nut single-cycle ball screw has been extensively applied, preload effect on the dynamic contact stiffness has not yet been addressed, largely due to the lack of dynamic modeling effort.

To further improve the state of the art in dynamic contact stiffness analysis of the ball screw, in this paper, instead of assumin

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附录X 译文

双螺母滚珠丝杠副的动态接触刚度分析基于准静态方法

摘要：这篇论文研究了双螺母球的动态接触刚度特性高速运转的螺杆。本研究首先建立了一个适当的转化模型根据滚珠丝杠机构的坐标系，那么一个可变的接触角就是现在视为球的位置角的函数，以反映它们对球的依赖性电缆管道中的分布。进一步推导了一个接触刚度矩阵，用以捕捉接触刚度基于准静态法的滚珠丝杠副的动态特性。获得的数值结果得到了实验验证。最后采用五自由度动力学模型研究了接触角和法向力随滚珠丝杠的变化规律不同工况和结构参数下的位置角及其关系动态接触刚度与工况和结构参数之间的关系。

关键词：双螺母滚珠丝杠 接触角 法向力 动态接触刚度

1. 介绍

滚珠丝杠由于成本较低、对外力敏感性低，在机床定位中得到了广泛的应用惯性变化[1]。但是，由于对高速高加速度性能的要求越来越高机床的振动对滚珠丝杠的定位精度和疲劳寿命有不利影响。因此，滚珠丝杠的动接触刚度是一个非常重要的问题，因此，滚珠丝杠的动接触刚度是一个非常重要的问题滚珠丝杠在高速下的动态特性[2]。为了研究滚珠丝杠的动态接触刚度特性，对滚珠丝杠进行了动力学分析应先进行。迄今为止，对滚珠丝杠内的运动和受力状况进行研究是困难的直接实验。数值分析是研究该系统动态性的最佳、最有效的方法。这个早期关于滚珠丝杠运动学的研究发表于Lin等人[3]。他们提出了一种理论方法来探索使用FRNET–Serret坐标的滚珠丝杠运动学。这些坐标可以方便地可视化运动在机构内部，但在理论分析中，滚珠丝杠和滚珠螺母产生的正力和接触角假设接触面积相等。林书豪研究中所用的分析方法，部分适用于魏林[4]研究中还采用Harris的[5]理论和方法分析了球轴承的滑动滚动行为研究了预紧滚珠丝杠的传动效率。在他们的研究中，林志强等人所做的假设发现球、螺钉和球、螺母接触区域的等接触角和正力不正确。因此研究中考虑了在两个接触区区分这些参数的影响。然而，他们的模式仍然存在基于球螺钉中所有球均以相同速度加载和运行的基本假设推导。意思是在动态分析中，假定滚珠丝杠中每个球的接触角和法向力为一个恒定值。该假设是为了简化计算，但实际接触行为和弹性变形在无法考虑每个球的位置。事实上，滚珠丝杠位置角对滚道或螺母滚道接触角和正力的变化受工况和结构的影响较大实际参数。最近，穆和冯[6]充分继承了球轴承分析中的分析方法确定高速滚珠丝杠的动态特性。它们没有修改坐标变换根据滚珠丝杠机构。因此，它们的方法决不能揭示球的内在动力行为螺丝钉。此外，在其模型中，接触角和正力的影响随滚珠丝杠位置的变化而变化角度，也不考虑。另一方面，以往的理论分析大多是针对单螺母单循环滚珠丝杠进行的，因此，不需要考虑预加载效应。然而，单螺母双循环的预紧力已经被普遍接受而一个双螺母单循环滚珠丝杠，正利用大量的工作间隙进行消除。魏国强[7]采用在两个滚珠丝杠的边界上生成偏移，以调整单螺母双循环滚珠丝杠的预紧力。虽然双螺母单循环滚珠丝杠得到了广泛应用，预加载对动接触刚度的影响尚未得到证实主要是由于缺乏动态建模工作而解决的。为了进一步提高滚珠丝杠动态接触刚度分析的现状，本文提出了一种新的方法，而不是假设滚珠丝杠中的所有球都以相同的速度加载和运行，现在将变接触角视为球的位置角函数，反映了球在赛道中的分布规律。Okwudre的[8]方法是用于对双螺母单循环滚珠丝杠施加预紧力。此后，本文的组织如下。第2节，a详细介绍了改进的双螺母滚珠丝杠动态接触刚度模型。调查结果将试验台试验结果与试验结果进行了比较，并对试验结果进行了分析第3节中的系统行为。

2.建模

2.1. 坐标系和变换

在讨论双螺母滚珠丝杠副的动态接触刚度特性之前，需要定义五组坐标系。滚珠丝杠运动和力/力矩平衡分析的全球坐标系如图1所示。用于几何分析的局部滚动单元坐标系和用于滚动接触分析的接触坐标系分别如图2所示。所有这些都是右手坐标系，总结在表1中。通过微分变换法，螺旋滚道曲率中心的位移delta;与螺旋滚道的位移u有关，如下所示：

图1。球中心在全局坐标系和Frenet坐标系中的位置。

图2。U形和L形的局部滚动元件和接触坐标系。

其中3t是变换矩阵：

其中下标j表示第j个球。theta;是球的位置角，Stheta;=sintheta;，Ctheta;=costheta;。alpha;是螺旋角，salpha;=sinalpha;，calpha;=cosalpha;。sigma;、 sigma;和sigma;定义为：

其中r0是平均半径。alpha;是螺钉滚道处的接触角，分别为sinalpha;和cosalpha;。BD是施加载荷前，螺钉滚道曲率中心和螺母滚道之间的初始距离。Ta表示tgalpha;。由于预紧力的作用，接触行为可分为两类：界面中的一些球与螺钉上（U）侧的螺纹接触（见图2（a）），其他球与螺钉下（L）侧的螺纹接触（见图2（b））。对于双螺母滚珠丝杠副，上述两种接触行为都需要考虑。因此，下标L和U用于区分球接触配置，分别为“下”和“上”[8]。因此，lambda;=1表示L形，lambda;=minus;1表示U形。用于推导关系的相同方法，即滚珠和滚道之间接触点的位移ε，与螺旋滚道的位移有关，如下所示：

表1

坐标系规范。

符号	说明
（O，x，y，z）	全局坐标系在空间中固定，其z轴与螺杆轴重合，其原点位于螺杆滚道的中心。
（O′，x′，y′，z′）	随着球的中心沿着球的中心轨迹移动的Frenet坐标系。
（O〃，y〃，z〃，Theta;〃）	局部滚动元件坐标系定义了每个滚珠的螺旋滚道曲率中心的位置。
O′i；x′i；y′i；z′i	接触坐标系指定球和滚道之间接触点的位置。i=S、N、S和N分别表示滚珠丝杠和滚珠螺母之间的瞬时接触点。

2.2. 动态接触刚度矩阵建模

在动态接触刚度建模中，滚珠被建模为无质量弹簧，其刚度k沿滚珠和滚道之间的公共接触线对齐。对于第j个球，等效法向接触刚度可从载荷-挠度关系[5]中获得：

式中，kc是取决于材料性质和接触几何的弹性模量。Q是法向力。根据式（7），必须首先确定作用在滚道上的法向力。通过求解滚珠丝杠的动力学方程得到了法向力。为了推导滚珠丝杠的平衡方程，需要确定滚珠与滚道之间产生的挠度和摩擦力。

2.2.1. 滚珠与滚道间法向力的计算

如果第j个滚珠与螺母或螺钉滚道之间发生正接触变形，则法向力可用赫兹接触理论计算，而负接触则表示不传递载荷。法向力与法向接触变形delta;有关，如下所示：

其中lambda;表示加载区系数，因此，delta;le;0时lambda;=0，delta;N 0时lambda;=1。

图3。U型和L型配置的球中心和滚道槽曲率中心在有负载和无负载情况下的位置。

从式（8）可以看出，为了计算作用在螺母滚道或螺钉滚道上的法向力，有必要计算第j个滚珠处的挠度。图3显示了有负载和无负载时滚道槽的球中心和曲率中心的位置。在本研究中，假设螺帽的曲率中心在空间上是固定的，并且螺旋滚道的曲率中心相对于该固定中心移动。在施加载荷之前，滚道槽曲率半径的中心以BD的距离分开。在施加载荷下，Os1将通过delta;′和delta;′（可通过式（1）计算）移动到其最终位置Os2，最终法向接触挠度可计算为[9]：

其中alpha;是第j个滚珠和螺母滚道之间的接触角。fs和fN分别是螺钉和螺母滚道的无量纲曲率半径。A是螺钉和螺母滚道之间的槽半径中心距离。B是ONOs2和z〃轴之间的角度。Ay和Az分别是A在y〃和z〃方向上的分量，计算如下：

其中alpha;是初始接触角。

2.2.2. 滚珠丝杠道的力平衡方程

考虑到穿过z′轴的平面和位于位置角theta;处的球的中心，得到了图4中两种接触行为的载荷图。在本研究中，假设纯滚动发生在螺母滚道上，假设螺母滚道控制近似于给定的滚珠位置角，则可以假设滚珠陀螺力矩完全由滚珠-螺母滚道接触处的摩擦力抵抗，对计算精度几乎没有影响。旋转速度为零[4]，因此球beta;的角速度矢量的俯仰角确定为：

然后，得到角度beta;：

（a） U形（b）L形

米克/D级b类

图4。在球上为U形和L形创建的力平衡。

必须指出的是，球的角速度矢量的偏航角beta;是一个很小的角，因此假定为零。数值迭代中的两个已知参数（beta;和beta;）允许我们使用y′和z′方向的力平衡来求解所有未知参数：

其中Mg是陀螺力矩。Fc是作用在球体上的离心力，可计算为[5]：

其中mb是球的质量。d0是平均直径。wm是滚珠相对于螺旋滚道轴线的旋转角速度，可以写成[4]：

根据上述方程，很明显法向力和摩擦力是接触角的函数。如果假设x，y，z，empty;x和empty;y的值，则可以同时求解每个球角位置处的接触角。要求x，y，z，empty;x和empty;y的值，只需建立适用于整个螺旋滚道的平衡条件。这些是：

其中Z是球的数目。Fr、Fa、Mx和My分别是施加在滚珠丝杠上的径向载荷、轴向载荷和力矩。ms是螺钉滚道的质量。Fp是z方向上的预紧力。全球坐标系中第j个球的法向力可计算为

在全球坐标系中，第j个球的摩擦力可以表示为：

2.2.3. 动态接触刚度矩阵的推导

在得到每个球的必要变换和法向接触刚度后，接触刚度矩阵的推导如下。kij方向上的接触刚度矩阵，即滚珠和螺母滚珠接触点之间接触坐标系的z方向，由下式给出：

接触坐标系中的接触刚度矩阵通过展开K‴：

通过变换k‴，计算了每个球的接触刚度矩阵作为相角theta;的函数。该矩阵Kis由以下公式给出：

由于对称性，接触刚度矩阵的前五行和前五列如下：

本研究集中于直接接触刚度系数（方程式（23）主对角线上）的动态特性。因此，将这些刚度矩阵转换成所有钢球的同一坐标系后，只推导出每个钢球在垂直方向（x方向）、径向方向（y方向）、轴向方向（z方向）、偏航方向（empty;x方向）和俯仰方向（empty;y方向）的接触刚度。由于滚珠螺母和滚珠丝杠的接触刚度是串联的，因此计算如下：

由于整体接触刚度与每个球的接触刚度是平行的，那么通过将它们全部代数相加，就可以得到等效的接触刚度：

其中值2表示双螺母滚珠丝杠。n是每个螺母的圈数。

表2

滚珠丝杠的规格。

参数	价值	单位
一、几何和材料参数 螺距直径d0	40	毫米
螺距P	12	毫米
钢球直径Db	5.953	毫米
滚道曲率比f	0.52
球总数Z	152
每个螺母的圈数n	4
泊松比u	0.3
杨氏模量E	210	平均绩点
二。操作条件 螺杆转速w	1000, 1500, 2000, 2500, 3000	转速
轴向载荷Fa	500, 3000, 5000, 7000, 9000	不
预加载Fp	2000	不

图5。滚珠丝杠副动态接触刚度数值分析流程图。

三。结果与讨论

3.1. 分析模型与数值程序

所研究的滚珠丝杠是一种典型的端头型丝杠，其参数见表2。图5显示了计算滚珠丝杠动态接触刚度特性的数值过程。在施加预紧力的情况下，一旦计算出螺旋滚道的初始位移，每个滚珠的法向力就可以用公式（8）计算出来。求解式（14）中的力平衡方程，用最小二乘法计算每个球的接触角。然后有必要重复计算每个球的法向力和接触角等，直到使用公式（17）获得位移滚道主要未知量的兼容值。然后，将每个球的法向力代入式（7），得到每个球的法向接触刚度。最后，使用公式（25）计算接触刚度矩阵。

3.2. 实验验证

所研究的滚珠丝杠是一种典型的端头型丝杠，其参数见表2。滚珠相对于螺旋滚道轴线的旋转角速度wm是影响滚珠丝杠

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