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文献综述： |
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期权定价问题一向来是金融经济学中的一个重要研究课题，Black-Scholes模型为人们提供了研究这一课题的方法，这些年来，众多经济学者与研究人员对这一问题进行不断的研究，本次研究的课题是基于蒙特卡罗模拟法来对彩虹期权进行定价分析。
在20世纪70年代，Myron Scholes和Fischer Black[1]合作研究出了一个期权定价的较为复杂的公式，差不多同一时期，RoBert Merton[2]也发现了同样的公式及许多其他有关期权定价的结论，不久，他们的论文发表在不同的期刊杂志上。随后就发展了Black-Scholes定价模型，亦可称为Black-Scholes-Merton定价模型，Merton扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。1979年，Cox J.C.和，S.Ross and M.Rubinstei[3]提出了一个简单的期权定价的离散时间模型，是针对于套利方式的期权定价。在20世纪80年代，Stulz, R.M[4]和Johnson,H.[5]为欧式看跌期权和看涨期权提供了两种风险资产最小或最大的分析公式，并对这些公式的属性进行了详细的讨论，这两种风险资产的最小值或最大值的期权对金融经济学家感兴趣的各种各样的有债权定价做出贡献。1993年，Genest C和Rivest L[6]对于二元分布的随机样本提出了一种拟合方法。在1999年和2003年，Rosenberg J.V.[7,8]推导并实现了一个无套利技术的多变量未定债权（MVCC）的非参数和半参数定价，利用Copula方法的结果，他发现多元风险中性密度可以写成边际风险中性密度和风险中性依赖函数的乘积。2005年，Zongwu Zhu和Floyd B.Hanson.[9]提出使用蒙特卡罗法来对欧式期权进行定价分析，随后，蒙特卡罗法在金融领域的应用蓬勃发展。 二.Black-Scholes期权定价模型 模型需满足的理想条件： （1）短期利率是已知的，并且是随时间不变的； （2）股票价格随着连续时间的随机游走，其方差率与股票价格的平方成正比。因此，任何有限区间结束时可能的股票价格的分布是对数正态分布。股票的回报率的变化率是不变的； （3）股票不分红或其他分配； （4）期权是欧式的，即只能在到期时才能执行； （5）购买或出售股票或期权没有交易成本； （6）可以用短期利率借入证券的任何部分的价格来购买或持有证券； （7）卖空没有惩罚。不拥有证券的卖方只会接受买方的证券价格，并且会同意在未来的某个日期向买方支付相当于当日证券价格的金额。 在以上条件下，推导出了Black-Scholes定价公式： 其中， 为标的当前股票价格，为无风险利率，为股票价格的波动率，为欧式看张期权价格，为期权执行的价格，为累计的标准正态分布函数，期限长度为。 三.蒙特卡罗法 蒙特卡罗方法是以概率统计的理论和方法为基础的一种计算方法。蒙特卡罗方法将所求解的问题与某个概率模型联系在一起，在计算机上进行随机模拟，以获得问题的近似解，因此蒙特卡罗方法又称为随机模拟法或统计试验法。 期权定价的蒙特卡罗方法的理论依据是风险中性定价原理:在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即 （1） 其中，是无风险利率，为到期日，是到期回报关于资产价格路径的函数，表示期望在风险中性测度下取得。 由上式知计算期权价格即就是计算期望值，而蒙特卡罗方法可用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡罗方法。一般地，期权定价的蒙特卡罗方法包含如下几步: （1）在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径； （2）计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现； （3）重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本； （4）求样本均值，得到期权价格的蒙特卡罗估计值。 四.标的资产蒙特卡罗模拟 对标的资产价格路径的模拟是期权定价的蒙特卡罗方法中关键的一步，必须注意模拟是在风险中性测度下进行的。下面，我们将从标的资产价格服从风险中性几何布朗运动说明模拟的具体过程。 假设标的资产是无分红的股票，其价格服从风险中性几何布朗运动，即 （2） |
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其中， 是无风险利率，是股票价格波动率，是标准布朗运动，那么由Ito引理， 可得 （3） 其中是从标准正态分布中抽取的一个样本。 由（3）式可知标的资产价格蒙特卡罗模拟的过程。若已知，随机抽取一个，可得时刻的资产价格，接着，2时刻的资产价格可由和新的正态分布样本得到，从而通过若干个正态分布的随机抽样可以组建一个标的资产价格路径的蒙特卡罗模拟样本。 实际应用中通常考虑的是股票在每个交易日的收盘价。令易天数，表示在第个交易日股票的收盘价，那么。设 （4） 由可得，，假设标的资产初始价格为，期权交易日为天，那么由（3）式构造出一个具有个收盘价的序列： （5） 即为标的资产价格路径的一次蒙特卡罗模拟值，其模拟步骤是。由于定价的是标准欧式看涨期权，为求得期权的到期回报只需知股票价格终值。令（3）式中的，则有： （6） 设是第次模拟得到的股票价格终值，相应地，是第次模拟得到的期权到 期回报贴现，则由次模拟所得的期权价格估计量是： （7） 其中，为执行价格。 期权定价蒙特卡罗模拟的次数与精度有关，若是第次模拟所得到的期权到期回报的贴现值，则由次模拟得到的期权价格蒙特卡罗估计值为，的样本标准差是： （8） 设期权价格真值为，当充分大时，有： （9） 用代替（8）式中的，期权价格蒙特卡罗估计值的（）渐近有效置信区间即为。特别地，取，那么。如果是给定的误差上限，要求在置信水平（）上控制误差等价于要求 通过不断地增加模拟运算次数，变动样本标准差，上述条件可以被满足，从而可以根据精度要求确定模拟所需的运算次数，另外，由（9）式可知，期权价格蒙特卡罗估计的误差收敛速率为。 上述模型是在，周世军和岳朝龙[11]，徐保震[12]及康崇禄[14]中在期权定价中应用蒙特卡罗法的总结下的概述。 五.方差减少技术 方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。在采用方差减少技术时，要具体问题具体分析，针对不同期权类型的特点应用相关的方差减少技术，从而取得效率的最大改进。 通过查阅国内外相关文献资料，目前所用的方差减少技术概括如下： （1）对偶变量技术 （2）控制变量技术 （3）矩匹配技术 （4）分层抽样技术 （5）重要性抽样技术 （6）条件蒙特卡罗技术 李亚妮[10]一文有对于对偶变量技术和控制变量技术的总结，叙述如下： 对偶变量技术。以上技术中，最简单也是最常用的技术是对偶变量技术。以标准欧式看涨期权为例，其标准的蒙特卡罗估计值为 若标的资产是股票，是标准正态分布中相互独立的抽样，服从风险中性几何布朗运动的股价终值抽样即为 由概率论的知识可得也是标准正态分布中相互独立的抽样值，那么将中的用代替得到的也是股票价格终值的抽样，从而由 的平均值也能得到期权价格的无偏估计量。因此，由对偶变量技术得到的期权价格蒙特卡罗估计值为 控制变量技术。若是期权到期回报贴现的次独立模拟值，那么期权价格的蒙特卡罗估计值是。假设得到的同时能得到另一个输出变量且已知，独立同分布。则对于确定的数有： 期权价格的控制变量估计值即为 所谓的控制是指。 若令，则有 对上式求导，并令其为0，解得能够使最小化的值应为 将最优控制系数回代，有 由此可见，只要与的相关性越强，那么控制变量估计的方差减少越显著，所以控制变量技术的关键是选择与关系密切且期望值已知的控制变量。另外，的计算需要知道和，而事实上这两个量未知，故实践中采用的是的估计值 六.多资产期权定价 在安飒[13]一文中，他对于篮子期权运用了蒙特卡罗法进行定价分析，而随后，Juan Arismendi和Alan De Genaro[15]对于多资产期权的蒙特卡罗定价分析做出了总结： 令是一般的n元变量连续随机过程，这个过程被称为资产价格过程；设是n维变量风险中性概率测度，用表示下唯一存在的密度函数,它即为风险中性密度函数。 定义n元随机过程，且有 其中，，是风险中性测度下的维纳过程，是变量的漂移常数和波动率常数，是和的相关系数。过程将被用来逼近资产价格过程，且在风险中性测度下具有多元对数正态密度函数，那么，将表示为的阶的矩，表示的阶的累积量, 密度可以用下面的展开式来表示： 其中， 符号表示： 用表示支付函数，则期权在时间时的值可被近似为： 其中， ， 用代替公式里的的等同于。此即为多资产期权的近似定价公式。 七.参考文献 【1】Black F.Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy,1973,81[7]:637-659 【2】Melton R. Theory of rational option pricing[J]. Bell Journal of Economics and Management Science. 1973,pp. 141-183. 【3】Cox J.C., S.Ross and M.Rubinstein. Option pricing: A simplified approach [J], J.Financial Ecnomics,1979,4:229-263 【4】Stulz, R. M. Options on the minimum or the maximum of two risky assets: Analysis and applications, Journal of Financial Economics, 1982,10, 161-185 【5】Johnson, H. Options on the maximum or the minimum of several assets, Journal of Financial and Quantitative Analysis ,1987,22(3), 277-283 【6】Genest C，Rivest L. Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas[J].Jour.of the American Statistical Association，88：1034~1043.1993 【7】Rosenberg, J.V. Semiparametric pricing of multivariate contingent claims. NYU, Stern School of Business, Working Paper, S-99-35. 1999 【8】Rosenberg, J. V. Nonparametric pricing of multivariate contingent claims, Journal of Derivatives, 10(3).2003 【9】Zongwu Zhu and Floyd B.Hanson. A Merton-Carlo option-pricing algorithm for Log-Uniform Jump-Diffusion model. Dept. Math Comp. SciU. Illinois,2005,249:1-29 【10】李亚妮. 蒙特卡罗方法及其在期权定价中的应用[D].陕西师范大学,2007. 【11】周世军,岳朝龙.蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用[J].安徽工业大学学报(社会科学版),2009,26(01):24-25. 【12】徐保震.蒙特卡罗模拟法在期权定价中的应用[J].中国商界(下月),2010(05):51-52. 【13】安飒.蒙特卡罗法在篮子期权定价中的应用[J].江苏科技大学学报(社会科学版),2010,10(03):69-72. 【14】康崇禄，蒙特卡罗方法理论和应用[M]，科学出版社，2015 【15】Juan Arismendi， Alan De Genaro. A Monte Carlo multi-asset option pricing approximation for general stochastic processes. Chaos, Solitons and Fractals.88 (2016) 75–99 |
