- 前言
近年来，科学计算在各科学领域起着越来越大的作用，在很多研究领域成为了必不可少的工具，而科学计算中最重要的部分就是求解在科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组. 在当今科学技术日新月异的发展过程中，偏微分方程的数值解的理论和方法都有了非常大的发展，其有关研究工作一直非常活跃，研究的领域也日益扩大. 大量素材的积累和问题的研究,进一步确定了偏微分方程系统化的必要性和许多实际问题对解决线性问题的需要性. 然而观察具有线性椭圆型方程的边值问题，其差分格式却至今都没有一个统一通用的公式. 因此研究椭圆型偏微分方程的边值问题的差分格式、分析总结极值原理在椭圆型方程数值解误差估计等方面的应用有着重要的实际意义.
- 预备知识
- 偏微分方程
含有未知函数的偏导数的方程称为偏微分方程，这里是n 1个自变量的函数. 在很多应用问题中，专门用t来表示时间变量，表示空间变量. 记，当n=2,3时，也常记和.
- 定解问题
对于一个n阶常微分方程，常常可以将其解写成依赖于n个任意常数的通解形式. 但是对于偏微分方程，情况就要复杂得多，一般很难用通解的形式表示. 通常情况下我们在一些特定条件下求方程的解，这样的一类条件就是定解条件. 如果在的某个区域Omega;内求解方程，及要求xisin;Omega;，满足方程，一般在边界part;Omega;上给出u的条件，称之为边界条件，在含时间变量t的问题中，在超平面t=t0上给出的条件称为初始条件. 除了边界条件和初始条件外，有时还会出现其他的定解条件，给出了方程和定解条件，就构成了一个定解问题.
3.二阶方程
设，其中可以是时间变量t，二阶拟线性方程是指
(2.1)
其中，，和可以与有关，也可以与和有关. 不妨假设，这样矩阵是一个ntimes;n的对称阵. 如果在点，是正定或是负定的（即其特征值全同号），方程（2.1）称为椭圆型方程. 如果的特征值至少有一个是零，方程（2.1）称为抛物型方程. 如果的特征值皆非零且有n-1个同号时，方程（2.1）称为双曲型方程，其他一些情形也称超双曲型的.
- 有限差分格式的构造
用有限差分格式求解偏微分方程问题必须把连续问题进行离散化，为此先要对求解区域给出网格剖分，由于求解的问题各不相同，因此求解区域也不尽相同. 先在求解区域上画出两组平行于坐标轴的直线，把区域分成矩形网格，这样的直线称作网格线，其交点称为网格点或节点. 一般来说，平行于t轴的直线可以是等距的，其距离称为空间步长，记作h，而平行于x轴的直线则大多是不等距的，其距离称为时间步长，记作tau;.
建立差分格式有很多种方法，用Taylor级数展开是最常用的方法.
