文 献 综 述
对于问题，一元函数f(x)未知，仅有一系列观测点和对应函数值，求该一元函数的近似函数。一般可以通过插值法进行求解。常见的插值法由拉格朗日插值法，牛顿插值法以及埃尔米特插值法。当插值多项式的阶数大于等于7时，插值法计算会出现Runge现象，影响计算结果。因此，更为理想的改进方式是进行分段低次多项式插值。对于此类可以从一维问题推广到高维问题。该思想在有限元方法的设计中起关键作用。本次毕业设计的内容探讨二维三角形区域上二次插值多项式的构造问题以及运用有限元方法求解二维偏微分方程边值问题。
对于如下问题
其中f(x,y)和区域Omega;已知，求u(x,y)，一般有这几种方法：有限元法，有限差分法等。其中有限差分法只能解决矩形区域内的问题，而有限元法可以求出任意区域上所对应的近似函数。
有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元法有如下优点：1.理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同二点水平上建立起对该法的理解。即可通过直观的物理途径来学习和运用这一方法，也可以为该法建立严格的数学基础。2.具有灵活性和适用性，应用范围极其广泛。它是由于数学以及物理学中多个领域各个复杂的问题。3.该法在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法。矩阵代数能把繁冗的分析和运算用矩阵符号表示成非常紧凑简明都数学形式，因而最适合于电子计算机存贮，便于实现程序设计的自动化。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法 分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
有限元法的基本步骤如下：1.结构的离散化，将整个问题区域划分为各种单元。2.单元分析，建立每一个单元中的方程。3.整体分析，将各个单元上的方程集成起来，求解出最后的结果。
本次研究对于有限元法的运用式对给定区域划分成三角形单元进行分析。对于多边型域G，将G分割成有限个三角形之和，使不同三角形无重叠的内部。对于其中任意一个三角形，不妨设它的三个顶点为A,B,C。在三角形元ABC上，若构造一个m次完全多项式
