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文 献 综 述 有限元方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。1960年美国的克劳夫(Clough)采用此方法进行飞机机构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”，简称有限元法。 发展概况： 1943年courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。1960年 clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称。1965年冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的主要依据。1970年随着计算机和软件的发展，有限元发展起来。1975年 谢干权发表论文“三维弹性问题的有限单元法”，标志着我国学者在与世隔绝的情况下，独立发展出真正能应用于三维实践的有限元方法和有限元工程软件。还在全世界率先得到了三维有限元的超收敛结果。 有限元法具有很多优点，主要有以下几点： (1)基础理论简明，物理概念清晰，且可以在不同水平上建立起对该法的理解。(2)具有灵活性和适应性，应用范围极为广泛。(3)该发在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法。矩阵代数能把繁冗的分析和运算用矩阵符号表示成非常紧凑简明的数学形式，因而最适合电子计算机存储，便于实现程序设计的自动化[11]。 在解决二维偏微分方程的过程中我们需要得到他们的解析解，但绝大多数都是不能用解析形式来表示，因此需要微分方程的数值方法去支持我们进行的研究。虽然常微分方程数值方法可以追溯到18世纪，一些偏微分方程的数值方法也在本世纪初得到研究[6]。 在有限元方法中,构造多项式类有限元的问题可以归结为多元多项式插值问题。在多元多项式插值的情形中 ,插值条件与插值多项式空间之间存在所谓的“匹配”(correct)问题,参见 de Boor的论文[13]。在构造非协调有限元时,关键的是设计适当的有限元形参数和适当的有限元形函数空间,再设计与之匹配的形参数。在经典的有限元构造方法中,例如 ,基于位移假设的板元的构造,就是首先定义好形函数空间。在这种情况下,所设计形参数必须满足两个条件: (1)形参数作为插值条件,必须与事先给定的形函数空间是插值匹配的 ,也即,由形参数定义的插值条件在形函数空间上是可解的；(2)为了保证所构造的有限元是收敛的,形参数还应该满足一定的收敛性条件。最近,作者之一提出了一种基于插值方法的构造非协调有限元的技巧,参考[12]. 形状函数是有限元方法的最重要组成部分,它决定有限单元的插值精度[14].但是,传统有限元方法对形状函数与几何映射函数总是不做明显区分,直接在局部坐标系内(母单元上)构造形状函数,导致单元的插值精度强烈依赖于单元的实际几何形状,或出现一些奇怪现象[15]。本文建议,对几何映射函数与形状插值函数在有限元方法中的职能应该明确界定:几何映射的职能是将标准的母单元变换成任意的实际单元;形状插值函数有自己的构造规律,虽然它最终可以用局部坐标表示,但首先必须满足插值精度的要求。当前,有限元形状函数的构造问题又重新得到重视，并正经历革命性发展，其实质与本文思想不谋而合;另外,广义无限单元法的产生[16],也正是实践该思想的产物。 1、目的和意义 本文旨在用有限元方法构造矩形单元上的基函数，掌握有限元方法求解二维偏微分方程的求解思路，并用其去求解函数去逼近矩形上的未知函数，并近似当做该函数求其数值解。并且，本文会事先给出符合条件的函数，用上述方法得到近似解，并将近似解与真实解比较以及进行误差分析，得出变化趋势的规律。研究意义是从一维问题中的插值函数逼近真实函数推广到二维问题，利用有限元方法解决二维问题中类似插值形式，获得逼近函数并求数值解问题。 主要目标是解决形似： （1） 这里要求，区域为矩形类似 2、选题研究的内容来源与研究的方法步骤 问题来源于就一般的二维偏微分方程，我们都很难求出他们的精确解。例如对上述方程（1），我们把设为，就这个问题我们就找不出精确解，所以我们需要考虑数值求解。 而数值求解又分三大类，分别是有限元方法（理论上可以解决任意区域上的问题）、有限差分法（主要解决的是四四方方的区域上的问题）和有限体积法。而本文我们采取有限元方法去解决这个问题，大方面的步骤有以下三步： 第一步，我们需要构造一个有精确解的例子！因为要去测试我们编程求解出来的数值解的精确程度，去判别我们方法和程序的好坏程度。 例如对下面问题：
我们可以构造函数，或是。 又或是将区域改为，我们仍可以构造函数。 第二步，在已经了解掌握的有限元方法求解二维偏微分方程的思路；我们基于矩形网格剖分，构造矩形单元上相应的基函数；利用MATLAB进行必要的编程求解一个二维偏微分方程边值问题。 第三步，我们需要把求出的数值解与与事先构造的函数的精确解进行误差分析。以及对网格加密后，误差的变化趋势的规律即收敛阶是如何的进行分析得出相应的结论。 |
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２．本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段（途径）： |
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课题要研究解决的问题 1.学习、总结本课题研究所需的数学理论知识； 2.研究使用掌握二维矩形单元上基函数的构造，掌握有限元方法求解二维偏微分方程的求解思路，并且会用此方法编程求解一个二维偏微分方程边值问题。 3.利用MATLAB进行必要的编程求解一个二维偏微分方程边值问题。 4.我们需要把求出的数值解与与事先构造的函数的精确解进行误差分析。以及对网格加密后，误差的变化趋势的规律即收敛阶是如何的进行分析得出相应的结论。 拟采用的研究手段 通过查阅资料了解学习偏微分方程数值方法、微分方程数值解法、计算方法、有限元方法等。在此基础上，解决二维矩形单元上基函数的构造，有限元方法求解二维偏微分方程的求解思路，借助MATLAB软件编程求解一个二维偏微分方程边值问题。把求出的数值解与与事先构造的函数的精确解进行误差分析，以及对网格加密后，误差的变化趋势的规律即收敛阶的比较分析，完成毕业设计课题任务。 参考文献
[1]周铁，徐树方，张平文，李铁军，计算方法，北京：清华大学出版社，2006. [11]王新荣、陈永波，有限元法基础及ANSYS应用，北京：科学出版社，2008 [12]Gao,J.B.and Shih,T.M.,Interpolation methods or the construction of shape function space of nonconforming finite elements,Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 122(1995),93-103. [13]de Boor,C.and Ron,A.,On multivariate polynomial interpolation, Constructive Approximation, Vol.6(1990), 287-302. [14] Ziekniewiez OC,Taylor RL.The Finite Element Method,4th,Edition,Volume 1,Basic Formulation and linear Problems(McGarw-Will Book Company(UK)Limited,1989) [15]Bathe KJ.Finite element procedures in Engineering analysis;Prentice-Hall;Englewood Cliffs,1982 [16]Li LX,sun JS,Sakamoto H.A generalized infinite element for acoustic radiation.ASME Journal of Vibration and Acoustics,2005,127;2-11 |
