|
1．结合毕业设计（论文）课题情况，根据所查阅的文献资料，每人撰写 2000 字左右的文献综述： |
||||||||||||||||||||||
|
摘要：本文首先介绍了矩阵特征值问题的理论基础。通过阅读文献，进一步地，整理了矩阵特征值问题在物理、力学和工程技术中的应用，以及着重介绍了几个常用的矩阵特征值问题的数值求解方法。我们比较了常用特征值求解方法的优、缺点。由于，在工程技术领域，很多时候会产生大量的大型、稀疏、非对称特征值问题。基于此，我们考虑一种新的特征值求解方法：递归曲线积分方法，并对该方法进行研究。 关键词：矩阵，特征值，数值求解，递归曲线积分方法 文 献 综 述
设是阶方阵，若存在数和维非零列向量，使得公式（1）成立，那么这样的数称为矩阵特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量。
（1）式可等价为
公式（2）是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式[1]。 设是数域上的一个阶矩阵，是一个未知量，系数行列式称为的特征多项式，记，是一个上的关于的次多项式，是单位矩阵。 是一个次代数方程，称为的特征方程。特征方程的根(如：)称为的特征根(或特征值)。次代数方程在复数域内有且仅有个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与有关，与数域也有关。 以的特征值代入，得方程组，是一个齐次方程组，称为的关于的特征方程组。因为，必存在非零解，称为的属于的特征向量。所有的特征向量全体构成了的特征向量空间。
基于文献[9-12]，矩阵的特征值问题是线性代数理论的一个重要内容，在科学研究与工程实践中应用非常广泛，许多实际问题的求解终归结为求矩阵的特征值与特征向量，例如振动问题、动力系统的稳定性问题和一些数学建模问题等。研究特征值和特征向量的性质及应用，对处理数学问题意义重大。研究矩阵的特征值与特征向量，可以准确高效地解决问题，给数学运算带来便利。 3.1 估计临近信号 何建锋等［14］提出 Hadamard 矩阵元素的上下界范围，得出M-矩阵Fan积的最小特征值，并在估值过程中对现有结果进行改进。也可以通过设计协方差矩阵来消除信号的相干性，对临近信号进行估计［15］。 3.2 变压器故障诊断 考虑变压器故障诊断的不确定性，构建了变压器模糊聚类模型，提出了用矩阵特征值分析方法得出样本集最佳分类数，实现了无监督的故障诊断。针对模糊均值算法用于变压器故障诊断存在的问题，提出用人群搜索算法(SOA)得到较优的初始聚类中心[16]。 3.3 频谱感知 为了提高频谱感知能力，在小采样点数、低信噪比条件下获得较高的检测性能，在 Wishart 随机矩阵理论的基础上，提出了一种基于随机矩阵特征值分布的频谱感知算法[17]，利用样本协方差矩阵特征值的对数分布形式，以随机矩阵样本协方差矩阵最大特征值与几何平均 特征值（maximum-geometric mean eigenvalue， MGME）比值[18]为判决门限统计量，对频谱检测做出判决。 3.4 所感张力结构 施工时合理选择主动张拉索是控制索杆张力结构预张力偏差的主要措施。以单元的预张力偏差平方和作为评价整体结构预张力偏差的指标, 通过对反映单元预张力偏差与索长误差关系的灵敏度矩阵进行谱分解, 将该指标表示为索长误差与灵敏度矩阵的特征值和特征向量的解析关系式, 理论上解释了选择不同主动张拉索会使灵敏度矩阵特征值发生变化, 从而直接影响到对结构预张力偏差的控制效果。由于灵敏度矩阵特征值具有衰减迅速的特点, 故采用其一阶特征值和特征向量可有效估计结构的最不利预张力偏差。进一步以灵敏度矩阵的一阶特征值为评价指标, 基于遗传算法提出了一种主动张拉索的优选方法。以一实际索杆张力结构为例, 进行不同条件下的主动张拉索优选分析, 其结果验证了优选方法的有效性[19]。 3.5 模糊聚类 许多有效性指标已经被提出量化地估计和评价模糊聚类算法对于给定数据集的划分结果。但是由于不合理的结构和极大的时间耗费，迄今这些有效性指标几乎都无法满足应用的一般性需求。为此，提出一个基于 Gerschgorin 圆盘定律估计的聚类有效性指标来估计模糊聚类的类数[20]。先由模糊聚类划分的结果得到一个相关性矩阵，接着求出该矩阵的所有特征值和特征向量，然后基于经典 Gerschgorin 圆盘定律估计最优的类数。为了检验提出的指标在模糊聚类中的有效性，把模糊聚类算法应用到带有不同特征的3个人工数据集和3个真实的数据集，并比较提出的指标和2个最常用的模糊聚类有效性指标．实验结果证明了所提出的有效性指标能够发现被聚类数据集的固有结构，从而得出更加准确的类数。
随着社会的进步，计算机的飞速发展，高等代数这门课程已经渗透到各行各业里面，在许多方面都有着很重要的应用。在高等代数教材中，特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换的特征值与特征向量。从理论上来讲，只要求出线性变换的特征值和特征向量就可以知道矩阵的特征值和特征向量。现在教材中给出的求解特征值和特征性向量的方法基本上都是通过特征方程来求解。有时候特征方程会极其的麻烦。有一些文章中虽然给了初等行列变换方法来减少计算量，但仍未摆脱参数行列式计算的问题。 文献[2-3]中介绍了很多常用求解特征值问题的方法，如:LR方法、QR方法、幂法和反幂法、雅可比法,文献[4-5]提出了对幂法的改进,文献[6-7]讨论了非负不可约矩阵最大特征值Perron根的计算方法,文献[8]给出了针对Pascal矩阵谱半径和相应特征向量的一个快速算法。幂法适用于求矩阵按模最大的特征值及特征向量；反幂法适用于求矩阵按模最小特征值及特征向量；QR方法适用于求解低阶稠密矩阵的全部特征值。但是，在很多时候，比如工程技术领域，会涉及到大量大型稀疏矩阵特征值问题的求解。这些矩阵规模很大，但是矩阵中很多元素为零。对于矩阵维数很大的特征值问题，QR方法很难再用来求解。本课题，对于阶数较大的矩阵特征值问题，考虑一种新的数值求解方法：递归曲线积分方法。
传输特征值问题（TE）的形式为：找到，和满足
其中，是上的标准单位外法向。传输特征值问题具有非平凡解的波数称为传输特征值。对于上述连续问题，通常采用有限元离散来求解。选择合适的有限元方法后，同样可以将其转化为数值代数特征值问题来求解。 传输特征值问题在非均匀介质的逆散射理论中具有重要应用。由于传输特征值可用来提供散射体材料的物理性质，在反问题中有大量的应用，比如：无损检测，目标识别等。本课题重点考虑此问题的求解。 该问题是非自伴的，不包含在偏微分方程的经典理论中。通常，开发用于传输特征值的有效有限元方法是具有挑战性的，因为对于两个二阶偏微分方程组，它是一个二次方程，典型地是退化的，非自伴特征值问题，尽管有一些定性估计，但谱图是在很大程度上未知。在大多数情况下，连续问题是退化的，零特征值对应一个无穷维的特征函数空间。可以将系统简化为单个四阶问题，但是对于此类问题，可以使用有限元进行求解。Argyris元计算代价很大。简单的有限元离散化产生了具有计算挑战性的大型稀疏非Hermitian矩阵特征值问题。由于缺乏先验特征值估计，传统方法（例如移位和反转Arnoldi）受到了限制。总而言之，传输特征值问题的有限元离散化会产生大的，稀疏的，通常是高度退化的非Hermitian矩阵特征值问题，并且几乎没有先验的光谱信息，而存在相对较高维的零空间的可能性。这些特征表明，大多数现有的特征值求解器都不适合传输特征值。本课题基于此问题考虑一种新的矩阵特征值求解方法——递归曲线积分方法（）。 旨在近似特定区域内的所有特征值，而无需求解特征向量。这非常适合于传输本征值问题，该问题通常只寻找原点附近而不是原点处的本征值。矩阵的退化非厄密特性质和频谱的复杂未知结构不是问题。 |
|
２．本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段（途径）： |
|
课题要研究解决的问题
拟采用的研究手段 通过查阅资料了解递归曲线积分方法求解矩阵特征值问题在物理、力学和工程技术等领域的广泛应用，加深对多项式函数的求解、积分、矩阵等相关数学理论的认识，学习递归曲线积分方法求解矩阵特征值问题在应用中的原理。 递归积分方法（）针对线性特征值问题：，可以做到：任给复平面上一个简单闭合曲线，这个曲线所包围区域内的特征值，都可以递归地求解出来。该方法 以区域边界上豫解算子的曲线积分作为指示函数判断区域内有没有特征值。若区域内有特征值，将区域细分，然后对每个子区域作类似地判断。若子区域有的话，继续分割区域，一直递归地做下去，直到区域足够小，能分离出想要的特征值。旨在近似特定区域内的所有特征值，而无需求解特征向量。这非常适合于传输特征值问题，该问题通常只寻找原点附近而不是原点处的本征值。矩阵的退化性，非厄密特性质和频谱的复杂未知结构不是问题。 对于传输特征值问题，首先采用有限元将其离散为矩阵特征值问题。进一步，采用上述递归曲线积分算法进行计算。借助MATLAB软件进行相关性质的模拟和对比，完成毕业设计课题任务。 参考文献
|
