- 选题背景和意义：
压缩感知（CS）是利用信号稀疏性的一种信号压缩采样方式。其基本原理是只要信号在某个变换域是足够稀疏的，就可以通过一个满足特定条件的观测矩阵，原始信号通过此观测矩阵的线性变换，即将原本的高维信号投影到一个低维空间上，得到编码信号，然后进行传输，最后解码端通过求解一个非线性优化问题就可以从低维投影较精确的重构出原始信号。该理论一经提出，就在医疗成像、光学/遥感成像、无线通信、模式识别、生物传感、雷达探测、地质勘探、天文、图像压缩、图像超分辨重建等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。这一技术大大降低了对原始信号采样带宽的要求，降低数据存储和传输的成本，将信号处理领域带入一个新的时代。
压缩感知的常用模型有L0正则化模型、L1正则化模型、TV正则化模型。L0正则化模型最符合压缩感知的本意，但L0范数不易计算，因此一般使用其凸近似即L1范数代替。经典的L1正则化模型在凸优化过程中生成的解是比较理想的稀疏解，但没有考虑图像中像素点与其邻近点的关系，因此导致重建图像存在不够平滑、包含噪声且图像的边缘特征严重缺失等问题。TV正则化模型解决了L1模型图像质量差的缺点，其优势在于能去除噪声、有效保留图像边缘信息，有助于优化重建后的图像，良好的细节保留性使其的到了广泛的应用。另外，TV正则化模型不仅是压缩感知的主要模型之一，也可以用于其他类型的图像问题，比如图像去噪、图像补全、超分辨率等。
TV正则化模型缺点是TV项不可导且求解相比L1模型较复杂。往往需要求解一个非线性等式约束的优化模型，因此针对不同的应用问题，发展出各种求解算法。增广拉格朗日乘子法是一种改进的惩罚函数法，可以克服拉格朗日惩罚函数法局部非正定的不足，将等式约束优化问题转化为无约束优化问题，进而可以使用梯度下降法等方法快速求解。
本毕设论文首先实现已有的使用增广拉格朗日乘子法求解TV最小化模型的算法，并与传统的拉格朗日乘子法相对比，通过理论分析和数值算例总结该方法的特点。进一步结合非单调线搜索、BB步长等方法，设计更好的算法来加快求解速度、提高求解效果。
- 文献综述（或调研报告）：
压缩感知是一种利用信号稀疏性的一种信号压缩采样方式，于2004年由Donoho[1]，Candes等[2]提出，并迅速引起了学术界和工业界的广泛关注。它为数据获取和压缩提供了一种替代方法，该方法所需的样本数量更少，传感器更简单，检测时间较短，在应用中的传输/存储成本减少，目前已被广泛应用于信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、生物医学工程等领域。
其数学模型大致如下：
其中u为原始信号或图像，A为观测矩阵，b为A对u的观测值。p=1或2分别表示L0正则化、L1正则化，对其取最小值表示寻找欠定方程的最稀疏解。L0正则化模型计算困难实用性较差。L1正则化模型生成的解是比较理想的稀疏解，但没有考虑图像中像素点与其邻近点的关系，因此导致重建图像存在不够平滑、包含噪声且图像的边缘特征严重缺失等问题。为此，本毕业论文使用TV正则化（全变分正则化，total variation）替代L1正则化，使得重构图像更锐化，具体为边缘和边界保留的更准确。TV正则化的前提不再是假设信号是稀疏的，而是假设基础信号或图像的梯度是稀疏的。
TV模型由Rudin等[2]于1992年提出，用于图像去噪等问题，取得了较好的效果并被广泛使用。对于压缩感知问题，其模型大致如下：
对于图像u来说，i表示u的某个像素位置，Diu表示该位置的梯度，对整个图像的梯度的模求和即为TV正则化。尽管TV正则化具有显着优势，但不可微性和非线性的特性使TV正则化模型计算比L1正则化模型更加困难。本毕业论文使用增广拉格朗日函数法对其进行求解。
求解等式约束最优化问题的重要途径之一是把它转化为无约束优化问题，罚函数方法就是这样一类方法，它通过求解一系列惩罚参数逐渐增大的无约束优化问题来得到原问题的解。但随着惩罚参数增大，罚函数的Hesse矩阵条件数增大，罚函数趋于病态。Hestenes[4]于1969年提出增广拉格朗日乘子法（ALM），该方法通过引入和调整拉格朗日乘数估计，不再要求惩罚参数趋于无穷大才能收敛。Gabay[5]扩展了经典的ALM方法，提出了交替方向方法（ADM），减少了迭代的计算量。
