R-Mor中的覆盖与包络文献综述

一、选题背景和意义：

研究环，通常有两种途径：一是从环的内部，研究环中特殊的元素或子集合的性质；二是从环的外部，通过考察环上的模、以及模范畴R-Mod，态射范畴R-Mor、模的复形范畴C(R) 乃至与之相关的同伦范畴和导出范畴，从而刻画环本身的性质。

在研究环的过程中，这两个角度的研究并非完全彼此独立的，因为环的内部性质与外部性质之间常常具有密切的联系，例如冯诺依曼正则环的定义基于内部元素的性质，而冯诺依曼正则环的一个等价刻画是其上的模都是平坦的。类似的，诺特环、凝聚环、完全环等许多重要的环类都既有内部刻画又有外部刻画。

在经典的同调代数中，内射模、投射模、平坦模以及包络与覆盖等概念是研究环的重要工具。随着研究的发展，人们推广了上述概念。例如内射包和投射盖的概念被推广到了一般的(预)包络和(预)覆盖，除了环R上的模范畴R-Mod，近年来人们还在其它与R-Mod有关的范畴中研究各种(预)包络和(预)覆盖，例如范畴R-Mor。

2019年，毛立新在文献[Rings described by some special morphisms of modules, Comm. Algebra 47, 2019, no. 9, 3658–3671]中将范畴R-Mod中的一些概念和结论对应到范畴R-Mor上来，得到了许多概念的推广，比如将平坦模对应到了平坦态射和phantom态射；并得到了一些关于环的新的等价条件，比如环R是左凝聚的等价于每个Mor-R的态射都有phantom(平坦)预包。这将为我们研究范畴R-Mor中广义投射(内射)性和覆盖与包络提供新的思路和工具。

二、课题关键问题及难点：

关键问题：

(1) 研究一些具体的例子，比如平坦模对应得到的平坦态射和phantom态射、绝对纯模对应得到的绝对纯态射和Ext-phantom态射。

(2) 补充一些原文献中省略掉的证明，比如参考文献[11]中的命题3.6，下述条件是等价的：1. 是R-Mod中的绝对纯预覆盖(覆盖); 2. 是R-Mor中的绝对纯预覆盖(覆盖).

(3) 研究范畴R-Mor中的一些广义内射性和广义投射性的概念。比如内射性有()-拟内射态射、弱拟主内射态射等，投射性有拟投射态射、半投射态射等。