关于广义代数的方程外文翻译资料

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关于广义代数的方程

A. Ferrante lowast; L. Ntogramatzidis lowast;lowast;

西澳大利亚州珀斯科廷大学数学与统计系

澳大利亚，6845 （电子邮件：L.Ntogramatzidis@curtin.edu.au）

摘要：自Jacopo Francesco Riccati分析了一个二次微分方程以来已经过去了三百年，这个方程在许多工程和应用数学领域都至关重要。实际上，我们已经考虑了这个方程的无数变化和推广，并且它们被证明是解决重要问题的正确数学工具。本文着重于矩阵Riccati方程的广义形式，其中经典Riccati方程中的翻转矩阵是奇异的：我们分析通过Moore-Penrose伪逆取代逆算子得到的方程，经过这种替换获得的方程称为广义Riccati方程。通过研究了这些方程之间的关系（连续时间和离散时间）以及奇异线性二次（LQ）最优控制问题。给出了广义Riccati方程的解集的几何特征。结论表明，在这种一般讨论中存在最优闭环系统稳定的LQ最优控制问题，在Riccati方程不具有稳定解的情况下也同样如此。

1前言

差不多三百年前，在1724年，雅可波·弗朗西斯科·里卡提伯爵（Count Jacopo Francesco Riccati）发表了他的“观察结果”（Animadverion in anquationes），以区分secundi gradus，见Ric- cati（1724）。在那里提出了一种非常聪明的方法，通过一种可以称为哈密顿量前导litteram的技术来求解二次微分方程。从那以后，这个二次方程一直是具有重大科学意义的对象，并且在20世纪，当这个方程（以矩阵形式）被认为是大类优化问题的自然工具时，它体现了最大的重要性。对该方程我们已经考虑了的无数变化和推广，从而在该领域中产生了大量的理论和应用。特别是，在过去的五十年中，我们已发现矩阵Riccati方程出现在不同的各种情境中，包括（但不限于）具有二次成本准则的线性动态博弈，无源理论，随机实现，谱分解，奇异扰动理论，普通差分方程的边值问题，不变嵌入和散射理论。鉴于它们无处不在，Riccati方程被普遍认为是现代系统控制理论的基石。有几本专著完全致力于为Riccati方程的研究提供一般和系统的框架，参见例如Bittanti等人。 （2008）; Lancaster和Rodman（1995）; Ionescu等人。（1999年）; Abou-Kandil等。（2003年）。

本文的目的是介绍所谓的（连续和离散时间）约束广义代数Riccati方程的最新技术。将广义Riccati方程与其标准形式区分开来的是Moore-Penrose伪逆的存在代替矩阵逆。因此，如果X是标准Riccati方程的解，那么它也是相应的广义Riccati方程的解。通常在广义Riccati方程的解集上添加的附加约束，并且产生所谓的约束Riccati方程，排除了可被视为伪的广义Riccati方程的解。重要的是，可以看出，如果标准Riccati方程有一个解，那么约束广义Riccati方程的所有解都是标准Riccati方程的解。此外，如果X是约束广义Riccati方程的解，并且需要伪逆的矩阵是奇异的，则标准Riccati方程无解。

在离散时间中，几十年来已知广义Riccati方程在其更一般的公式中提供了经典线性 - 二次最优控制问题的解决方案，参见例如。 Rappaport和Silverman（1971）。然而，广义Riccati方程尚未经过研究标准离散Riccati方程的相同注意力和彻底性进行研究。最近在Ferrante和Ntogramatzidis（2015，c）中发表了对有限广义Riccati差分方程在有限时间LQ问题背景下所起作用的严格处理。无限期（离散时间）对应物已在Ferrante和Ntogramazidis（2013，a）和Ferrante和Ntogramatzidis（2013，b）中得到解决;在这些贡献中，已经对约束广义Riccati方程的解集提供了几何表征。在Ferrante和Ntogramatzidis（2014，a）中，给出了广义Riccati差分方程的约简技术，该方程利用了约束广义Riccati方程的所有解都与某些易于计算的子空间重合的事实。旨在降低约束广义代数Ric- cati方程的阶数的贡献是Ntogramatzidis和Ferrante（2015，a）。

在Ionescu和Oara（1999）中对连续时间代数Riccati方程，其中连续时间广义Riccati方程的定义使得出现在标准Riccati方程中的R的逆被其替换。根据扩展哈密顿笔的所谓放气子空间，研究了该方程允许稳定解的一些条件。在Chen和Francis（1989）和Weiss（1994）中已经在谱分解的背景下对连续时间代数Riccati方程进行了一些初步研究。然而，最近才在Ferrante和Ntogramatzidis（2014，b）以及Ferrante和Ntogramatzidis（2016）中充分解释了这个方程在连续时间内解决最优控制问题的作用。在这些论文中，证明了这个角色并不是通过与离散情况的类比来完成的。特别地，连续时间约束广义Riccati方程的对称因子的存在等同于相应的有限和无限时间LQ问题允许无脉冲解的事实。换句话说，当且仅当受约束的广义Riccati方程允许至少一个对称的半正定解时，单个LQ问题才允许所有初始状态的常规解。

2广义RICCATI方程

考虑矩阵,, ,,，使得矩阵满足

. (1)

我们得到以下矩阵方程：

1. 广义离散时间代数方程

(2)

它在无限LQ问题中推广了离散代数方程。同样，(2)可以以额外的形式表示

(3)

被称为约束广义离散代数方程,记作。

1. 广义连续时间代数方程

(4)

这是的连续时间对应，并代表在无限LQ问题中出现的代数方程

经典连续的概括。因为这里的问题允许是单数的。同样，(4)有额外的形式被称为约束广义连续代数方程,记作，从(1)我们得到,说明了。

3 CGDARE：定义和性质

给出,我们定义

指的是投射到的正交投影，是投射到的正交投影。因此，。当是的一个解，则

(6)

是相应的增广矩阵，并且

(7)

是相应的闭环矩阵。

CGDARE(Sigma;)与LMI紧密相关

是所谓的耗散矩阵。确实，通过采取中的广义Schur补集很容易看到条件等于约束条件广义离散代数不等式

的所有对称和正半定解满足（3），因此是的解。 事实上，如果Xge;0，我们发现

(8)

因此，（3）满足。我们将在下一节中看到这个属性在连续时间的情况下不成立。

以下结果表明的惯性和的零空间都与的解无关。

定理3.1 令,为的两个解

㈠和的特征值的符号是相同的;

㈡.

这个结果的第一点由Stoorvogel和Saberi（1998年）证明。 第二点由Ferrante和Ntogramatzidis（2013，a）证明。 同样由Ferrante和Ntogramatzidis（2013，a）证明：

如果X是的对称解，则

通常，有解。没有解得情况似乎是非常病态的。 就本人能力所知，没有必要和充分条件适用于。 然而，有非常弱的充分条件（参见modulus controllability ，Ferrante和Ntogramatzidis（2005））申明存在对称正半定解，同样适用于。 在另一方面，包括了，并且可能在无解时有解。 因此，即使不满足上述弱系统理论条件的情况下，可能仍有解。

4 CGCARE：定义和性质

给定,我们定义, 与离散时间的对应不同,与无关，由于与无关，矩阵是投影到上的正交投影。因此，。当是的解时，有

(9)

是相应的增广矩阵并且相应的闭环矩阵

与紧密相关

其中是连续时间的耗散矩阵.实际上，通过在中取的广义Schur补，不等式等价于约束广义连续代数不等式

如前所述，在连续时间情况下，的对称正半定解不一定满足(5)。例如，，，，。这里是的一个解，而是张成，而是由张成。因此的对称半定解并非都能解。因此，与离散情况不同的是，一般无解。而一般情况下， 由于符号可控性保证了标准具有对称正半定解，这些解一般不是的解.这与事实相符 。有解的情形是奇异LQ问题对每个初始状态都有一个非脉冲解的情形。

5约束广义RICCATI方程与LQ最优控制

在这一部分中，我们证明了约束广义方程在LQ控制问题解中的作用。在离散的情况下，使用自然元素；在连续时间内，解的存在性与相关LQ最优控制问题的非脉冲解的存在性有关.

5.1离散时间情况

考虑由下方程确立的离散线性不变系统，

(10)

并给出了初始状态。有限水平LQ问题在于寻找一个序列，其中。二次表现最小化指标

(11)

其中。用以下定理给出了有限水平LQ问题的解，见Ferrante和Ntogramatzidis(2015，c)。

定理5.1.设是由广义Riccati差分方程产生的矩阵序列

(12)

从终端条件开始向后迭代，有限水平LQ问题允许任何初始状态的解。最优控制是根据任意进行参数化的

(13)

其中且 最优消耗是

(14)

现在我们把注意力转向无限水平LQ问题，它是求输入序列，最小消耗函数的问题

(15)

定理5.2.设对每个都有一个输入，且有，使得是有限的。然后我们有：

(1)允许对称解：通过迭代带零初值条件广义差分方程(12)，可以得到的解作为矩阵序列的极限。

(2)刚刚定义的解是的最小正半定解。

(3)所有最优控制极小(15)的集合为

(16)

其中是任意的。

(4)成本(15)的最优值为

关于证明，见Ferrante和Ntogramatzidis(2013，a)

5.2连续时间的情况

考虑连续线性时不变系统，

(17)

并给出初始状态。

在我们介绍首先要解决的有限水平LQ问题之前，以下是我们应该考虑的问题。最终，我们在寻求一个确定分段连续控制解，输入u(T)， tge;0，这将使性能指标最小化。

(18)

对应受约束的情况（17）

众所周知，当为正定时，该问题的最优控制是唯一的当且仅当存在成本函数有限的控制输入。若 仅为正半定，LQ问题可能不可解。事实上，为了保证存在，我们需要考虑一个松弛的问题，其中控制输入可以包含分布(狄拉克及其分布导数)。要了解这一事实，请考虑，的，简单情况。反馈控制，产生。对于任意给定的，可以任意接近0，只要适当地选择k就足够了。 太大了。在这种情况下，当控制输入在分段连续函数之间变化时，0不是最小值，而是性能指标值的下限。另一方面，如果我们 如果允许采用分布式控制输入，则通过采取,可见于Willems et al.(1986)。

当存在一个分段连续控制函数u使二次性能指标最小化时，称为有限水平LQ问题有一个非脉冲解。

(19)

且

定理5.3.让有一个解。有限水平LQ问题有无脉冲最优解.所有这些解都是由以下给出

(20)

其中是任意函数，使得是分段连续的，是下面方程的解

(21)

条件. 最优成本为

下面的定理决定了无限水平LQ问题何时允许无脉冲解，以及最优控制集将无限水平代价最小化

(22)

在受约束的情况下为(17)。

在我们讨论如何用非脉冲控制函数求解无限长的LQ问题之前，我们考虑了一个广义微分方程，其中时间是倒转的，这里是终端条件变为初始条件，现在等于零。更具体地，我们考虑了新的矩阵函数。我们重写了微分方程作为

(23)

(24)

我们现在回想起来的Ferrante和Ntogramatzidis(2016)的主要结果是，当至少有一个对称解时，性能指标可以表示为有限维。 对于每个初始状态都有一定的控制函数，相应的LQ最优控制问题允许无脉冲控制.

定理5.4.设有对称解，且对于每一个，存在一个输入，其中有tge;0，使得在(22)中是有限的。然后我们有：

(1)求出的解，作为积分(23)与零初始条件(24)生成的时变矩阵的极限。

(2)刚刚定义的解是的最小半正定解

(3)将(22)中的成本最小化的所有最优控制集合可以参数化为

(25)

任意。

(4)成本(22)的最优值为.

考虑这句话的逆含义：当奇异LQ问题接受所有的正则解时，至少有一个对称正半定解。解的存在性与无限水平LQ问题非脉冲解的存在性是一一对应的。

定理5.5 下列等价

(A)对于每个，无限水平LQ问题都有一个具有非脉冲控制的解；

(B)存在一个对称且正半定的理想解；

(C)存在一个的对称解，对于每一个，存在，使

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