相对弱混合是一般的外文翻译资料

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相对弱混合是一般的

Eli Glasner和Benjamin Weiss

¹Department of Mathematics, Tel Aviv University, Tel Aviv 6997801, Israel;

²Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem 9190401, Israel

电子邮件：glasner@math.tau.ac.il,weiss@math.huji.ac.il

摘要: Halmos的经典结果断言,在保持变换的度量中,弱混合属性是一般的. 我们将Halmos的结果扩展到固定但任意的非周期性变换的遍历扩展的集合. 然后我们使用Ornstein和Weiss的结果将这个相对定理扩展到一般（可数）适合的组.

关键词: 相对较弱的混合,Rokhlin的引理,适合的群体.

MSC(2010) 37A25, 37A05, 37A15, 37A20

1简介

在Halmos的开创性著作[6]的第19章,题为“范畴”,他证明了他所谓的“第二类定理”（原始证据发表在[5]中）定理1.1. 在弱拓扑中,所有弱混合变换的集合是无处不在的密集.

定理1.1 在弱拓扑中,所有弱混合变换的集合是无处不在的密集.

只有后来的遍历理论研究者对测量保持变换及其结构的扩展性质感兴趣（参见,例如,[2,10,13-15]）.令人惊讶的是,据我们所知,自然问题,无论Halmos定理是否适用于扩展,都没有得到任何考证. Schnurr [12]的近期结果(遵循道问题)引起了我们的注意,在本文中,我们将Halmos的结果扩展到保持变换的集合,这些变换是固定但任意的非周期变换的扩展.

设表示单位区间上的Lebesgue测度.让表示保持标准Lebesgue空间 的自同构的Polish测度组. 我们让是空间上的乘积度量. 有时我们也写,其中和是可测量集的相应代数.

设isin; Aut(v)为固定非周期变换.在 (上,表示形式为的集合的-代数.令,对于所有,组的闭合子集.由表示的闭合子组,其由变换组成,使得. 显然,在元素的共轭下是不变的.

令

并且令,表示相对独立的乘积度量,其中.

定义1.2 当度量为其规范因子的-遍历扩展时,元素相对于相对弱混合,即的不变集的代数与不变集的代数一致.我们现在可以陈述我们的主要定理.

定理1.3 相对于弱混合的度量保持变换的集合是的密集子集.

在第2节中,我们证明了定理1.3. 在第3节中,我们应用了一个关于扩展的一般论证,起源于[11],然后使用Ornstein和Weiss的结果[7]（证明见[1]）,将相对定理扩展到一般（可数）适用 组. 我们感谢Jean-Paul Thouvenot和Michael Schnurr提出了现在的命题2.3和定理1.3的表述,现在它们比原始的稍微强一些见（[4]）.

2 Z-动作的相对定理

我们首先注意到,根据Rokhlin [9]的定理,我们可以将每个写为上的偏斜乘积：

,

其中是从到Polish组的可测量映射（参见,例如,[3,定理3.18]）.

定义2.1 给定的可测量分区的元素的有限集,根据公式,在上定义一个分段常数偏斜积 ,其中对于每个是单元上的常数变换.

引理2.2 在上的分段常数偏斜积的集合是的密集子集.

证明: 设是的兼容度量, 任意元素的形式为

,

其中是可测量的映射. 用 表示前推测量 这是对的常规测量,因此,给定,存在紧凑集合,其中 . 设是的分区,直径,并设置 设.定义并且对于每个.选择一些. 最后,让 由定义,其中对于每个是单元上的常数变换. 显然R .

我们现在可以证明Halmos的非周期变换的共轭定理的相对类比.

命题2.3 对于每个元素,其与元素共轭的轨道在中是密集的.

证明: 我们将写为的偏差度量：

.

通过引理2.2,它表明给定,在上的分段常数偏斜积,并且,存在一些,使得我们具有R .

固定为. 设为的Rokhlin塔,其中（参见,例,[6]）.

我们关于分区重建了塔. 这将划分为子集,使得对于每个和每个,存在一些具有的.

我们将分别对每个列的级别进行归一化,如下所示：

bull; 上.

bull; 对于和 通过定义.

这保证了对,我们得到在 . 为了完成的定义令,对于z .最后,设置.现在很容易检查R,我们就完成了的定义.

引理2.4 由在上相对弱混合的变换组成的集合是的子集.

证明: 给定和上可测量子集的代数,令

.

显然,每个 是一个开集,,其中是中可计数的密集集合.

我们现在可以完成我们的主要定理的证明.

定理证明1.3 令isin;为固定的弱混合变换,并在上设置. 注意,是的弱混合扩展.

根据命题2.3,的轨道在中密集.由于该轨道的每个元素相对于的共轭弱混合,并且作为弱混合的所有变换的集合相对于是的子集（通过引理2.4）,定理的断言如下:

令T离开-代数A不变},令

= .

由于遍历变换的集合是的密集子集,定理1.3,结合Kuratowski-Ulam定理[8,定理15.4],立即产生Schnurr的以下结果[12].

推论2.5 集合形成的剩余子集.

3 amenable群的相对定理

Halmos的结果是:在中,弱混合是一般的,一旦确定自由作用的在共轭下的轨道是密集的,就可以扩展到任何可数的amenable群. 反过来,这依赖于Rokhlin引理（事实上,Halmos的原始证据使用了Rokhlin [9]首先提出的引理的较弱版本）. [7]建立了amenable群的这种结果. 因此,很自然地询问定理1.3的类似物对于一个amenable的群的行为. 事实上,对于给定的可服务组,固定动作的相对弱混合扩展的集合形成可以证明就像我们证明了引理2.4. 因此,仍然表明这个集合是密集的.为此,我们按如下方式进行.

定义3.1 如果和是两个可数组,作为度量保持变换对测量空间我们说如果对于a.e,则动作是轨道等效的: .

在[1,7]中,可以看出,任何一个保持行动的遍历措施都是轨道等效于的行为.

我们确定一个任意可数的amenable群.如第2节所述,我们让表示单位区间上的Lebesgue测度,并且让是空间上的乘积测度. 我们再次写,其中

设表示波兰的测量空间保持动作的. 设是固定的遍历-动作. 在上,让表示形式的集合的-代数. 令,Polish空间的闭合子集.

接下来,我们注意到如果的两个作用和的是轨道等效的,当且仅当动作是遍历时,动作是遍历的,作用群可能不同.

如果是上的组的动作,其轨道等效于 ,那么由定义的动作的集合可以通过规范双射映射与集匹配如下.元素由闭上链唯一确定,其值为,这种闭上链仅依赖于的动作在上定义的等价关系. 由于的轨道等效于,即它们具有相同的轨道,因此每个这样的闭上链也定义了唯一的元素显然,当且仅当在上弱混合时,在上弱混合.

定理3.2 设是一个可数的amenable群.中测量保持动作的集合相对于给定的遍历动作弱混合是证明的密集子集. 应用[7]和[1]中的定理得到一个保持变换的测量,该轨迹等效于动作. 现在使用此转换检查相对弱混合.

更明确地说,当等价关系固定时,如上所述,的扩展与-动作的闭上链一一对应,其中的值包含在保持光纤变换的度量组中. 因此,当应用于该动作时,定理1.3给出了期望的结果.

参考文献

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5 Halmos P R. In general a measure preserving transformation is mixing. Ann of Math (2), 1944, 45: 786–792 .

6 Halmos P R. Lectures on Ergodic Theory. Publications of the Mathematical Society of Japan, No. 3. Tokyo: Math Soc Japan, 1956 .

7 Ornstein D S, Weiss B. Ergodic theory of amenable group actions, I: The Rohlin lemma. Bull Amer Math Soc (NS), 1980, 2: 161–164 .

8 Oxtoby J C. Measure and Category, 2nd ed. A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. Graduate Texts in Mathematics, vol. 2. New York-Berlin: Springer-Verlag, 1980 .

9 Rokhlin V. A “general” measure-preserving transformation is not mixing (in Russian). Dokl Akad Nauk SSSR (NS), 1948, 60: 349–351 .

10 Rudolph D J. Classifying the isometric extensions of a Bernoulli shift. J Anal Math, 1978, 34: 36–60 .

11 Rudolph D J, Weiss B. Entropy and mixing for amenable group actions. Ann of Math (2), 2000, 151: 1119–1150 .

12 Schnurr M. Generic properties of extensions. Ergodic Theory Dynam Systems, 2018, in press .

13 Thouvenot J-P. Quelques propriacute;etacute;es des syst`emes dynamiques qui se dacute;ecomposent en un produit de deux syst`emes dont lrsquo;un est un schacute;ema de Bernoulli. Israel J Math, 1975, 21: 177–207 .

14 Zimmer R J. Extensions of ergodic group actions. Illinois J Math, 1976, 20: 373–409 .

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