偏微分方程的Green函数法开题报告

 2021-11-25 22:09:05

1. 研究目的与意义(文献综述)

国内外的许多相关的研究以及数值天气预报、大型水坝应力分析等许多例子,说明数值求解偏微分方程在各门科学和工程中的应用。偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要地位,很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题,近些年来,它的理论和方法都有了很大的发展,而且在各个科学技术中应用越来越广泛。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛[1-3]。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程的发展和应用将变得更加重要!

对不同的方程我们可以结合其他数学学科的知识采取不同的解法。例如,对于波动方程(一类特殊的双曲型方程),我们可以采取“特征线法”,“分离变量法”,“特征函数展开法”等,对于高维波动方程的初值问题我们可以采取“球面平均法”等;对于热传导方程(一类特殊的抛物型方程),我们可以采取“傅里叶变换”的方式;对于位势方程(一类特殊的椭圆型方程),我们可以借助“基本解”,“green函数”等方式对其解决。

本文主要用求解laplace方程的green函数法求解热传导方程和波动方程,其实,求解偏微分方程有很多方法,比如行波法,分离变量法等,但是行波法广泛应用于无解空间的波动问题,有一定的局限性;分离变量法诚然很基本、很重要,可以应用于颇为广泛类型的定解问题,但其解为无穷级数,这总将带来一些不便。在求解laplace方程的过程中常见的方法是分离变量法,对于2维和3维的偏微分方程比较方便求解,若出现了n维的情况下的求解就困难[4],因此用green函数求解laplace方程的解就变得很重要。

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2. 研究的基本内容与方案

green函数法是求解laplace方程的有效手段,本研究着重考虑利用green函数求解热传导方程以及波动方程。本研究分三个阶段,一是弄清楚求解laplace方程的green函数法;二是用green函数法来求解热传导方程;三是用green函数法来求解波动方程。

从具体的物理过程看,一个偏微分方程表示一种特定的场和产生这个场的场源之间的关系,如laplace方程表示静电场和电荷分布的关系;热传导方程表示温度场和热源的关系等,于是这给求解方程提供了思路:先求点源产生的场,然后利用叠加原理来求由任何连续分布源产生的场,这就是laplace方程等偏微分方程的基本解法,它已成为近代物理偏微分方程研究的重要方法之一[4-15]

目前已有的研究是从green函数的基本特点出发,运用green函数的特性对laplace方程进行了求解,得到了一个积分形式的解。此解是一个连续的函数即为调和函数,对该解进行了讨论,可以得到这种积分形式的解可以推导到不同空间中都是成立的[4]。用green函数来解laplace方程是对偏微分方程的一种特殊的解法,因此我们希望也可以用green函数对热传导方程和波动方程进行求解,并能够得到很好的运用。

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3. 研究计划与安排

1-3周:查阅文献,完成开题报告

4-6周:总体设计,完成论文综述

7-10周:设计算法,功能模块设计

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4. 参考文献(12篇以上)

[1]陆金甫,偏微分方程数值解[m],高等教育出版社,2013.

[2]胡建伟,汤怀民,偏微分方程数值解法[m],科学出版社,1999.

[3]赵国昌,杜霞,宋丽萍,李静.格林函数法求解含移动介质轴向导热的稳态温度场[j].航空动力学报,2014,29(06):1249-1260

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