Mouml;bius变换的分类及应用开题报告

1. 研究目的与意义

mbius变换,又叫分式线性变换，最早由德国数学家mbius作了大量研究，至今已经有150年的历史。

mbius变换在形式上相对简单，存在四个复参数，由于ad-bc≠0,所以我们只需确定三个独立的复参数便可唯一确定一个分式变换；与此同时，mbius变换可以分解成四种更简单的变换：旋转、伸缩、平移、反演变换，任意mbius变换总可看作这四种简单变换的复合。mbius变换作为最简单的共形变换，其所具有的保角性、共形性、保对称点性和保圆周性，使得mbius变换在数学本身以及在解决流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的重要方法。以mbius变换为元素的mbius群更是现今主流数学中蓬勃发展的一个活跃分支，它与现代数学的黎曼曲面、双曲流形以及物理学中的超弦理论和相对论有着密切的联系，这导致了其在数学中的重要地位。当代有许多著名数学家在这方面进行了大量工作，如l.v.ahlfors、b.thurston、 d.sullivan、f.w. gerhing、 p.tukia等，他们的工作使得这方面的研究成为近年来数学中的闪光点。

本课题将对mbius群的基础元素mbius变换给出一个完全的分类，并就各种不同类型mbius变换的判别方法进行讨论，在此基础上再对mbius变换的应用价值进行研究。

2. 研究内容和预期目标

主要内容：

1. 介绍mbius变换相关基础理论知识。如：mbius变换定义、分解、性质。

2. 讨论不同类型mbius变换的判别方法。

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

收集相关文献资料，整理mbius变换的相关基础理论知识，掌握mbius变换一般形式，对mbius变换进行全面分类，并找出不同类型的mbius变换的判别方法，通过实例学习了解mbius变换的应用价值。

研究步骤：

4. 参考文献

1.钟玉泉, 复变函数论。 北京：高等教育出版社 2013。

2.吕以辇等著，黎曼曲面。北京：科学出版社，1991。

3.beardon a.f., the geometry of discrete groups. berlin heidelberg new york: springer-verlag, 1983。

5. 计划与进度安排

1. 2022年3月2日-3月13日 下达任务书，指导教师向学生讲授所选论题的状况和要求等

2. 2022年3月9日-3月20日 指导教师修改和审定学生论文开题报告。

3. 2022年3月23日-5月29日 学生按开题报告撰写论文。期间学生每周应向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况。