留数的计算方法探析开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景：

留数，也被叫作残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。1825年，柯西（cauchy）在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形类比，处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善了留数的概念。形成了如下定义：设函数f（z）以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|r内解析，则称积分 为f(z)在点a的留数。柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程、级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为了一个极其重要的概念。

综观复分析理论的发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。只有正确理解它们之间的关系并掌握柯西理论、泰勒级数和洛朗级数等研究问题的重要工具，才能有效利用留数解决实际问题。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路线的选取等等，求解出许多被积函数解不出来的情况，例如计算周线积分、大范围的积分和一个函数的零点分布区域问题等等，从而为积分的发展奠定了基础。因此利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊积分的计算有很大帮助。在平时的学习生活中留数理论或许能成为求积分与实际应用的有利工具。

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容

1.了解并掌握留数的基本概念

2.研究留数的计算方法与函数类型及孤立奇点类型之间的关系

3. 研究的方法与步骤

查阅文献，综合运用留数理论、柯西理论、泰勒级数和洛朗级数相关知识，针对不同的孤立奇点建立不同的计算方法，通过收集分析资料进行同一类孤立奇点的方法归纳。

步骤如下：

1、认真收集留数及不同孤立奇点方面的资料，分析并加以研究，确定要解决的问题。

4. 参考文献

1.钟玉泉，复变函数论（第三版）（m）,高等教育出版社，北京，2004.

2.余家荣，复变函数(m)，人民教育出版社，2003.

3．西安交通大学高等数学教研室，工程数学：复变函数（m）,高等教育出版社，北京，2004

5. 计划与进度安排

1.2022年3月2日-3月13日下达任务书，指导教师向学生讲授所选论题的状况和要求等

2.2022年3月9日-3月20日指导教师修改和审定学生论文开题报告

3.2022年3月23日-5月29日学生按开题报告撰写论文。期间学生每周应向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况。