Taylor公式在解题中的若干应用开题报告

1. 研究目的与意义

背景：在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限而得到的。一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的微分学时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。

目的：泰勒公式可广泛应用与多种数学问题，关于它的研究有很重要的现实意义。泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式及泰勒级数是极重要的数学工具，现对泰勒公式的一些应用进行研究，主要包括以下几个问题：（1）讨论级数的敛散性；（2）证明不等式；（3）求函数的极限；（4）计算行列式；（5）判断方程的根的唯一性等。

意义：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，其在证明不等式和求极限等方面有着广泛的应用。它集中体现了微积分逼近法的精髓，是求解高等数学问题的一个重要工具，利用泰勒公式可以使很多问题化繁为简。泰勒公式也是数学分析课教学中的难点，而泰勒公式的具体应用在教材中涉及的较少，由此本文将总结几种泰勒公式的证明及其应用方法，对泰勒公式及其应用进行一个总体上的认识，并且进一步推广泰勒公式及其应用理论的应用。

2. 研究内容和预期目标

本课题的主要研究内容是探讨泰勒公式的应用。本次论文将涉及到泰勒公式在以下五个方面的应用：

1、泰勒公式在极限计算中的应用；

2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

为了写好论文我将到图书馆查找相关文献，到电子阅览室查找相关期刊文献.从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作。论文中我将具体采用数学归纳法、分析法、反证法、演绎法等方法.

研究步骤：

4. 参考文献

[1] 华东师范大学数学.数学分析上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2002：34,138.[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002：173,179.[3] 余力,刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用[J].高等数学研究,2003：6.15.[4] 冯平,石永廷.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J].新疆职业大学学,2003,11.[5] 沈恒范. 概率论与数理统计[M] . 北京:高等教育出版社,2001.[6] 潘劲松. 泰勒公式的证明及应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版)，2010.04（第10卷第2期）:16-21 [7] 复旦大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2007[8] 北京大学.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978[9] 王书华.浅谈泰勒公式的应用[J].科技风，2010.03[10]张天虹.泰勒公式在解题中的研究[J].数学教学与研究，2009(51）：94-95

5. 计划与进度安排

1.2022年11月15日～2022年3月2日，按照指导老师任务要求初步理解本课题的目的要求和任务，准备相关的参考资料；

2．2022年3月2日～2022年3月13日，指导教师向学生讲授所选论题的状况或要求；

3.2022年3月9日～2022年3月20日，学生完成开题报告；