级数的求和方法探索开题报告

1. 研究目的与意义

近代微积分的酝酿，主要是17世纪上半页这半个世纪，这个世纪标志着文艺复兴以来，在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然学科开始迈入综合与突破阶段。这种综合与突破所面临的数学困难，使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点。在这个时间几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是描述运动与变化的无限小算法，并在相当短时期内，取得了迅速的发展。

在18世纪微积分不仅取得了进步并和广泛的应用紧密交织在一起。其中它的发展与无穷级数的研究密不可分。在《庄子天下篇》中一尺之棰，日取其半，万世不竭的例子中，把每天截下那一部分的长度加起来，这就是无限个数相加的一个例子。从直观上可以看到，它的和是1。由此提出这样的问题：无限个数相加是否存在和；如果存在，和等于什么？这些问题刺激了人们对无穷级数收敛性的思考。18世纪后出现了一些级数收敛判别法。莱布尼茨变号级数收敛定理；达郎贝尔级数绝对收敛判别法等等。这些说明18世纪的数学家已经开始注意到无穷级数的收敛问题，尽管对这一问题真正的严格处理要到19世纪。柯西对无穷级数进行了严格化的处理，明确定义了级数的收敛性，并研究了级数收敛的判别条件。

无穷级数不仅是研究分析学的重要工具，同时在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由无穷级数来解决。这是因为，一方面有很多函数可以用无穷级数来表示；另一方面又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算等问题。所以无穷级数理论在理论或实际应用中，都是研究函数的一种重要工具。

2. 研究内容和预期目标

首先，对级数的基础知识进行简单的介绍，为研究级数求和的方法提供理论基础；

然后，从利用收敛级数的定义求和，根据函数项级数的和函数求级数的和，几种特殊的求和方法，研究整理级数求和的方法与技巧，为级数求和在其他领域的应用提供坚实的理论基础；

最后，简单介绍级数求和在日常生活中的应用。

3. 研究的方法与步骤

以所学教材为为基础，在图书馆查阅大量相关书籍。搜索图书馆数据库相关电子文献，查阅互联网上相关资料获得级数的相关研究状况，开阔视野与思路。

4. 参考文献

[1]华东师范大学数学系数学分析（下册）（第三版）[m].北京：高等教育出版社

[2]张春平.无穷级数的求和探讨[j].沈阳师范大学学报（自然科学版）

[3]王艳萍.无穷级数和的几种求法[j].高等数学研究

5. 计划与进度安排

1、2022年3月，接受任务，收集资料，写出开题报告。

2、2022年4月，收集资料，与老师对资料及初步形成的写作思路展开讨论。

3、2022年5月1日5月10日，写出初稿，接受中期检查。