有关无穷小量的分析开题报告

1. 研究目的与意义

17世纪下半叶，牛顿与莱布尼茨分别独立完成与创建了研究与完成了微积分的创立，他们建立微积分的基础是无穷小量，这正是现代数学中分析学名称的来源。分析学早期也称无穷小分析，由于当时尚无严格的极限概念与实数理论。无穷小量还无法用常量代数理论解释、分析和演算。因此无穷小量就成了既简单好用又说不清的一个概念，并由此引发了第二次数学危机。直至19世纪，柯西详细而系统地发展了极限理论，柯西认为无穷小量本质上是变量，而且是以零极限的变量。至此无穷小量模糊的概念才得以解决。另外，由于维尔斯特拉斯创立了极限理论，再加上实数理论与集合论的建立。才彻底把无穷小量从形而上学的束缚中解脱出来，第二次数学危机基本解决。

《数学分析》中函数极限的最后一节内容就是关于无穷小量，但在这一章学习中。我们往往会把学习重心放在极限理论和计算上。而不太重视对无穷小量的理解。事实上,无穷小量对极限计算与部分后续内容,如级数的敛散性判别与反常积分的敛散性判别都有着重要的意义。往往是求解那些问题的突破口。尤其是级数的敛散性判别与反常积分敛散性的判别，学生往往感到难以掌握其方法和原理，这与不理解无穷小量的意义，不能灵活运用无穷小量是有很大关系的。

研究无穷小量对极限运算有着指导意义，而且对微积分而言，无论在其发展与应用均有着重要的地位和作用。正确理解无穷小量的概念有利于理解微积分的本质。

2. 研究内容和预期目标

1)搞清楚无穷小量的定义，研究无穷小量的意义，无穷小量的性质，有关无穷小量的结论，

2)形成无穷小量的知识体系，无穷小量在微积分、级数与极限运算中的运用。

3）研究无限个无穷小量乘无穷小量是否还是无穷小量对本科阶段无穷小量的理解更进一步。

3. 研究的方法与步骤

1)文献分析法：参考现代无穷小量的理论基础，选择相关无穷小量类书籍进行分析，为本论文提供必要的理论支撑。

2)定量分析法：通过对无穷小量概念的理解，更好地理解微积分的本质。

3)定性分析法：通过对无穷小量在微积分、级数与极限运算的运用，归纳、演绎出其一般性的方法结论。

4. 参考文献

[1]数学分析[m].北京：高等教育出版社，2001.

[2]韩云瑞、张广远等.微积分教程[m].北京：清华大学出版社，1999.

[3].无穷小量分析[m].

5. 计划与进度安排

1、2022年12月1日~2022年2月22日，与学生联系，向学生布置阅读相关文献要求；

2、2022年2月22日~2022年3月6日，给学生论文任务书，指导学生根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

3、3月1日~3月13日，指导学生完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；