非常规极限问题的求解方法探讨及应用开题报告

1. 研究目的与意义

极限的概念是数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究分析方法的重要理论基础，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的，掌握好求极限的方法对学好数学是十分重要的。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果。在数学分析领域,极限理论通过其自身具备的多种表现方式,展现了其基础性与重要性的地位,极限理论是数学分析阶段的主要内容。从现代化数学发展层面而言,极限是处理解决现代数学问题的关键方法。分析和理解求极限的各种方法，才能对数学分析的后续内容有深层的认识。

2. 研究内容和预期目标

求解函数极限的方法很多，函数极限计算灵活多变，每种类型都有不同方法，根据需函数极限类型不同，本文将主要探究用不同的方法求解问题，具有技巧性，并列举了大量的方法，便于解决不同类型的函数极限,系统的给出函数极限的各种求解方法,并且给出文字说明和例题解说,理论与例题相结合，清晰明了。

拟解决关键问题：学习极限求解的相关理论知识、并在极限的有关问题上应用与拓展一些非常规的极限求解方法，如迫敛性求解、洛必达法则、等价无穷小量、泰勒展式、定积分求极限等非常规的求解方法。

3. 国内外研究现状

国外：洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，由法国数学家洛必达提出。因两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，所以求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算，洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。泰勒公式是一个非常强大的工具，它可以用来计算极限，用来做高精度的近似计算，等等。只要对象函数在一点够光滑（高阶导数多），泰勒公式就可以对这个函数在这点附近有高精度的多项式近似。国内：极限是数学的基础，在数学中占有十分重要的位置，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。函数极限是数学重要的内容之一，它的求法是数学的最基本的也是最重要的计算内容。极限是贯穿数学始终的重要工具，借助于极限进行推理是这门课程的基本手段，因此掌握好极限的求法是学习数学的关键一环，并且极限理论也推动了各种数学理论的发展，促使许多实际问题得以解决。在近代数学许多分支中，一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。

4. 计划与进度安排

研究计划：

第一阶段：2022.12—2022.01整理复习有关极限求解部分的内容，尤其重点阅读学习极限的特殊方法求解如泰勒，定积分求极限等方面的内容，并查阅相关参考文献；

第二阶段：2022.01—2022.02确定查阅文献资料，收集各种纸质，电子文件信息，材料并对其进行加工整理，形成系统材料，形成外文翻译，深入学习与整理相关研究内容，并构建好论文结构框架，全面开展课题研究，完成论文的初步模型；

5. 参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.上册.北京:高等教育出版社,2006;

[2]华东师范大学数学系.数学分析.下册.北京:高等教育出版社,2006;

[3]刘艳.泰勒公式在函数极限计算中的方法探讨[j].教育教学论坛,2020(28):328-329.