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随机过程的谱表法模拟
Masanobu Shinozuka
普林斯顿08544，普林斯顿大学土木工程及运筹研究
George Deodaits
普林斯顿08544，普林斯顿大学土木工程及运筹研究
这篇论文的主要内容是运用谱表方法对一维、单变量平稳高斯过程进行模拟分析。根据这个方法，可以用余弦级数公式以非常高的计算效率得到随机过程的简单函数式。这个函数精确地反映了当余弦级数的项数非常大时，随机过程指定的概率特征。随着样本数的增加，整体平均功率谱密度以及自相关函数达到相对应的目标函数。另外，当平均发生在余弦级数的基本周期以后，当前的均值以及自相关函数与对应的目标相一致，就这个意义上来说，产生的简单函数具有各态历经性。这个模拟的随机过程最重要的性质就是当时，逐渐接近高斯过程。这个方法另外一个吸引人的特点是余弦级数公式可以通过快速傅里叶变换高效地计算得到。这种方法主要在工程力学和结构工程中随机问题的蒙特卡罗解法中被采用。特别地，这个方法已经被用于随机荷载（随机振动理论）和随机的材料以及几何特性问题研究中（系统随机性引起的响应的变化）
目录
简介
在过去的大约三十年，在工程力学以及结构力学领域内为保证整体结构安全具有较高的可靠性引入随机过程理论，取得了很大的进步。这个理论最初被用于随机荷载（随机振动理论）的问题中，过去的十年开始用于随机的材料以及几何特性问题（系统随机性引起的响应的变化）中。随机振动理论中的典型问题，包含海波浪下船位移的分析、机动荷载和狂风下飞行器响应的分析、近海结构在波浪和风的作用下响应分析、在粗糙不平的路上车辆的振动研究、由大气湍流和地震时地面震动引起的结构响应的分析。系统随机性引起的响应的变化包含有：由于材料特性（比如说弹性模量）或者几何特性（比如说结构元件的尺寸）的随机性或者两者引起的结构动力响应的分析。解决随机振动问题最广泛运用的方法是频域分析方法，解决系统随机性问题最多用的是扰动法。
大部分的研究者都集中在研究上面提到的两种解决方法（频域分析法和扰动法）的应用，这篇文章的第一作者发展和主张采用蒙特卡罗模拟方法来解决随机振动问题以及系统随机性问题（比如Shinozuka1972，Shinozuka和Astill1972, Shinozuka和Wen1972, Astill,Nosseir和Shinozuka1972，Wilkins，Wolff, Shinozuka和Cox1075,Shinozuka和Lenoe1976,Shinozuka1977,Shinozuka,Yun和Vaicaitis1977, Shinozuka,Fang, Kitutake和Matsui1978, Shinozuka和Deodaits1988a, Yamazaki, Shinozuka和Dasgupta1988,Deodaits1989,Deodaits, Deodaits和Neal1989,Billah和Shinozuka1990, Billah和Shinozuka1991）。蒙特卡罗模拟方法的主要优势是可以得到任意已知确定性解答（要么是解析解要么是数值解）的问题的精确解答。蒙特卡罗模拟的唯一一个缺点是太过耗时。然而，作者相信地是，在下一个十年里，数字化电脑进一步演化将会提高蒙特卡罗模拟方法在工程力学和结构工程领域的有效性。无论如何，蒙特卡罗模拟是解决大量包含非线性、系统随机性、随机稳定性、参量激励等因素的随机问题的唯一可行方法。
蒙特卡罗模拟方法最重要的一部分是包含有领域和波动的随机过程样本函数的产生。产生的样本函数必须精确地描述对应领域和波动的平稳地或者非平稳地、其次或者非其次地、一维或者多维、单变量或者多变量高斯或者非高斯的随机过程的概率特征。用于产生这些样本函数的这种方法就是“谱表现法”。虽然这种方法的概念已经存在一段时间（Rice 1954），但是是Shinozuka（Shinozuka和Jan 1972, Shinozuka 1972）首先将其运用到多维、多变量和非平稳的模拟中。Yang（1972,1973）证明快速傅里叶变换（FFT）方法可以被用于极大地提高算法的计算效率并且提出了一个公式来模拟随机包络过程。Shinozuka（1974）将快速傅里叶变换方法在多维情况下的应用进行了推广。最近，Shinozuka和Deodaits （1989）将谱表现法在随机波动中的应用进行推广，Yamazaki和Shinozuka（1988）提出一个迭代方法来模拟非高斯随机场，Yamazaki和Shinozuka（1990）引入数据预处理的方法来减小样本的大小。最后，两个采用谱表现法模拟的综述论文分为为Shinozuka（1987）与Shinozuka和Deodaits（1988b）。
目前采用谱表现法模拟一维单变量平稳随机过程的论文主要用做两个目的。第一个就是通过收集和编辑从几个不同的论文中得到的材料，对方法进行综述。第二个就是为没有在前人论文中明确提出的某些重要问题提供严格的引出以及详细阐述。这些问题包含：模拟随机过程渐进高斯性、由Rice提供的谱表现的各态历经性、由于模拟随机过程的周期性引起的失真。
平稳随机过程的谱表现
令为一维单变量的平稳随机过程，其均值为零，自相关函数为和双边功率谱密度函数为。有如下关系存在：
最后两个公式构成维纳辛钦变换对。
下面的原理基于均值为零的一维单变量平稳随机过程（例如Yaglom1962, Cramer和Leadbetter1967）。
对于每个实值的一维单变量平稳随机过程，其均值为零，双边功率谱密度函数为，两个有着正交增量和的相互正交的实值随机过程和可以被认为：
过程和以及对应的增量和只在时有定义，它们满足下列要求：
在时
在时
在时
在时
在时
在时
在时
假定与可微的功率谱分布函数，其功率谱密度函数为：
功率谱密度分布函数在极限情况是有限的，等价于：
在公式到中，和被定义为：
公式中的不等式表明频率间隔和是不相交的。
公式还可以写成下列形式：
其中
足够小但是有限的，因此公式可以被用到公式中。
如果增量和被定义为：
而且如果这些与这些都是独立随机变量，均值为0，标准差为，很显而易见所有加在和（公式到上）的条件都是满足的，得到以下的级数表达式：
另一方面，如果和被定义为（Shinozuka 1972）：
其中
这些是均匀分布在区间上的独立随机相位角，很显而易见表明公式到上的条件又是满足的。确定地，公式可以写成下列的表达式：
其中随机相位角的概率密度函数，如下：
然后，公式可以写成：
同上方法可以得到。
公式中的条件可以表达为：
同上方法可以得到
公式中的条件可以写成：
公式中的等式是正确的，因为和在时是独立的随机相位角。最终，公式可以写为：
在时
同上方法可以得到在时，。
最后，在公式中的条件可以表达为：
在时，由于和是独立的随机相位角，在公式中的最后一项的期望值如下所示：
在时
当时，这一项可以写成
在时
联立公式至，可得以下结果：
在或者时
因此，由公式和可知所有施加在和上的条件[公式到]都是满足的。接着，将公式和代入公式(17)中，可以得到下面的级数表达：
由上可知，公式（21）与公式中两个级数表达式与公式中的谱表法原理一致。在4.1节中将会表明公式（35）是用来模拟的，当平均发生在余弦级数的基本周期之后时，就每个样本的暂时的平均值和自相关函数，以及每个样本函数都是与目标函数完全相同的意义上来说，它提供的样本函数具有各态历经性。另一方面，在4.3节中将会证明由公式（21）得到的样本函数是不具有各态历经性的。这就是为什么接下来只采用公式（35）的原因。
公式（21）（和都是正态分布）和公式（35）中的表达在一著名的由Rice所写的论文里提到过。在论文里Rice表明， Einsteinh和Hopf在1910年对黑体辐射的研究中采用过公式（21）中的表达。Schottk（1918年）在散粒电流效应中也采用过，且并没有将和都视为正态分布。
随机过程的模拟
公式模拟
考虑一维单变量的平稳随机过程，其均值为零，自相关函数为和双边功率谱密度函数为。如下，为随机过程与模拟之间的差别。
由公式（35）中的无穷级数表达式可知，随机过程在时，可以由以下的级数来模拟：
其中
以及
或者
在公式（39）中，代表上限截止频率，超过因为数学或者物理上的原因可能被假定为零双边功率谱密度。因此，是一个确定的值，当时，，所以有。以下的准则被用来估计的值：
其中（如）。
注意在考虑一个线性随机振动问题时，
被用作准则，其中这个问题中体系的频率响应函数。然后，这个响应可以直接采用作为公式（36）中的功率谱密度函数。
公式（36）中的是非正态分布的分布在区间上的独立随机相位角。
在公式（40）的条件下，显而易见公式（36）中给出的模拟随机过程周期性
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