基于置信传播的三维人体运动分析研究外文翻译资料

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Sigama点置信传播

摘要：Sigama点 (SP) 滤波器也称为无迹卡尔曼滤波器，是代替扩展卡尔曼滤波器和粒子滤波器的不二之选。本文将SP滤波器扩展到对应于带环因子图的非序贯贝叶斯推理中。我们将SPBP作为置信传播信息传递方案，这是一种复杂度低的逼近方案。对应一般性的带环因子图，SPBP可以近似得到其后验分布的边缘化。由于SPBP对通信要求不高，因此很适合用于离散化推理问题。我们证明了，当计算量和通信要求不高时，对于离散的、动态的传感器定位问题，SPBP优于基于粒子的NBP算法。

关键词：置信传播，协同定位因子图，Sigama点，无迹变换。

一、 绪论

Sigama点滤波器也称为无迹卡尔曼滤波器，是一种对非线性系统的序贯贝叶斯估计。SP滤波器优于扩展的卡尔曼滤波，且复杂度远小于粒子滤波器^[1][2]。序贯贝叶斯估计对应于联合后验概率密度函数的序贯因子结构。对于更普遍的带环因子结构，可以采用置信传播消息传递方案近似实现贝叶斯估计所需的边缘化^[3]。高斯置信传播（GBP）和非参数置信传播（NBP）降低了近似的复杂度，对一般性结构，分别扩展了卡尔曼滤波器和粒子滤波器。GBP 使用了高斯消息表示法，适用于线性、高斯的系统。而 NBP 用了粒子表示法，故适合于非线性、非高斯的系统。

在本文中，SPBP 算法将SP滤波器扩展到一般的因子结构，算法复杂度较低。我们证明了SPBP与NBP类似，但SPBP算法复杂度远远小于NBP，比NBP算法更好。由于SPBP只计算相邻传感器间信息的均值向量和协方差矩阵，因此SPBP非常适用于解决无线传感器网络中的分布式推理问题。我们注意到，SPBP 不同于在[8]中所提出的算法。[8]中的算法使用了SPs 逼近贝叶斯网络中的BP算法，利用信息融合技术来倍增消息。相比之下，利用因子图，SPBP改进了更高维空间中置信传播算法。除了在[3] 中所列的因子图的优点，SPBP还简化了离散化执行过程。

本文的结构安排如下：第二节介绍SPs的基础知识；第三节描述系统模型，概述置信传播算法；第四节设计SPBP方案；第五节讨论SPBP的计算量和通信要求；第六节分别给出局部的，整体的和动态自我局部问题的模拟结果。

二、 Sigama点的基础知识

对于一般的（非高斯）随机向量,已知其期望为，协方差矩阵和一个转化的随机向量，其中是一般的非线性函数。SPs ，选择相应的权重和，使加权样本均值和加权样本协方差矩阵分别等于和。SPS的闭式表示和权重参见[2]。可以通过调整参数来调整SPs的均值的邻域范围，这取决于x[1],[2]的维数J。接着，每次SP都通过传播，使得（无迹变换）。集合则以近似的形式来表示x和y的联合二阶统计。特别地，、和的近似值分别为：

[1]和[2]已经证明了，这些近似值至少与从得到的线性值（一阶泰勒级数近似）一样准确。注意，SPs 的数值2J 1随x的维数线性增加，且明显小于在粒子表示法中的随机样本数。

接下来，分析对从观测向量得到的随机向量X的贝叶斯估计中SPs的作用。

这里，噪声n是统计独立于X且非高斯的，均值为0，协方差矩阵已知。

基于后验概率分布函数的贝叶斯估计为：

（4）

其中是似然函数，是先验概率分布函数。一般不能公式(4)直接计算，尤其当x和n是高斯随机向量且（H是已知的矩阵）时。也是高斯的，可以通过下列计算得到后验均值和后验协方差矩阵：

其中，

且

上述表达式用于卡尔曼滤波器的测量更新步骤中[6]。从可以得到X的最小均方误差估计，从可以得到估计精度的特征值。一般情况下对于非线性，可以通过公式（5）-（7）计算得到潜在的扩展的卡尔曼滤波器[6]的基本近似值，其中雅克比矩阵H是的线性化。另外可以通过SPs的均值来更精确地逼近和。基于此，我们利用公式（5）和（7）中的第一个等式，用SP近似将、、替换成、、，则有：

其中，，因此，我们得到以下近似SP执行步骤。

步骤1：从和[2]计算得到SPs和权重。

步骤2：计算转化SPs 。

步骤3：通过，均值和协方差、和，计算和。

该算法可以扩展到非加性噪声中。

三、 置信传播

接着，我们概述系统模型和置信传播算法。对于K个状态，状态和的观测值为：

其中，集合是对称的，即，。是一个一般的非线性对称函数，即。且均值为0，协方差矩阵已知。。我们将在后文讨论，实现对称性的方法和不需要的改进的置信传播方案。我们假设，独立于所有的，则和相互独立，除非或，所有的都素先验独立的。BP算法以及在第四章的SPBP算法可以很容易地扩展到更一般的系统模型，即它不局限于加性噪声和“成对”的观察。

在下文中，；类似地，用所有任意顺序叠加的来定义z。基于我们的假设和公式（4），得到联合概率分布函数：

状态的贝叶斯估计依赖于边缘后验概率分布函数。然而，我们不能直接边缘化公式（10）中的。我们可以通过迭代对应于（10）因子图的置信传播消息，得到边缘后验概率分布函数。令可变节点，集合的邻域包含所有的，以使。接着，当时的迭代，可得可变节点k的置信度为：

其中，

令等于的先验概率分布函数，初始化递归过程。

在离散的情况下，因子图中的可变节点即是同步传感节点，通常不能满足对称条件。此时可以看作平均测量值或者叠加的测量值，这需要传感节点k和l间的通信。或者，通过[9]中提到的SPAWN信息传递方案来回避条件。SPAWN不同于标准的置信传播操作(11)-(13)，是对于所有来说的。因此，公式(12）被改写为：

且不需要计算公式(13)。

四、 Sigma点置信传播

所提的SPBP算法执行的复杂度低。其复杂度是（11)中基于SPs的的近似计算值。算法的主要思路是，重新制定在“复合”向量（和其邻节点状态）和（节点的所有观测值）的高维空间中的置信传播算法操作。的维数是，其中表示的维数。令（分别为）用移除（分别是子向量和）的子向量表示，令用移除的子向量表示。将公式(12)插入(11)和(13)中，得到：

其中，

（如果已使用了SPAWN，则，因此不需要计算。）注意，和分别为复合观测模型的似然函数和“迭代的先验概率分布函数”）

其中，，。

为了得到的基于SP的近似计算值，我们首先注意到公式（14）是一种边缘化计算，即：

由于“复合置信度”的表达式(17)与(4)相似，我们可以用类似于计算的近似SP表示的方法，算得的近似SP表示。我们先定义一个对应于“复合先验”的一个均值向量和一个协方差矩阵：

这里，我们将理解为统计独立的随机变量（一个归一化）的概率分布函数的输出。此外，和分别是先验的均值和协方差；和分别是的均值和协方差；表示分块对角矩阵，其对角块是列矩阵。（对于SPAWN，和是的均值和协方差矩阵。）对于每个执行下列步骤（注：前三个步骤与第二章中的类似）：

步骤1：由和计算对应于的SPs 和权重。（注：SPs 的维度和数值取决于邻节点的数目，因此在中采用调整SPs 的传播的转换参数。）

步骤2：计算转化后的SPs 。

步骤3：从，像(1)-(3)中那样计算均值和协方差、和。随后，像(8)中那样，分别用，和计算和（的均值和协方差矩阵的SP近似值）

步骤4：从和，提取与相关的元素。（这相当于(16)中的边缘化）。更具体一点，“边缘置信度”的近似均值和协方差矩阵分别由的第一个元素和左上角的子矩阵给出。（参见(18)中的堆叠结构和(19)中的分块结构）。

由于（15）的结构类似于(14)，因此我们可以用相似的方式执行在(15)中消息的基于SP的近似计算。（对于SPAWN，不需要）

我们注意到，作为一般的有环BP，SPBP通常均值收敛而协方差矩阵不够好[10]。

五、 计算量和通信要求

与[2]中的SP滤波器相似，SPBP需要计算矩阵的平方根来计算步骤1中的SPs 。这是该SPBP算法中最复杂的部分。计算矩阵的平方根的一种有效的方法是采用Cholesky分解[ 11 ]，其复杂度是的立方。因此，SPBP的复杂度是的立方，SPs 的数量（）亦然。然而，NBP的粒子数通常比SPBP中 SPS的数量高很多。此外，Cholesky分解复杂度的平方和立方项更小（约乘以，除以，且[11]中用了的平方根）。因此，在许多应用中，SPBP的复杂度明显小于NBP的复杂度。

SPBP在分散信号处理应用中，因子图中的每个可变节点对应无线传感网络中的一个传感器节点。这样做特别有优势的，因为这用一个均值向量和协方差矩阵分别表示和，每次消息传递迭代的大多数实值从传感器k传递到相邻传感节点，而不是用成千上百的粒子。更具体一点，在消息传递迭代过程p中，传感器k收到从所有发来的和（这需要计算和，参见(18)和(19)）,并广播发送和到所有。这些通信是进行SPBP算法第一步的提前条件。如果(9)的测量模型只涉及到状态的子状态，则只要传递对应的均值和协方差矩阵。（在NBP算法中，也只要传递对应的子粒子。）

六、 仿真结果

我们模拟了一个离散的，协作的，动态自我定位的情况[ 9 ]，使用了含（K=5）5个传感器的网络，其中有3个移动传感器，2个锚传感器，即有完整位置信息的静态传感器。移动传感器在时间的状态由位置和速度组成。每个移动传感器在大小的区域内移动，测量到所有其他传感器的距离，传递当前位置的平均值和协方差矩阵给其他节点，并估计其自己的状态。我们假设，每个移动传感器能够将其测量值与单个传感器相关联。每个锚传感器传递其自己的（真实的）位置。移动传感器在时间i到传感器l的距离测量值是（参加(9)）:

其中，是方差的零均值高斯测量噪声。

移动传感器的状态根据[13]独立演变。这里，如[14]选择矩阵和，驱动噪声向量是高斯的，即，，协方差；此外，除了时，和是相互独立的。在状态序列的生成中，这种递归演变由，和初始化。对于所有i，锚传感器位于和。在各种自定位算法的仿真中，对移动传感器，采用初始先验概率分布函数（PDF）。这里，表示知道的不确定性，是从随机抽样（对每次运行仿真）的一个随机的超参数。对于锚传感器，使用真实的位置。在每个时间i的消息传递迭代p的次数设为。

我们比较了SPBP算法（使用25 SPS）和协作的自定位的NBP的方法，NBP-1和NBP-2。NBP-1是[5]中的方法对移动传感器的扩展。NBP-2不同于NBP-2之处，是前者是用蒙特卡罗迭代来执行消息的倍增，而不是高斯核[15]。以上三种方法都是基于SPAWN的。NBP算法使用了250,500或1000个粒子。在NBP-1中，高斯核的带宽等于测量噪声的协方差。模拟的均方根位置和对各种方法的速度误差，如图1所示。

图1 均方根的位置和各种方法的速度误差

这个错误是由平均超过三个移动传感器和1000次模拟运行测定的。可以看出，对于要分析的仿真参数，SPBP算法优于两种NBP算法。然而，我们注意到,如果NBP中的粒子数量进一步增加，NBP算法则优于SPBP算法。而且，我们认为，在处理强非线性问题上，NBP的性能优于SPBP。

在英特尔Xeon X5650 CPU中，一次仿真运行所有50个时间步，我们的SPBP算法执行的平均运行时间是0.61秒。NBP-1的平均运行时间是1.53秒，5.16秒和19.57秒（分别对应250、500、1000个粒子），NBP-2的运行时间分别是2.01秒，7.27秒，28.10秒。因此，在这种情况下，SPBP的复杂度小于两种NBP算法。

融合SPBP算法，由于我们的测量模型只涉及了二维的位置，每次消息传递迭代p中，对于与的真值，每个移动传感器传递的均值向量和协方差矩阵。相比之下，对于250、500、1000个粒子的NBP算法，由每个移动传感器在每次消息传递迭代广播的真值的数量分别是500、1000、2000。因此，SPBP算法所需要的通信量明显少于NBP算法。（在所有三种方法中，每个锚传感器广播其位置，对应2个真实值；然而，这是一个只执行一次的预备步骤。）

七、 总结

我们所提出的SPBP算法是BP消息传播方案的一种低复杂度的逼近。SPBP算法将SP滤波器（也称无迹卡尔曼滤波器）扩展到对于一般的（循环）因子图的贝叶斯估计中。用通过SPs和无迹变换计算的均值向量和协方差矩阵表示消息和边缘后验概率。因此，SPBP算法同时避免了高斯BP的线性假设和非参数BP（基于粒子的）高复杂度。由于通信要求低，SPBP特别适合于无线传感器网络中的某些分散的推理问题。特别的，我们对一个离散协作动态的传感器自定位场景进行了仿真，其结果显示，在性能、复杂度和通信要求层面上，SPBP算法都明显优于NBP

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