基于EMD方法的材料疲劳测试数据分析外文翻译资料

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非线性的新观点

水波：希尔伯特谱

Norden E. Huang1, Zheng Shen2, and Steven R. Long3

1Division of Engineering Science, California Institute of Technology, Pasadena,

California 91125. On leave from Laboratory for Hydrospheric Processes, Oceans

and Ice Branch, Code 971, NASA Goddard Space Flight Center, Greenbelt,

Maryland 20771

2Division of Engineering Science, California Institute of Technology, Pasadena,

California 91125 and Department of Civil Engineering, University of California at

Irvine, Irvine, California 92697

3Laboratory for Hydrospheric Processes, Observational Science Branch, Code 972,

NASA GSFC, Wallops Flight Facility, Wallops Island, Virginia 23337;

e-mail: long@osb.wff.nasa.gov

关键词：希尔伯特转换，希伯特光谱分析，经验模态分解，非线性过程，非平稳的。

摘要

我们调查了新开发的希尔伯特谱分析方法及其到斯托克斯波的应用，非线性波的演化过程，随机波场的频谱形式，和湍流。我们的重点是目前可用的方法在非线性和非平稳数据分析的不足之处。希尔伯特谱分析，这里提出的替代。这种新方法不仅提供了一个更精确的定义，特别是在时频空间比小波分析的事件，而且也有更多基本的动态过程的物理意义的解释。

前言：

从历史上看，有两种观点的非线性力学：傅立叶和庞加莱.传统傅里叶观是摄动分析的非线性方程简化为一个线性方程系统的结果。最终的解决方案成为这些线性方程组的总和。在大多数力学问题中，线性方程都是二阶的，因此，解决方案是三角函数该线性系统的功能和解决方案的总和傅立叶展开的“真”解。因此，傅立叶认为：系统具有基本的振荡（一阶解）和有界谐函数（所有的高阶解决方案）。虽然这听起来可能是数学上的方法，似乎是合乎逻辑的，这种观点的局限性在最近的仔细检查中变的越来越清晰：第一，扰动方法是有限的，只有小的非线性，当非线性项有限的时候，扰动方法就失败了；第二，更重要的是，该解决方案只得出很少的物理意义。很容易看到，一个非线性方程的属性和非线性方程的集合，应该是不同的；因此，从原来的方程和扰动的解决方案应具有不同的物理和数学性质。实现这一限制，最近的研究人员采用非线性力学的不同观点，即庞加莱观点。

庞加莱的系统提供了一个离散的描述。它定义了映射到自己的相空间。在许多情况下，庞加莱的映射让动力学得以动态呈现。通常情况下，完全非线性的解决方案是数值上的计算。然后通过力学在相空间中轨迹的交叉点和平面切割。这个路径和平面的交叉点检查，以揭示力学特征。这种方法也有其局限性，因为它在很大程度上依赖于过程的周期性。庞加莱削减之间的运动也可以和力学一样重要。傅里叶和庞加莱的观点都存在了很长一段时间。只有最近才有一种可替换的力学的观点，希尔伯特观点被提出。

希尔伯特的观点是基于一种新的方法，称为经验模态分解（EMD）和希尔伯特谱分析，被希尔伯特（1996）和希尔伯特等人（1996，1998a）这样描述。它已被发现许多直接应用在各种各样覆盖地球物理（希尔伯特等1996，1998a）和生物医学工程（希尔伯特等 1998b）的问题上。在这篇评论中，将总结出一个新方法，流体力学的例子，非线性水波与湍流的数据将被用来说明这种方法来解释这些现象在动力学中的应用。

最近随着新方法的使用，有必要对它进行一些总结和概括性的描述，在这里。希尔伯特等人（1998年）明确指出，真实地表现出代表非线性非平稳数据需要一种不同于傅里叶或基于傅里叶基础的小波分析。希尔伯特等人开发的新方法（1998a）似乎符合这个需要。该方法采用双步分析数据。第一步通过使用经验模态分解方法将数据分解成若干个固有模态函数(IMF)的成分，数据在数据本身的基础上被扩展。第二步是将希尔伯特变换应用于IMF，构建时频能量分布，称为希尔伯特谱。在这种形式中，时间地点事件将被保存，频率和能量由希尔伯特定义在任何时候都有内在的物理意义。我们将介绍从希尔伯特变换出发的全过程。

希尔伯特变换：

任意时间序列,X(t),我们总是可以有它的希尔伯特变换,

Y(t)，如下

(1)

P表示柯西主值，这个变换存在于所有类LP功能（见，例如，Titchmarsh 1948）。有了这个定义，X(t)和Y(t)形成一对共轭复数，我们可以有一个解析信号，Z(t)，如下,

， (2)

在

;

.上 (3)

从理论上讲，有一个无限多的方法来定义的假想部分，但希尔伯特变换提供了一个独特的方式，结果是一个解析函数。在希尔伯特变换的简单教程，侧重于物理解释，可以从Bendat amp; Piersol(1986)中发现.基本上，方程（1）定义了希尔伯特变换为1/t和X(t)的卷积；；因此，它强调X(t)局部特性。在方程（2），极性协调表达进一步阐明了这一表征的局部性

是最适合的振幅和相位变化的三角函数对X(t)。即使有希尔伯特变换，在定义瞬时频率如下的时候,仍有相当大的争议,

, (4)

详细的讨论和论证是由希尔伯特等人完成的（1998年）。随着这个瞬时频率的定义，它的值从头到尾一直在变换。图1中的2个简单的例子（见卷的颜色图）说明了这种方法。图1给出了常见的不同频率的正弦波。这些数据肯定是非平稳的，这特征反复证明了小波分析的力量。彩色的小波频谱和希尔伯特分析通过小波频谱线在图1b所表示。他们对能量预测平面图如1c所示，比较清楚的是：希尔伯特表示在更精确的地点和时间上提供了一个更清晰的分辨率的频率。第二个例子是常见的指数阻尼振荡。小波和希尔伯特表示的数据都分别地在图1d-f中表示出来。再次，可以看出，希尔伯特表示在时间和频率上提供了一个更高的分辨率。基于这些比较，我们可以得出结论，小波分析与傅里叶方法相比确实提高了时间分辨率。小波分析给出了一个统一的频率分辨率，但可以看出，分辨率也很差。

像希尔伯特变换的方便和强大，似乎是不可用于一般的随机数据，由希尔伯特等人讨论（1998a）。在过去，希尔伯特变换的应用已被限制为窄频数据；否则，结果只是近似正确（Long等人1993年）。即使在这种限制下，希尔伯特变换也被希尔伯特等人在（1992）和（1993）研究海洋的局部性质波的细节，没有其他方法的实现。后来，它也用希尔伯特（1995）研究非线性波的演化。Huang等人提出（1998a），对于一般应用而言，现在很明显，数据必须首先被分解。希尔伯特变换也被应用到研究振动损伤识别问题（费尔德曼1991，1994a，B，费尔德曼amp;布劳恩1995，布劳恩和费尔德曼1997，和费尔德曼1997）。在所有这些研究中，信号被限制在“分”的信号，也就是没有骑行波。此外，信号必须是相对于零均值对称的。因此，该方法在简单自由振动中是有限的。虽然Prime amp;Shevitz（1996）和费尔德曼（1997）通过对非线性结构的频率调制，利用其识别某些非线性特性，对数据的限制，使得在识别和定位损伤的方法上都没有实际应用。希尔伯特的真正价值不得不等到Huang等人（1998年）介绍了基于特征尺度分离的经验模态分解（EMD）方法后得以实现。EMD方法的第一操作处理的数据，然后为希尔伯特变换做准备。因此，我们下一步将讨论时间尺度的问题，因为这个概念是这个方法的核心。

1

图1:小波分析和希尔伯特表示简单对称数据的比较。希尔伯特变换

可以应用于这些类型的数据，而不难得到更好的时间频率分辨率。

特征尺度:

根据上面（1992）、时间序列分析的第一种方法是用眼睛检查。当然，这种方法是主观的。但受过训练的眼睛可以检测许多很难量化的趋势和模式的数据。即使是未受过训练的眼睛，也能容易看到一些数据的属性。让我们来看一下，例如，平稳性，周期性，总的趋势，和各种尺度所定义的特定类型的点之间的时间间隔。有价值的见解是，用眼睛检查对一些严重的数据来说还是过于主观了。眼睛可以看到不同的量，而时间是最容易被量化的尺度。

在任何物理数据的解释中，最重要的参数是关于时间尺度的能量分布。定义局部能量密度并没有什么困难，但是到目前为止，还没有明确关于局部时间尺度的定义。在傅立叶分析中，时间尺度是被定义为连续和恒定幅度三角函数组件的周期。经过希尔伯特等人的讨论（1998a），这样的定义只给出一个全球平均意义的能量和时间尺度。因此，这些尺度都是完全脱离了现实的时间变化的幅度或频率。

Rice（1944，1945）对时间尺度的统计定义，他计算过零点的预计数字，和任何数据下线性、平稳的极值，与正态分布的假设。在数学上，时间尺度的任何数据x(t),定义如下：t的位置

x(t)=0 (5)

被定义为零交叉点。连续零交叉点的时间间隔就是零交叉点的时间尺度。t的位置

(t)=0 (6)

被定义为极值点。连续极值的时间间隔就是极值的时间尺度。

在线性、平稳和正态分布的假设下，预期过零点数与极值的预期数量可从Rice的公式中计算。但这些定义只提供了一个全球性的意义，它不能被应用到真正的非线性和非平稳数据中。因为在Rice假设的局限性中，他的研究结果也创造了一个悖论：许多数据，在他的公式计算中期望的极值变的无限。如果大多数数据是线性的和固定的，那么为什么我们不能把它们应用到这个公式呢？这是因为傅立叶功率谱通常有渐近幂律形式。例如，如果频谱具有minus;3幂律，那么M2是无界的。对于白噪声或delta;函数频谱是白色的，然后甚至零交叉点是没有定义的。以海浪数据为例。频谱在-4到-5之间有幂级的渐近形式（见，例如，菲利普1958、托巴1973，菲利普斯1977，kitaigorodskii 1983、班纳1990、贝尔彻与vassilicos 1987）。然后，然后，根据Rice的公式，极值的预期数量是无限的。但我们还是可以肯定计算极值没有任何困难。然而，这一困境尚未引起大多数调查者对所涉及的公式和假设进行质疑，但却导致他们拒绝任何涉及到高于第四的时刻的公式。这样的方法限制了只能做零交叉点的关于时间尺度统计测量的计算。因此，过零点的统计数据太粗糙，不可能真正使用。

极值的间距确实提供了一个更好的衡量尺度，因为这种方法可以测量宽带数据的多个骑行波。它肯定符合我们对时间变化数据的直觉。细化极值的标准会发现，它并不总是足够精确。如果你检查更密集的数据，如果你检查的数据更加紧密，你会发现即使是极值的间距可以错过一些微妙的时间尺度的变化，因为有微弱的振动可引起局部变化的曲率但不创建一个局部极值，这种现象被称为隐藏的尺度。为了解释这种类型的弱信号，我们引入另一种类型的时间尺度的变化的曲率。在数学上，这相当于寻找极值

(6a)

动态地，曲率等于加权加速度的度量。曲率符号的任何变化都表示力的符号的变化。因此，曲率变化确实具有很强的动态意义。我们看到，如果极值统计在已经遇到的困难模型中，曲率的极值将涉及频谱的第八个矩的数据。试图计算它的线性和平稳的假设是不可能的。幸运的是，这个困难只是一个数学神器，一个线性和平稳的假设调用的结果。我们当然可以计算出曲率的极值，然后计算它们。因此，Rice公式的失败是一个迹象表明一般被引用的假设的线性度与平稳性。

我们现在有三种测量时间尺度的方法：时间之间连续的零交叉点，连续的极值之间的时间，和时间连续曲率极值之间。在每一种情况下，时间跨度是一个地方的事件的时间变化的措施。在极值和曲率的情况下跨度，当地时间尺度计算所有的波，无论他们越过零线或不。其目的是定义一个本地时间尺度的振荡，将改变从一个极端（通过零点的恢复力）到另一个

相反符号的极端。这是特征时间尺度。这是当地的，它只代表一种振荡模式。所以我们把它视为内在的振荡尺度。

零交叉是一个非常粗略的数据量。除非数据是真实的频带窄，可能有两个过零点之间的许多极值。我们的眼睛对间隔的变化更为敏感之间的极值，而这些变化提供了一个更详细的测量给予的现象。然而，时间间隔之间的极值问题已经。对于许多现象的第四个时刻是不收敛的，因此，预期一些极值是无法计算的，即使它可能易数。这个悖论是很容易解决的，考虑一个大胆的概念：傅立叶幂律谱的大多数数据是人工。大部分

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