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城市交通网络的预测控制建模

摘要

本文重点研究城市交通网络的交通信号控制系统，并通过预测控制系统建模提出了网络实时最优路径策略。为了成功地做到这一点，本文首先以时间为参变量将交通网络建模，为了评估系统性能，本文将交通系统和热力学系统进行比较，还引入了测量系统紊乱的熵概念。除此之外，为了保证控制器的持续稳定性，应用消散理论也是十分必要的。通过将这些电路整合到预测控制系统模型中，提出了一种传输信号的控制策略，这个策略可以在关于状态和控制的约束时间内使系统紊乱最小化，本文最后是以包含四个节点的交通网络为例来说明结果的。

关键词：交通网络; 信号控制; 模型预测控制; 熵; 耗散性

1引言

城市交通是现代城市的主要系统之一。随着汽车的数量不断增加，交通拥堵现象变得越来越频繁，并导致严重的经济和环境问题。因此，先进的信号控制策略的部署已经成为这个领域里一项巨大的挑战。特别地，例如固定时间策略的广泛应用。TRANSYT [Robertson，1969]中提到不能使城市交通系统不断恶化。目前的情况需要战略考虑动态变化，也称为交通应对策略。目前的情况需要考虑动态交通变化策略，也称为交通应对策略。

目前SCOOT（分割，循环和设置优化技术）[Bretherton等人，1982]是世界上最著名的作品之一。它本质上具有为在线应用提供优化算法的TRANSYT传输模型。它的主要缺点是在饱和条件下会性能不佳[Papageorgiou等人，2003]。OPAC [Gartner，1983]中还提到一种交通反应策略，他们在未来时间范围内优化接下来的几个切换点。例如，OPAC应用动态编程的方法（DP）最小化局部交叉点处的总延迟，并在网络级别中进行同步。但是由于动态编程算法需要非常大的计算量，所以OPAC策略的实时实现仍然只局限于单个相交的情况[Papageorgiou等人， 2003]。

最近，已经开发了交通反应性城市控制（TUC）策略[Diakaki等人，2002]。在这种方法中，交通网络被简化为一些假设的线性模型，并且传统的线性控制方法已经应用于常规信号中。显然，它的计算效率很高。但是线性控制方法中假设运输参数是恒定的，实际情况却不是这样。

本文基于线性建模的方法提出了一种新的交通信号控制策略，也考虑了时间参数的方差。模型预测控制系统（MPC）也是处理时间变量系统的方法之一，适用于建立交通网络规模中标准化信号的策略。

在一些出版的作品中已经出现了MPC在信号控制中应用的情况。例如[Oliveira and Camponogara，2007]。然而，据我们所了解的情况，他们并没有考虑稳定性问题，这不是由MPC自动保证的。当然这个问题我们也在后续研究当中。

本文的内容安排是：第2节以线性离散的时间形式将交通网络建模。第3节通过模型预测控制系统提出了一种新的交通响应策略。特别是将交通系统与热力学系统相比较，再把熵的概念引入到运输环境中成为控制器的目标; 并应用消散性的方法来保证稳定性。最后，在第4节中，通过四个节点交通网络的示例来说明这个策略所呈现的性能。

2交通网络的建模

城市交通系统是交叉口的网络，一般由交通信号灯控制（本文不考虑非信号交叉点）。在每个路口中，交通信号周期性地变化。[Diakaki等人，2002]中将路口中的一系列信号组合的一个重复定义为c循环，并且这些单个的组合被称为相位。每个相位时间包括损耗的时间和有效绿灯时间。损耗时间是交通流不能使用的一个相的周期，包括绿灯开始时的更改间隔和启动延迟。有效绿灯时间是实际移动的可用时间。 例如，在图1所示的路口中，存在两个相：在相1（2）中，动作1和2（3和4）表示可以通过。有效绿灯时间（ge1，ge2）和两个损耗时间（lo1，lo2）。

图2.1两个相的路口

通常，损耗时间和周期可以被认为是固定的[Diakaki等人，2002]。这意味着一个路口中所有有效绿灯时间的总和是恒定的。例如，在上述两相路口中，ge1 ge2 = c (lo1 lo2).因此，只有一个独立变量。选择ge1作为控制变量，gi表示对应于第i个运动的有效绿灯时间，于是得到

所有路口都有相似的公式。 通过组合它们，有效绿灯时间具有关系g = Gu sect;（1）其中g Rn是有效绿灯时间的向量，u Rm是所选独立控制变量的向量，G Rn*m和sect; Rn分别是恒定系数矩阵和向量。此外，为了使物理上的信号合理化，控制器必须遵守gi，gi，min和gi, gi; max的边界条件,gi min和gi max是两个边界值。因此，控制变量必须限制在以下约束集内

U = u R m umin u umax (2)

其中umin = [u1,min ; um,min] T和umax = [u1,max ; um,max] T分别是u的最大值和最小值。

在交通网络中，流量都与队列相关。图2显示了包括n个队列（ngt; 0）的交通网络中与第i个队列相关的所有流，n 0, i 1 ; n .。 第i个队列的长度表示为xi; 流程ri是从外部到队列的输入;流量sigma;i，j（sigma;j，i），j = i，j ＞1 ; n表示从第j个（第i个）队列移动到第i个（第j个）队列的车辆; 并且流di表示从第i个队列到外部的输出。

图2.2与第i个队列相关的流

交通流的行为由它们的流量来描述。有两个很重要的流量。首先，输入流量qi是速率ri , I ＞1 ; n。它从一个周期到另一个周期变化，并且它不能由信号控制。 因此，在周期k中，ri（k）= qi（k）c（3）

第二个是饱和流率si，它是在有效绿灯期间单位时间中没有中断的从第i个队列离开的流量[ Motawej等人，2011]。 假设下游流路具有足够的空间（无拥塞情况），并且队列长度x i足够大，则一个周期中的第i个队列的离开流等于sigi。因此，在周期k中，

di(k) = sigi(k)lambda;i,i (4)

sigma;i,j (k) = sjgj (k)lambda;i,j (5)

sigma;j,i(k) = sigi(k)lambda;j,i (6)

当i; j ＞1 ; n时，退出率lambda;i，i是di与来自第i个队列的离开流量的比例，汇率lambda;j，i（lambda;i，j）是sigma;j， 留下来自第i个队列（第j个队列）的离开流，并且令li是与第i个队列相关的所有交换流的总和。根据图2.2，我们得到

由于，所以

现在，定义向量在下面的公式中

然后方程（7）可以写成

令xi（k）为周期k开始时的第i个队列长度。结合等式（3），（4）和（8）推断xi的差分方程为

现在，定义x = [x1 ; xn] T和q = [q1 ; qn] T，整个网络可以等效地表示为状态空间表达

其中L是其第i行是LT i的矩阵，并且D是具有对角元素silambda;i，i的对角矩阵。根据（1），得到

其中B =（L D）G和h =（L D）xi;。现在，Diakaki等人 [2002]介绍了虚设情况的概念，表示每个队列的输入等于输出。在数学范畴里，它意味着q N c BuN h = 0，其中q N是虚设输入流速矢量，u N是虚设控制变量矢量。 这可以推导出h = q N c BuN。 因此，等式（10）可以写成

最后，定义v（k）= u（k）u N作为新的控制变量，omega;（k）=（q（k）q N）c作为扰动，运输网络的状态空间模型如下

其中矩阵B反映特定传输网络参数。注意，在该模型中，状态和控制都受到物理限制的约束。 首先，考虑到（2），v的约束集为

其中，。

对于一个州来说，说负排列是没有意义的。因此，对于所有kisin;N，我们有x（k）ne;0。另一方面，令x * i，i ＞1， n是每个通道的最大容量。如果队列长度超过其容量，则此模型不再有效。因此，系统（11）只有在时才具有物理意义。

3基于MPC的交通信号控制

由于交通模型具有线性的形式，所以使用传统的线性控制方法已经取得了一些成果，例如线性控制方法LQR [Diakakiet等人，2002]。但是，交通网络的参数是时间变量，这意味着系统实际上永远是非线性的。传统的线性控制方法要求系统在整个过程中是线性的，显然这不适用于交通网络。另一方面，系统可以在有限时间内合理地假定为是线性相关的，因为在短时间内，参数改变量不大，因此可以被认为是固定的。因此，有限时间控制方法更适合用线性模型控制运输系统。

同时，交通系统的短期预测已经在最近几十年迅速发展，例如[Dougherty和Cobbett，1997，Stathopoulos和Karlaftis，2003]，而且从这种方法获得的一些结论已经有良好的表现。当然，如果交通信号控制系统考虑预测情况就会更好。

在这种情况下，本节将采用模型预测控制（MPC）方法来设计交通信号控制策略。

3.1 MPC的介绍

模型预测控制（MPC）是一个在线短时的优化控制方法，其有利地用在具有时变性质的工厂中。Richalet等人，[1976]在工业过程控制中第一次提出这个概念。然后，它持续发展并已经广泛应用于不同的领域[Kothare等人，1996，Mayne 等人，2000]。

MPC将工厂的目前状态作为初始状态并且在有限时间内优化性能以获得最佳的控制序列，然后只将序列的第一控制权应用于工厂[Mayne等人，2000]。 考虑通过一般形式预测的离散时间系统

其中x Rn和u Rm分别是状态和控制。初始状态是当前状态，x（0）= x0。对状态和控制的约束是

定义成本函数

其中kappa;= u（0; x0） ，u（N 1; x 0）是控制序列，x（i）是时间点i相对于控制序列k的状态，初始状态x（0）= x0，l(x u)是阶段成本，F（x（N））是终端成本。有时会施加终端约束

在这个过程中，序列kappa;的约束是

根据Mayne 等人[2000]的说法，MPC就是一个优化问题：

其假设解是

因为只有该序列的第一个控制被应用于系统，这意味着u（0）= u0（0; x0）。

总之，MPC的框架包括在有限周期中系统性能的优化以及仅在最佳序列中第一控制的实现。

下面将在此框架中设计交通信号控制策略。

然而，在提出控制策略之前，还有有两个问题需要研究。 第一个是系统性能的评估，上述模型还没有提到这个。另一个问题是稳定性，MPC是不能自动保证稳定性的[Mayne 等人，2000]，应该通过添加必要的条件来验证其稳定性。

3.2系统性能评估

对于下面提到的控制器设计，需要适当地评估系统的性能。在以前的工作中，交通系统是通过使用队列长度，总延迟等测量的。在我们看来，所有这些变量只代表系统的一侧。需要找到一个特殊的概念来评价组织程度。为了提出这个概念，本文研究了运输系统和热力学系统之间的相似性。

将上述运输模型与Haddad等人[2005]的离散热力学模型进行比较，我们观察到分布在队列中的车辆与子系统中分布的能量非常相似。因此，将业务流视为能量流并且将队列视为子系统，传输模型（11）对应于Haddad等人[2005]的热力学模型。这种并行性为我们提供了在运输环境中引入热力学概念的机会。测量系统紊乱的概念，称为熵，是一个能恰当评估系统性能的概念。

然而，Haddad等人[2005]的熵公式不能直接引入到交通系统中，因为这两个系统中指令的意义是不同的。在热力学环境中，更高的指令意味着更高进行有用工作的能力，这与更大的温度差有关。例如，在包括两个子系统的热力学系统中，如果更多的能量集中在一个单个子系统上就会产生更大的温度差，势能移动的量更大，这意味着系统可以产生更有用的工作。在这种情况下，系统被认为是更好的组织性和具有更高的指令。但是相反，队列长度之间的较大差异却对应于运输环境中较低的指令。例如，在包括两个交叉口的交通网络中，如果更多的车辆集中在一个交叉口上，则拥塞发生的可能性更大，这意味着系统更差的组织性和更低的指令。此外，输入到热力学系统中的能量能做更多的有用功，这增加了秩序。然而，在交通环境中，车辆输入带来更多产生拥堵的可能，从而降低秩序。

总之，这两种系统的秩序意义是相反的。运输网络中的紊乱对应于热力学系统中的阶数。还有另一个概念，称为熵，它能测量热力学系统中的秩序[Haddad等人，2005]。因此，运输熵应对应于热力学熵。

不难发现热容量的概念对应队列长度容量，xi，i ＞1 ; n。 因此，根据Haddad等人的热力学熵公式 [2005]，运输熵定义为

其中P是对角线元素lx i的对角矩阵。

这种运输熵是无序的量度，应该通过交通信号控制来消除。这也是控制器应该达成的目标。

3.3控制器的稳定性

MPC方法本质上是有限时间内性能的优化，它没有自动保持稳定的能力[Mayne等人，2000]。因此，通过添加必要的约束来保证稳定性十分重要。观察系统中存在的干扰（11）。下面将提到强大的稳定性。

考虑一般形式的离散时间系统

其中x Rn是状态，u Rm2是控制输入，omega;Rm1是干扰输入，z Rp是测量的输出，f：Rn Rm2 Rm1 Rn和h：R n R m2 R m1 Rp分别是差和输出函数。

如果从扰动到输出的L2增益（也称为闭环传递函数的Hinfin;范数）小于或等于固定标量gamma;gt; 0，则系统Sigma;被认为是非

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