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基于事件的线性系统鲁棒镇定

Abhisek K. Behera and Bijnan Bandyopadhyay

Systems and Control Engineering

Indian Institute of Technology Bombay, Mumbai–400 076, India

Email: abhisek@sc.iitb.ac.in, bijnan@ee.iitb.ac.in

摘要 - 本文讨论了基于事件触发策略的线性时不变系统的鲁棒镇定问题。在大多数实际系统中，不可能以连续的方式更新控制，因此只能在某些周期性离散时刻进行设置。最近，基于事件的控制技术因为在保证闭环系统稳定性的同时，有效地利用了资源，成为控制律更新的主流技术。我们在此处讨论了存在干扰时线性系统的基于事件的滑模控制问题，并且表明闭环系统关于测量误差稳定。我们得到了最小控制执行时间的表达式，其中控制律仅在该时间间隔之后得到更新。仿真结果验证了理论分析。

索引术语 - 采样数据系统，事件触发控制，鲁棒稳定，滑模控制。

引言

正如[14]，许多研究人员已经研究了很长时间的系统反馈稳定性。已经提出的许多用于连续动力系统的控制算法本质上是连续的。实际上，相比较于模拟处理器而言，数字处理器拥有超重性能，因此实现稳定的控制律以数字方式实现。仅在某些离散的时刻，控制律会随采样的状态信息周期性更新。对于任何给定的步长，一旦达到步长就以周期性方式连续施加控制信号，这在文献中通常称为时间触发控制[3]。然而，当系统的状态没有显着变化时，以周期性方式更新控制没有任何意义。这要求处理器必须定期执行和更新控制任务，而不管状态演变如何。然而，在许多应用程序中，处理器应该以共享的方式执行不同的任务。因此，仅当状态演变未能满足特定条件/事件时才更新控制是很自然的，这被称为事件触发控制。该技术具有许多优点，例如嵌入式控制系统中的最佳资源利用率，处理器时间的有效性，甚至使系统具有成本效益。

许多工作已经在关于基于事件触发的控制律实施的文献中有所报道，读者可以参考[1]，[11]-[13]。在文献中，事件触发控制策略出现在与Lebesgue采样[17]，有限信息控制[5]，量化控制[4]等相似的背景下，其中在所有情况下控制任务都是在指定事件触发时才执行的。在[1]中，作者在考虑计算延迟的情况下研究了线性和非线性系统的输入状态稳定性（ISS）。在他们的工作中，简单的触发条件足以保证输入状态稳定性。但是，对于导致触发的事件，需要专用电路来监视系统相对于ISS的性能。为了避免这些复杂性，最近有人提出了自触发技术，这个技术能为系统实现相同的目标[9]-[10]。然而，基于事件触发的控制在许多领域都非常重要，如网络控制系统[7]，通信系统[6]以及在许多其他实时控制实现领域中。

对于具有不确定性的系统，很少有论文尝试采取基于事件的策略[2]，[8]。在事件触发环境中研究此类系统的行为非常重要。为了解决这些问题，鲁棒控制器之一，即滑模控制，是通过基于事件的技术实现的。与许多鲁棒控制器不同，滑模控制器具有完全干扰抑制的优点，这是其他控制技术无法实现的[15]。在滑动过程中，系统在降阶流形上演变，使系统完全无干扰。然而，所有这些都需要一个必须以连续方式应用于系统的控制器，以在有限时间内实现滑动模式。

在实际情况下，这些控制算法都是在控制不能连续应用的数字平台中实现。控制的周期执行在文献中得到了大量讨论，例如，[16]，[18]-[22]。缺点是，无论系统轨迹如何，控制都是在周期性时刻更新的。另一方面，基于事件的控制在存在干扰的情况下也使物理资源得到了最佳利用。

在本文中，我们为解决线性时不变系统的鲁棒镇定问题提出了基于事件的策略。据作者所知，这是首次尝试用事件触发策略分析滑模控制的性能。本文采用滑模控制来实现系统的鲁棒性。我们认为在不确定的情况下通过执行一个简单的事件条件可以保证系统的稳定性。首先，根据滑动流形附近滑模的触发方案和精度导出滑模存在的充分条件。这是结果的重要组成部分，因为我们可以通过选择合适的事件条件来达到期望的精度。其次，对于实时应用，我们导出了最小执行时间，即帧间执行时间。确保数字电路仅在有限的时间间隔之后触发并且在该时间段内不能执行控制是必要的。最后，我们给出了闭环系统测量误差的有界稳定性，其中界的大小依赖于事件执行条件。

本文其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了使用滑模控制算法的鲁棒稳定问题，并简要介绍了基于事件触发的实现。第三节给出了论文的主要结果。这里，为基于事件触发的滑动模式建立了充分条件。我们详细讨论了事件条件，并且还为采样数据系统导出了最小执行时间范围。在第四节中，我们用事件参数来表示可容许的触发时间序列。模拟结果在第五节中给出。最后，结论和评论在第六节中给出。

问题陈述

在我们继续讨论问题之前，我们将介绍本文中使用的以下符号。

A.符号

N = {1,2,...,k,...}表示自然数集。我们指定N₀ = N cup; {0}。 R，Rⁿ分别表示实数集，n维实数向量空间。任何对称矩阵都意味着，Mgt; 0（ge;0）表示正（正半）定矩阵，即 （ge;0）对于所有xisin;Rⁿ恒成立。接下来，lambda;_max{M}和lambda;_min{M}分别是M的最大和最小特征值。表示任何x isin; Rⁿ的欧几里德范数（2范数），并定义为。 | a | 表示任何标量aisin;R的绝对值

考虑一个连续的线性时不变系统

x˙(t) = Ax(t) Bu(t) Dd(t) (1)

其中x(t) isin; Rⁿ表示系统的状态，u(t) isin; R是控制输入，

d(t) isin; R是进入系统的不确定函数，并且假设它是有界的， |d(t)| le; d_max。矩阵A，B和D具有适当的维数。我们假设rangeD sube; rangeB，满足匹配条件。系统（1）也可以以规则形式表示

x˙₁(t) = A₁₁x₁(t) A₁₂x₂(t)

(2)

x˙₂(t) = A₂₁x₁(t) A₂₂x₂(t) B₂u(t) D₂d(t)

其中x₁(t) isin; R^nminus;1，x₂(t) isin; R。

为了在存在不确定项d(t)的情况下确保系统（2）的鲁棒稳定，我们为系统设计了滑模控制。滑模控制只保证了系统在滑动阶段的鲁棒性，从而使系统变为无扰动系统。然而，仅通过输入通道进入的干扰/不确定性是被滑模控制器完全拒绝的。在大多数实际情况中，干扰是外生的并通过输入通道进入。 因此，假设rankD le; rankB没有任何一般性的损失。

系统（2）的滑动变量如下

. (3)

设计控制律u（t），使得在有限时间内达到s（t）= 0流形并同时保持s（t）上的轨迹。

区别于（3），接下来

(4)

然后在假设是非奇异的情况下，选择控制率为

(5)

确保，其中eta;

，eta;gt; 0。这种情况确保有限时间内在系统中发生滑动模态。

在滑动期间，即，从（3），我们得到

.

这表明当系统进入滑动阶段时，一些状态（与输入数量相同）变得依赖于系统状态的其余部分。 因此，只有n - 1个状态足以完全确定系统（2）的演化。让我们选择c₂= 1.由（2）可得，降阶动力学为

. (6)

因此，（1）鲁棒稳定的充分必要条件是必须是Hurwitz。如果（A₁₁，A₁₂）是可控的，则可选择增益c₁。

在大多数数字实现中，由于数字处理器/CPU的带宽、处理器速度等的限制，无法连续地应用控制。仅在某些离散时刻能对状态进行采样，然后更新控制律。 在周期性触发策略中，当达到采样周期时，控制律的下一次执行被更新。在本文中，采样状态用于控制律，随后的更新由事件触发。事件触发环境中，控制是（5）

表示 t_i 处的滑动变量。在t_{i 1}时刻，控制（7）再次更新并保持不变直到下一次触发变为有效。

我们将系统采样状态的测量误差定义为

e（t）= x（ti）- x（t），forall;tisin;[ti，ti 1]。 （8）

该测量误差e（t）在实现稳定问题的准确性方面起重要作用。对于t = t_i，e（t_i）= x（t_i） - x（t_i）= 0因为控制仅在此时才更新，因此滑动模态将发生在这一刻。然而，对于任何，s（t）将偏离滑动流形。

在本文中，我们解决了通过滑模控制实现关于测量误差e（t）的鲁棒稳定的问题。我们通过执行使系统稳定的简单事件来确保这一点。在本文中，我们表明没有Zeno现象，即在一些有限执行时间[t_i，t_{i 1}[内，没有控制累积。

在下一节中，我们将展示滑动流形附近存在滑模。

事件触发滑动模态

我们考虑本节中的系统（1），并在此立即给出以下定理中的结果。

定理3.1：考虑系统（1）和滑动变量（3）。 设alpha;isin;（0，infin;）。当eta;gt;0时，如果满足条件

(10)

且

(11)

则控制律（7）在s（t）= 0附近实现滑动模态，带宽为

(9)

证明：为了证明滑模的存在，我们考虑了tisin; [ti,ti 1[的李雅普诺夫函数。例如：

.

把V关于时间微分然后使用（4），得到

.

由于数字处理器的限制，控制u（t）不能以连续方式更新。所以，用上面的（7）来控制，

可以证明，在t = ti时，李雅普诺夫函数lt;0。然而，对于tisin;[ti，ti 1[ ti，调用条件（10）和（11），我们获得

(13)

上面最后一个等式来自于

再使用（10），我们得到

.

因此，滑动模态将发生在s（t）= 0附近，带宽在（9）中给出。

A.事件触发方案

在这里，我们讨论系统（1）的事件触发方案，确保定理3.1中的滑动条件。在这种情况下，不等式(10)是触发事件的基础。这种关系为选择K作为确保滑动模式的发生提供了充分的条件。因此，对于任何sigma;isin;] 0,1]，如果我们保证

(14)

对tisin;[ti，ti 1[恒成立，则不违反条件（10），定理3.1的结果适用于所有t。然后，显然会触发控制更新

(15)

只要（10）成立，（15）就成立。 然后可以将触发时刻t_{i 1}定为

所有iisin;N₀。

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