一种新的耗散立方非线性Schrödinger方程的有限差分格式外文翻译资料

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一种新的耗散立方非线性Schrouml;dinger方程的有限差分格式

Zhang Rong-Pei(张荣培)^a),Yu Xi-Jun(蔚喜军)^b),和Zhao Guo-Zhong(赵国忠)^b)

a)中国工程物理研究院研究生院，北京100088。

b)北京100088应用物理与计算数学研究所计算物理实验室(2010年3月11日;修订稿于2010年10月22日收到

摘 要

考虑一个有界域的零狄利克雷边界条件的一维耗散立方非线性Schrouml;dinger方程。该方程通过线性隐式三能级中心差分格式离散化，具有类似的电荷和能量守恒定律。利用先验估计方法，分析了该方案的收敛性和稳定性。数值试验表明，该三层方案更有效。

关键词:耗散立方非线性薛定谔方程；三级有限差分；conver-gence；稳定性分析

1.介绍

具有耗散项的三次非线性Schrouml;dinger方程:

(1) (1)

(2) (2)

u是复值函数和nu;是一个小的系数。ϕ(x)是一个足够光滑的函数，它在足够大的|x|中消失。在这个方程中，第二项和第三项分别描述了色散和耗散。最后一个是非线性项。

当nu;等于零,方程(1)是众所周知的立方非线性Schrouml;dinger方程(主办)。有许多论文研究了这个方程的解析解和数值解。^【1-9】如果耗散项不为零，则该方程出现在许多物理区域，例如，光脉冲在吸收性非线性光纤中的传播。^【4】由于这一耗散的术语，Zhang等人指出Eq.(1)在分析上是难以处理的。^【3】尽管Demiray在Ref.[5]中提出了行波解，但他承认这不是经典意义上的解决方法。为了更好地理解复杂摄动模型的动力学，必须采用数值方法。

在参考文献[1]中，Delfour等提出了第一个保守差分格式，但数值方案产生了锯齿波振荡。Peranich改进了有限差分格式^【6】，消除了锯齿波振荡。最近，Dai和Nassar引入了变量的转换来消除耗散项，然后给出了保守的方法。^【7】然而，以往论文中的保守方法都是完全非线性的隐式方法。每一步都要通过迭代求解非线性方程组。因此，它们需要更多的计算机时间和计算机内存。本文提出了一种线性隐含的三能级保守方案。所以我们只需要在每一步中求解线性方程。然而，这个方法并不是独立的，因为第二个网格函数值必须由另一个差分格式提供，比如Crank-Nicholson方法。

首先，将应用到方程(1)中，我们有

(3) (3)

(4) (4)

式(3)的守恒定律:

(5) (5)

(6)

用ue^vt取代w,我们获得u的守恒定律如下:

(7)

(8)

在此基础上，提出了一种二阶三能级有限差分格式，并证明了该方案满足离散守恒律。第2节中的定理1揭示了数字电荷呈指数递减，如参考文献[7]所示。在第3节中，先验估计估计会给出，然后在先验估计的帮助下证明收敛性和稳定性。证明了我们的该方法在空间和时间上严格具有二阶精度。第四节致力于我们不同方案的数值耗散系数nu;测试。结果表明，新方法的运行速度更快，速度更快，比其他差分格式准确。

2.数值方法和守恒定律

让omega;_h，omega;_tau;是统一的家庭空间和时间离散的网格,分别

其中h为空间和时间步骤。W_j^N,V_jⁿ是离散函数上定义omega;_htimes;omega;_tau;。差分导数、内积和离散函数规范的定义如下:

我们提出了以下的关于方程(3)和(4)的保守数值方法:

(9)

(10)

通过计算得到了数值解它的离散守恒定律在下面的定理中给出。

定理1 对于nge;0,方程(9)满足：

(11)

(12)

其中

证明：

首先，我们将方程(9)乘以并对j进行求和，即取式(9)和的内积，然后取虚部。左边的第一项是:

根据求和公式，第二项变成了:

显然，第三项变成了:

因此我们获得，

由此证明了定理1的第一部分，获得第二守恒定律式(12)，我们把方程(9)乘以，对j求和，取实部。

显然，左边的第一个项是:

第二项是

第三项是

将左边的三项相加，我们得到

由上面的方程得到

利用上面的方程，我们得到了方程(12)。

3.收敛性和稳定性分析

我们首先给出了上述离散守恒律的先验估计。

引理:

假设w(x,t)和ϕ(x)足够光滑,解决数值方案方程(9)满足: ，C是一个常数，仅依赖于初始数据W_0i和W_1i。

证明:

很容易从守恒定律方程(11) 获得Wⁿle;C。从方程(12)得到

其中

由于vlaquo;1和tau;足够小，我们容易得到

然后

(13)

通过离散水列夫不等式：

(14)

将上述不等式代入不等式(13)，得到:

让ε是足够小和,然后有

(15)

应用Gronwall不等式得到:

我们获得为le;C,并进一步通过不平等式(14)获得为‖Wⁿ‖le;infin;。先验估计是证明数值方法收敛性和稳定性的必要条件。接下来我们将给出收敛分析。

定理2

假设w(x,t)andϕ(x)足够光滑,我们发现方程(9)数值方案有一个独特的解决方法和的收敛误差是O(tau;² h²)。

证明

假设=w(x_j, t_n)是精确解，我们发现截断误差

(16)

显然，截断误差是O(tau;² h²)。让表示错误,减去方程(9)，误差满足以下方程:

(17)

类似于定理1的证明，我们取式(17)的内积为，虚部为

(18)

根据定理1和引理，我们得到:

(19)

我们得到了引理、不等式(19)和Holder不等式:

将上式两端乘以2tau;,对n求和,得到：

和

这里∆equiv;1minus;C_tau;。由，如果我们选择合适的数值解，就有。通过与定理2的证明相似的方法得到稳定性分析是很容易的。

1. 数值测试

本节我们将应用方程(9)和方程(10)解决方程(1)和方程(2)。我们首先考虑孤子的传播:

(20)

其中初始条件

为了得到一个数值解，我们使用了人工边界条件。然而，该方法并不是独立的，其值必须由另一个隐式方法提供。这里我们选择Crank-Nicholson方法。我们选择空间步长h= 0.1，时间步长h=0.01。数值结果在空间区间[30,30]和时间区间0lt;tlt;6中给出。平均意义上的解析解是

这里

最大范数的误差是

当nu;= 0.1,有一种强烈的耗散项导致孤子的振幅衰减,如图1(a)所示。当nu;= 0.05时，振幅衰减不明显，如图1(b)所示。

我们分别计算的是的数字电荷和的分析电荷。

计算结果表明，数值计算与分析电荷相吻合(见图2)。在计算机时间方面，经典的Crank-Nicolson方法在PC上约占34.7 s，而新方法只需要11.0 s。这表明我们的方法比其他保守方法要快。

然后考虑初始条件下的方程(20):

它的初始功能包括一对孤子，这适用于模拟孤子碰撞。随着时间的推移，这两个孤子碰撞之后但恢复他们的形状,如图3所示nu;= 0.1和nu;= 0.05。

5．结论

本文提出了一种新的耗散型CNLS的有限差分格式。新方法是一项简单而又容易的保守计划。L₂ 型范数误差估计表明，该方案在时间和空间上具有两阶精度。数值计算结果表明，数值计算和能量计算与分析结果吻合较好。此外，该方案可以推广到高阶非线性的情况。^[8,9]例如,光学孤子的问题由cubic-quintic非线性薛定谔方程将是我们的下一个工作。

参考文献

[1]Delfour M, Fortin M and Payre G 1981 J. Comput. Phys.44 277

[2]Chang Q S, Jia E H and Sun W 1999 J. Comput.Phys.D 148 397

[3]Zhang F, P ́erez-Grarciz V M and V ́azquez L 1995 Appl.Math.Comput 71 165

[4]Agrawall G P 2001 Nonlinear Fiber Optics(3rd ed) (New York: Academic Press) pp167–169.

[5]Demiray H 2003 Appl. Math. Comput.145 179

[6]Peranich L S 1987 J. Comput.Phys.68 501

[7]Dai W and Nassar R 2000 J. Comp. Math.18 123

[8]Hao R and Li L 2005 Opt. Commun.245 382

[9]Liu G T 2006 Chin. Phys.15 2500

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