自反模块和自我内射二维环外文翻译资料

英语原文共 4 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

TSUKUBA J. MATH

13卷第2 号（1989）419-422

自反模块和自我内射二维环

伊藤星野

假使是一个左和右的诺特环，有限生成的左模块写作，此时. 那么是不是自反的呢？这是Auslander和Reiten所提出的更大胆的广义中山猜想。[2]在这个猜想中，当每个有限生成左R-模块M，即，此时。那么我们称此是自反的。我们主要目的是证明如果R是一个左和右的诺特环且当且仅当一个有限生成的左边的R-模块M的下列条件是等价的：(1)是自反的 ； (2) 在左-模中有一个关于投影的序列；（3），此时i=1,2。我们也可以这样表示，如果R是一个可交换的诺特环，那么这是一个最多为两个维度的格林斯坦环当且仅当R的总商数环是戈林斯坦环和每个有限生成的R-模块M满足，且此时是自反的。

接下来我们说，是一个有代表性的环并且所有模块都是单一的模块。我们用表示两个-双函子，对于模块，我们用：表示通常的评估图。回想一下，模块M被认为是无扭矩的。如果是一个单态并且是反射性的，则是一个同构。再有，如果一个模块有一个精确的序列，并且生成有限投影，那么称它是有限的。值得注意的是，如果R是一个左诺特环，则每个有限生成的左模块是有限的。

1. 序言

在本节中，我们准备几个再下一节中我们需要的引理。

引理1.1. 以下两个是等价的。

1. 每个有限的左模块满足， ，那么模块是自反的。
2. 对于任何有限的自反的右模块，我们有。

证明：设是有限表示为的左侧模块并设。然后我们有一个有限的表达式：用来表示.来修正这些符号。

由Auslander [1，提议6.3]，有和。同样的，有和。

. 假设N是自反的。那么，并且是自反的。则

。

. 假设。那么是自反的。并且。则是自反的。

引理1.2. 假使是一个左诺特环。设，然后每个有限生成的左模块满足，则它是自反的。

证明： 设是一个有限的自反模块。其中是有限的。采用的有限表示：。我们采用，我们得到投影的一个确切序列。

则，又因为，再根据引理1.1，我们得证。

引理1.3. 一个模块，是自反的当且仅当是自反的。

证明：首先注意，当任意的模块（参见e.g. Jans[4]）,这时。“只有”部分，因为，如果是一个同构，那么也是同构的。“如果”部分，要注意的是，因为，我们得到。将这个应用于，我们得到。因此，这意味着。于是，，而且是自反的，因为它是无扭曲的。

引理1.4. 假使是一个左和右的诺特环，下面两个是等价的：

（1） 有限生成的左侧模块的对偶是自反的。

（2） 有限生成的右侧模块的对偶是自反的。

证明： . 设是有限生成的右模块。由于是有限生成的，是自反的。于是根据引理1.3，是自反的。

. 同理可证。

1. 主要结论

首先，我们处理是可交换的情况。

命题2.1. 设R是可交换的并且是诺特环。那么R是维数最多为2的Gorenstein环当且仅当R的总数的环是Gorenstein环并且每个有限生成的模块M是自反的，此时，。

证明：“只有”部分。前者主张是众所周知的（参见e.g.bass [3]）.他后面的断言是从引理1.2中推断出来的。

“如果”部分。设模块的有限表达式为，同时设。于是。根据 Bass [3，提案6.1]，知是自反的。因此，通过引理1.1，我们得到，因此。

为了证明主要定理，我们需要一个辅助结论。

命题2.2. 假使是一个左和右的诺特环。设，那么当且仅当每个有限生成的左模块M是自反的满足，。

证明：“只有”部分。根据引理1.2可得证。

“如果”部分。设，设模块的有限表达式为，同时设。应用，我们得到投影的一个确切序列。从而，。并且是自反的。因此，有限生成的右侧模块的双重性是自反的，再根据引理1.4，是自反的。根据引理1.1我们有，因此。我们得到，因此，并且根据Zaks [5, Lemma A],我们得证。

我们现在有能力证明主要的定理。

定理2.3.假使是一个左和右的诺特环，于是当且仅当下面关于有限生成的左模块的说法是等价的：

1. 是自反的。
2. 有一个关于投影的准确序列。
3. 。

证明：“只有”部分。通过命题2.2，，也有，这意味着，最后，通过将（）*应用于M *的有限表示，我们得到。

“如果”部分。因为，我们得到，于是通过命题2.2，意味着。

我们用以下这段话来结束。

备注;在命题2.1中，R的总商数环是Gorenstein环的条件是非常必要的。，其中k是一个领域。其中k是一个领域，那么R不是一个戈林斯坦环，而对于的每个有限生成的模块具有，因此是自由的并因此是自反的，另一方面，通过对引理1.1进行一些修改，我们可以很容易地证明，如果是正确的诺特环，于是当且仅当每个满足的左边模块是无扭曲的。

参考文献

1. Auslander，M.，Coherent functors，在：分类会议论文集代数，施普林格，柏林，1966年，页189-231。
2. Auslander，M.和Reiten，I.，关于Nakayama构造的一般化版本，过程.阿米尔. 数学.社会学.52（1975），69-74。
3. Bass，H.，关于Gorenstein环的普遍性，数学. Z.82（1963），8-28。
4. Jans，J.P.，诺特环中的对偶性，过程.阿米尔. 数学.社会学. 12（1961），825-835。
5. Zaks，A.，半主要环的内射维，J.代数13（1969）73-86。

数学研究所

筑波大学

茨城县305

日本

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[23633]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word