随时间变化的线性混合耦合网络的全局同步延迟外文翻译资料

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随时间变化的线性混合耦合网络的全局同步延迟

摘要：许多真实世界大规模的复杂的网络论证了一个惊人的同步程度，为了解开在这些复

杂的网络中潜在的同步机器，一个主要的随时间变化的线性耦合网络延迟的计划被做出来了，并且它的全局同步之后被进一步的研究。在李雅普诺夫函数和和线性矩阵不等式的基础下，几个有效充分的条件也达到了。延迟独立和延迟与延迟有关得条件被推导出来了。特别是耦合矩阵可能是非对称或者非对角的，而且随时间变化延迟的倒数可以扩展到任意给定值。

最后，一个小世界网络，一个普通的网络和一个无标度网络被构造被以显示所提出的同步标准的有效性。

关键字：李雅普诺夫函数，线性矩阵不等式（LMI），全局同步，时变时滞，复杂的网络。

介绍：过去几年来，复杂的网络越来越受到科学和人文科学领域关注。[1,2,3,4,5,6,7,8，9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40.]在真实世界里网络无处不在，例如食品网，生态系统，代谢途径，互联网，万维网，社交网络和全球经济市场等[1,2]生物，物理，工程和社会科学中的网络无处不在，自然会对两个重要的常见问题：网络结构如何影响网络功能？个人动态如何影响全球动态？

尽管对理想情况下的网络结构和动态行为的理解有了进一步的发展，但是对于大规模，现实世界的复杂网络及其动态特性知之甚少，特别是对于不断发展的网络。[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, 20,21,22,23,24,25,26,27,28,30，31,32,33,34]历史上，提出了许多模型来描述各种复杂的网络，包括正则图，随机图，小世界网络，无标度网络，演进网络等[1,2].毫无疑问，这些模型很好的描述了自然界中的许多真实网络，如社会，生物和工程网络。

另一方面，还可以通过在网络节点中引入动态元素来扩展现有的网络模型[3,4,14,32,33,34]。在过去的几年里。非线性复杂网络的动力学已被深入研究。同步是一种典型的集体行为和自然界的基本动作[14]。我们的直觉是松散的。耦合动力系统倾向于与周期性行为同步[18]。这个同步本质上是一种自然组织形式。而且，已经证明许多现实世界的问题与网络同步有着密切的关系。例如理论和实验结果表明哺乳动物的大脑不仅显示其存储的联想记忆，而且通过选择性的感知记忆来调节震荡神经元同步。

最近，网络同步已经在各种不同的领域进行了深入研究[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,31,32,33,34].例如，一些研究人员研究了耦合神经网络的同步问题[6,8,9,10];yucao和他们的同事探索了一个数组的同步问题具有时延的线性耦合网络[7,16];吕和他的同事介绍了几个时变复杂动力网络的同步标准{16,32,33,34}；李和陈研究了一些不确定动力系统的强大的适应同步问题网络。

在本文中，我们引入一个具有时变时滞的线性耦合网络，基于该网络模型，利用李雅普诺夫函数和线性矩阵不等式推导出几种简单的充分的全局网络同步条件（LMI）。也获得了延迟无关和延迟依赖的充分条件。应特别强调的是，我们不假定耦合矩阵是对称的或对角线的。然而，大部分前期网络同步工作都是基于在这个假设上，此外，我们将时变延迟的倒数扩展到任意的给定的价值。最后但不是最不重要的一个是构建一个小世界的网络，一个普通的网络，无网络规模的无标度网络来验证所提出的同步的有效性。

本文的其余部分组织如下：第二节，简要概述了复杂网络的主要背景，以及一般线性耦合网络提出了时变时延。第三节给出了全球网络同步的主要定理和推论。在第四节中，一个小世界网络，一个常规网络和网络规模的无标度网络构建，以及显示其有效性拟议的全球网络同步标准。最后得出第五节的结论。

2.初步措施. 考虑一个由N个相同节点组成的复杂动态网络用线性扩散耦合[3,4,5,14,32,33,34]描述

（1）Xi(t)=f(Xi(t)) c i=1,2,3,hellip;hellip;.N.

其中i=1,2，hellip;..N，Xi(t)=(Xi1(t),Xi2(t),hellip;hellip;Xin(t)) Tisin;Rn是第i个节点，f：Rn→Rn是连续可微的，c是耦合强度，Gamma;=diag(Y1,Y2,hellip;..Yn)isin;Rn*n是一个具有特定Yi-1和0 的0-1对角矩阵，G=（Gij）N*N是一个耦合配置矩阵，代表了拓扑结构网络，其中Gij定义如下：如果存在从节点I到另一个节点的连接节点j，那么耦合强度Gij=Gji=1；否则，Gij=Gji=0(j?=i)，而矩阵G的对角元素由

（2）Gii=-=-

因此网络（1）可以被重写如下：

（3）Xi(t)=f(Xi(t)) c i=1,2hellip;hellip;.N.

此后，假定网络（3）在没有孤立集群的意义上是连接。那就是耦合配置矩阵G是一个不可约矩阵。

但是，大多数现实世界的复杂网络是随时间变化的。为了表征现实世界的演进网络，吕和陈引入了一个时变网络[14,32,33,34,]代表了许多真正的生物和工程网络。另外，不可避免地存在由于有限的信息交换，在许多实际的复杂网络中存在时延速度，考虑时延，我们提出了一个如下的简单的复杂网络模型[13]。最近，一个线性耦合的复杂网络被提出并进一步研究[6,7,8]。考虑到时间延迟，曹和他的同事们进一步的介绍了如下常数延迟的复杂动力网络[16]。

在本文中，我们将考虑具有时变时滞的线性混合耦合网络：

其中i = 1,2，...，N，C = diag（c1，c2，...，cn）isin;Rntimes;n是一个对角矩阵，正对角线条目cigt; 0，i = 1,2，...，n，A =（aij）ntimes;n和B =（bij）ntimes;n是重量和延迟I（t）=（I1（t），I2（t），...，In（t））Tisin;Rn是外部输入向量，D =（dij）isin;Rntimes;n和Dtau;=（dtau;ij）isin;Rntimes;是常数和延迟的内部耦合矩阵（xi（t））=（f1（xi1（t）），f2（xi2（t）），...，fn（xin（t）））Tisin;Rn对应于神经元的激活函数，G =（Gij）Ntimes;N满足扩散条件（2）。 特别是，不要假定恒定的和延迟的内部耦合矩阵D =（dij）isin;Rntimes;n且Dtau;=（dtau;ij）isin;Rntimes;n是对角矩阵。

表示xi（t）=phi;i（t）isin;C（[ - r，0]，R）（i = 1,2，...，N），其中r =suisin;R{tau;（t）}，（[ - r，0]，R）是从[-r，0]到R的连续函数的集合。为了简化，遵循基本假设。

A1：fi（xi）（i = 1,2，...，n）在R上是单调非递减的。

A2：fi（xi）（i=1，2，...，n）是Lipschitz连续的; 即存在常数Figt; 0有如下公式

A3：tau;（t）是时间t满足的有界微分函数。

其中h是一个正实常数。

A4：耦合矩阵G满足条件

在说明主要结果之前，给出了一些类似的定义和引理[6,7,8,9,10]

定义1.令r =maxtisin;R{tau;（t）}。 设S = {x =（x1（s），x2（s），...，xN（s）：xi（s）isin;C（[ - r，0]，R），xi（s）= xj（s），i，j = 1,2，...，N}，称为同步流形（4）。

定义2.设Rbe是一个环，T（R，K）= {具有Rsuch的矩阵的集合，对于某个Kisin;R，每一行中的条目总和等于K。

定义3 （1）的集合： (1)由N列矩阵组成， 每行（如第i行）的M isin;（1）只有一个入口alpha;i和一个入口-alpha;i，其中alpha;ine; 0所有其他条目都是零。

定义4. （n）的集合：（n）= {M = Motimes;In：Misin;（1），In是n维单位矩阵}其中otimes;是克罗内克积。

定义5.（n）sub;（n）：如果Misin;（n），对于任意一对索引i和j，存在下标j1，j2，...，j1和p1，p2，...，pl-1，使得对于所有的ne;0和ne;0，1le;qlt;1，其中j1 = i和j1 = j。

定义6.同步流形S据说是全局指数稳定的（或网络（4）是全局指数地同步的）是否存在ε gt; 0，Tgt; t0，Mgt; 0使

其中phi;iisin;C（[ - r，0]，R），tgt; T，i，j = 1,2，...，N。

定义7：同步流形S据说是全局渐近稳定的（或网络（4）是全局渐近同步的）如果对任何εgt; 0，存在Tgt; t0使

其中phi;i，phi;jisin;C（[ - r，0]，R），tgt; T，i，j = 1,2，...，N。

引理1（见[9]）。 设G是集合T（R，K）中的Ntimes;N矩阵。 那么（N1）times;（N1）

矩阵H满足MG = HM，其中H = MGJ，

其中1是R的乘法同一性。此外，矩阵H可以被重写明确地如下：=其中i，jisin;{1,2，...，N-1}。

引理2（Schur补充[17]）。 LMI

相当于以下条件之一

其中Q（x）= ，R（x）= 。

引理3（见[9]）。 如果矩阵G是对称的并且也满足条件A4，则G是如果存在ptimes;N矩阵Misin;（2），则不可约,使得G = -M

引理4（见[9]）。 令x =（x1，x2，...，xN）T，其中xiisin;Rn，i = 1,2，...，N。 那xisin;S如果存在Misin;（n）满足||Mx||=0,。

则意味着

那么d（x）是一个非负距离函数。 从M的假设，有一个d（x）0当且仅当||Xi（t）-Xj（t）|| →0，对于所有的i，j = 1,2，...，N。

引理5（见[19]）克罗内克产品具有以下特性：

引理6（Jensen不等式[29]）。 假设向量函数omega;：[0，r]isin;是为以下集成定义明确。 对于任意对称矩阵Wisin;和标量rgt; 0有一个

3.主要结果。 在本节中，基于李雅普诺夫函数和LMI提出了复杂网络全局同步的几个新准则。

为了简化表示，下面给出一些符号。 设T是对称的不可约矩阵满足假设A4。 从引理3可知，存在一个ptimes;N矩阵，Hisin;（1）使得T = -H。 表示M =Hotimes;Inisin;（n）中，并使 =（，，...，）为M的第i行， =，=-并且 =0 ,其中jne; ，。 令Aotimes;B是矩阵A和B的Kroneker积。

其中是N维单位矩阵

那么复杂的网络（4）可以重写如下：

定理1.假设A2-A4成立。 如果存在正定矩阵P =isin;，Q =isin;且Omega;=isin;。正定对角矩阵Sigma;= diag（Sigma;1，Sigma;2，...，Sigma;n）isin;，对称矩阵Delta;=isin;，不可约对称矩阵T =（）isin;满足A4，使得

其中F = diag（F1，F2，...，Fn）isin;，并且下列条件之一成立：

那么网络（12）是全局指数同步的

证明。 见附录A.

人们用假设A1来代替不等式（A.4），有

同样，按照定理1的（i）部分中的相同步骤，可以很容易地得到以下结果推论。

推论1.假设A1 -A4假设成立。 如果存在正定矩阵P =isin;，Q =isin;且Omega;=isin;，正定对角矩阵Sigma;=diag（Sigma;1，Sigma;2，...，Sigma;n）isin;，对称矩阵Delta;=（isin;，不可约对称矩阵T = T =（）isin;满足A4，，使得

其中F = diag（F1，F2，...，Fn）isin;，且

那么网络（12）是全局指数同步的

表示e =（1,1，...，1）Tisin;RN，J =e ，U = N_J。令T = -U = J-NIN; 然后= 1（i ne;j），= - （N-1）（i = j），i，j = 1,2，...，N。 很容易验证T满足假设A4。 根据引理3，存在一个ptimes;N矩阵Misin;，这样T = -M。 由于G满足假设A4，那么就有了

因此，从定理1得到以下推论。

推论2假设A2-A4成立。 如果存在正定矩阵P =isin;，Q =isin;且Omega;=isin;。正定对角矩阵Sigma;= diag（Sigma;1，Sigma;2，...，Sigma;n）isin;，对称矩阵Delta;=isin;，就有了

其中F = diag（F1，F2，...，Fn）isin;，且

那么网络（12）是全局指数同步的

备注1.在[16]中，曹和他的同事调查了全球同步耦合的复杂网络具有恒定的时延。 [16]中的主要定理是推论2，其中h = 0，其中时间延迟是一个常数。 因此，[16]的主要结果是一个特殊的定理1的情况。

令Gtau;= 0; 即在网络（12）中没有线性延迟耦合，如在[6,7,8]中那样。令Omega;=zeta;，其中zeta;是足够小的正数。 然后有以下几点推论

推论3.假设A2-A4成立。 如果存在正定矩阵P =isin;，Q =isin; ，正定对角矩阵Sigma;= diag（Sigma;1，Sigma;2，...，Sigma;n）isin;，对称矩阵Delta;=isin;，不可约对称矩阵T =（）isin;满足A4，使得

其中F = diag（F1，F2，...，Fn）isin;，且

则具有Dtau;= 0的网络（12）是全局指数地同步的，lt;

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