布洛赫空间组合算子的等距映射外文翻译资料

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布洛赫空间组合算子的等距映射

Maria J. Martin and Dragan Vutokic

摘要：我们描述了在布洛赫空间上的组合运算符、双曲导数和符号群集之间的所有等距映射，并给出一类的非平凡示例。

关键词：布洛赫空间；组合运算；等距映射；

引言：

大部分分析函数的布洛赫空间有着许许多多的等距映射。例如，哈代和伯格曼空间的满射的测量是有一定权重的复合算子。布洛赫空间所有解析函数的集合，导数一定时，其范数表达式通常为：

主要结论：

Littlewood隶属准则（LSP）：设，是D的分析自映射，并且。然后对于所有的和

在[2]中，理论1.7，p.10,有一个初等的证明，以次调和函数的性质为基础。将LSP应用到一个合适的扩张，我们立刻获得下面的推论：

设g在一个邻域是解析的，并且，然后

定理一的证明：

是显然的，因此，

现在设。为了对一个给定的函数估计，我们固定和。

因为是D的一个紧子集，有一个常数,任意接近于1，并且满足。因此是D的分析自映射。

设,是Blaschke联系因子，是恒等映射这是显然的（并且很容易推导）。对于我们有,因此

因为是D的一个自映射，并且，我们也许会应用LSP：

函数在一个邻域（）上是解析的，因此关于的LSP的推论可以用来替换

并且用取代（注）我们发现

因为我们可以选取任意一个接近于1的数，我们得到，对于所有和，

因此,并且在条件上是有界的。

为了证明更低的范数不等式，令,则,并且对所有的来说，成立。

我们现在转向更为普通的空间：

定理2：令和是的两个子空间并且设是D的一个解析自映射，例如。

1. 如果的维数大于1，则是内射，当且仅当不等于常数
2. 如果并且是满射，则

注意我们不需要或的任何范数。

证明：如果则对于所有的有，因此并且。因此如果,不可能是内射。现在令不等于常数并且假定对于一些而言有。则,也就是对所有的而言。因为恒等映射并且是满射，有一个函数且，因此，矛盾，因此是单页的，尤其对于非常数。

接下来假定不是满射，也就是说，有一个点，则在中没有零元，并且因此在D内存在一个解析平方根，因为显然是有界的，因此有一个函数使得，因此

也就是对于所有的有。

因为不恒为常数，由恒等定理得在上，因为中左手边的的一个零元一定是偶数次序的，从而得出矛盾。

将定理2应用到特定的空间我们得到一个完整的刻画：

推论：设是的一个子空间，，并且设是一个解析自映射，并且使得,则：

1. 算子是内射当且仅当常数.
2. 算子是满射当且仅当
3. 算子是可逆的当且仅当

在的情形下

假设是满足条件的，尤其对于哈代空间和D的任意的一个解析自映射。

可见[1],定理1.6,p.5，对于一个可替换的方法我们得到了一个与我们第三个断言相似的结果。

证明：我们可以用到定理2（显然），这给出了第二个断言的第一个也是唯一一个的部分。这表明，如果，算子有逆。这是显然的，因为对所有的，我们有，

因此， 。

鉴于定理1，假设对于和的任意分析自映射是满足的，这是很明显的。

参考文献：

[1]Cowen,C,MacCluer,B,《解析函数空间上的复合算子》，CRC Press,Boca Raton,1995

[2]Duren,P.L: 《HP空间理论》，学术出版社，纽约1970

投稿日期：2005年6月20日

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