具有谱方法分辨率的紧致差分格式外文翻译资料

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具有谱方法分辨率的紧致差分格式

在计算一阶、二阶和高阶导数时，有限差分格式提供了一种有所提高的再现方式，即一系列相较于其他已知方法有所提高的尺度（谱分辨率）。这个格式适用于非均匀网格和强加各种边界条件的情况。该方法可用于中间位置的单元格差分，能够进行精确插值和谱方法滤波。本文将讨论该方法对于流体力学问题的应用。

1、引言

许多物理现象具有一系列的时空尺度，紊流就是常见的这样一种物理现象.对这些过程直接进行数值模拟需要与之相关的所有的尺度在数值模型中正确地再现。这些要求导致了谱方法的发展[1-2]。可以从文[3-5]中找到用谱方法对紊流直接模拟的一些例子，但是，谱方法仅限于简单区域和简单边界条件下流动的使用，而另一些数值表征能克服这些问题，例如有限差分格式或谱（有限）元格式的使用。紊流的直接模拟用这些可替代的方法是相当新的。Rai和Moin[6，这儿的参考文献是他们的早期工作]使用了一种高阶的基于迎风格式的有限差分格式进行了槽道湍流的模拟。Patera，Karniadakis的工作以及他们两的合作论述了谱元法的使用。

本文展现了用于具有一系列空间尺度问题的有限差分方法，与传统的有限差分近似相比本文讨论的方法对于更短的长度尺度能进行更好地再现，这一特征使他们更接近于谱方法但能更自由地选取几何网格同时也使边界条件得以保留。本文的重点在于差分近似的分辨率特征而不是他们的格式精度（如：截断误差）。对于分辨率特征我们指的是在一个给定的网格上，差分近似能够实现全部范围长度尺度准确结果的再现的精度，这个分辨率的概念由差分格式的傅里叶分析方法定量化描述，它与Swartz和Wendroff[10-13] 以及Kreiss和Oliger[14]使用的用于比较不同格式分辨率的每个波长间隔的概念类似，但更具普遍性。每个波长间隔的概念也是用傅里叶分析的方法来定量位相误差的。对于非常小的位相误差，一个差分格式需要的每个波长间隔的数量只对网格上最长的波敏感，这恰恰与从格式的主要阶截断误差（形式精度）获得的信息一致。需要强调的是，准确解决一个特定范围的长度尺度的量化重要性依赖于物理问题的解决以及数值计算中得出的自然结果。

本文的结构如下，第二部分论述了一阶导数、二阶导数近似的基本格式；附录A中是更高阶导数的近似格式；附录B中是中心网格上的紧致格式；附录C中是插值和滤波的应用。第三部分论述了格式的分析，展示了相关的离散误差和多维情况下格式的各向异性，这几部分都在与传统有限差分格式进行比较，这一分析产生了一个差分格式解决效率的定义。当遇到非线性问题也对混淆误差进行了讨论。第四部分则是对导数近似边界的处理，并评估了局部边界误差，数值测试的方法分析了它对整个格式的影响。这一部分还讨论了整个格式的特征值分析和稳定性的时间步长约束。第五部分是对格式应用的总体评价以及一些流体力学上的应用案例。

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2.1 一阶导数近似

在一系列节点上给定一个函数的值，函数导数的有限差分近似可以表示成给定函数值的线性组合。为简单起见，考虑一个空间均匀的网格，网格节点由索引。节点上的自变量表示为，，节点处的函数值给定。节点处的一阶导数的有限差分近似依赖于附近节点上的函数值，二阶和四阶的中央差分近似分别依赖于和，然而，谱方法中的值依赖于所有节点上的值，帕德或紧致有限差分格式[15-19]使这种全面的依赖减小。本文讨论的格式是帕德格式的一般化。

这个一般化的格式通过书写近似形式获得：

(2.1)

系数、、和、之间的关系通过匹配各阶泰勒级数的系数获得，第一个不匹配的系数决定了近似(2.1)的形式截断误差。这些约束条件如下：

（二阶） (2.1.1)

（四阶） (2.1.2)

（六阶） (2.1.3)

（八阶） (2.1.4)

（十阶） (2.1.5)

如果因变量关于是周期性的，那么关系式(2.1)每个节点上的系统能够由一个已知导数值的线性系统方程一起求解。当为非零值（零值）时这个线性系是一个五对角循环（三对角循环），一般的非周期的情况需要另外的适合于近边界节点的关系，这些将在4.1和4.2中讨论，产生的线性系统服从于有效的数值解。

关系式(2.1)和一个数学上定义的介于一个非均匀物理网格和均匀计算网格间的映射提供了非均匀网格上的导数，在非均匀网格上直接获得类似于(2.1)的关系式也是可能的（例如[19-21]中获得的与传统帕德格式一致的关系式）。现在我们考虑(2.1)中各种特殊情况，在之后的讨论中约束关系(2.1.1)-(2.1.5)中至少将前两个强加进去，因此，所有讨论的格式至少有四阶的形式精度。

3.1中讨论了(2.1)格式离散误差的分析，这一分析显示本文讨论的格式能提高更短长度尺度（即谱分辨率）的再现，这一分析也使格式有很小的离散误差（几乎是谱大小的），这些也都在3.1中讨论。在本节中，我们用传统的方法对(2.1)产生的差分格式依据形式的截断误差和计算所需的模板进行分类。

一般关系式(2.1)加上(2.1.1)、(2.1.2)可以看做是一个四阶格式的三参数家族，如果格式限制于可获得许多三对角系统，如果就产生了五对角格式，如果另外强加六阶形式精度的约束条件就会获得一个六阶五对角格式的两参数家族，这些可以进一步特殊化到一个八阶五对角格式的一个参数家族或一个简单的十阶格式。

首先对三对角格式进行讨论。三对角格式由产生。如果进一步让，就可获得一个四阶三对角格式的一个参数（）家族。对于这些格式

。 (2.1.6)

该格式和其他下文讨论的格式的(2.1)右式的截断误差呈现在表1中（除非有说明否则本文之后的截断误差都是在这个意义上使用），表格中的模板尺寸是一类格式中所需的最大模板尺寸。

当趋于0时，这个家族融合进著名的四阶中央差分格式，类似地，时传统的帕德格式被覆盖，进一步，对于主阶截断误差系数没有了并且格式的精度在形式上是六阶的，它的系数为

。 (2.1.7)

特殊的三对角格式中，Collatz[22，p.538]中给出。

当时格式(2.1.6)的家族能扩展到一个四阶三对角格式的两参数家族，其中包含着一个六阶三对角格式的一参数家族，这个（六阶）家族如下：

，。 (2.1.8)

六阶三对角格式(2.1.7)是这个家族的一个成员（），当这个六阶家族能进一步被特殊化为一个八阶格式，这是式(2.1)中形式精度最高的三对角格式（）。

当时产生了五对角格式，总体上这个四阶三参数（）给出如下：

。 (2.1.9)

六阶形式精度的格式包含两个参数，他们给出如下：

(2.1.10)

(2.1.8)的三对角六阶家族是 (2.1.10)的一个子类，另一个子类包含着这个六阶五对角家族有

(2.1.11)

当时这个家族限制于六阶三对角格式(2.1.7)，当时，(2.1.11)主要阶截断误的差系数消失了，产生了一个八阶格式，这个八阶格式有

。 (2.1.12)

这个特殊的格式也由Collatz[22，p.538]给出，Swartz和Wendroff[10-13]也分析了这个格式。

在(2.1.10)中令产生了一个八阶五对角格式的一参数家族，这个八阶家族有

。 (2.1.13)

这个特殊的八阶格式在更早之前就获得了，即(a)格式(2.1.8)中，(b)格式(2.1.12)，属于这个一参数家族。

(2.1.13)中令产生了一个十阶格式，这个格式是式(2.1)所有格式中形式精度最高的一个。这个格式的系数为

。 (2.1.14)

(2.1)呈现的导数近似的种类中那些在格式子类（通过(2.1)左式和右式指定的计算模板表示）中获得可能的最高形式精度的格式恰巧是由一阶导数算子的一个合理（帕德）近似获得的格式，这个帕德表格由Kopal[23]给出，形式的合理近似仅产生这些多参数格式(2.1.9)的特殊成员。

本文中呈现的另一种更有效的格式分类的方法是由它们的傅里叶分析得到的，傅里叶分析的方法也定量化了格式的分辨率特征，这也提供了一种从多参数家族中最优化格式的方法，这些问题都在3.1中进行了讨论。

2.2 二阶导数近似

二阶导数紧致近似的获得过程与一阶导数十分类似，开始的关系形式再一次呈现如下：

(2.2)

其中代表节点处二阶导数的有限差分近似，系数、、和之间的关系通过匹配各阶导数的泰勒级数系数获得，第一个未匹配的系数决定了(2.2)近似的形式精度误差，这些约束如下：

（二阶） (2.2.1)

（四阶） (2.2.2)

（六阶） (2.2.3)

（八阶） (2.2.4)

（十阶） (2.2.5)

约束条件的形式与获得一阶导数近似的约束条非常相近但右式中放大系数不同，在接下来的讨论中至少强加前两个约束条件从而产生一个至少四阶形式精度的格式。由(2.2)定义的三对角和五对角系统由于因变量在每个节点上是的周期函数，因而可以求解产生二阶导数，对于非周期的情况边界处需要加入另外的关系（4.3中讨论）。

令。这个家族有

。 (2.2.6)

这个家族(2.2)式右式的截断误差和其他在本节中讨论的格式的截断误差都呈现在表二中。可以注意到当趋于零时，这个家族与著名的四阶中央差分格式一致，当时经典的帕德格式被覆盖了，当时就获得了一个六阶的三对角格式，这个格式有

。 (2.2.7)

和特殊的成员由Collatz[22，p.538]给出。

当在(2.2)式中考虑，时产生了一个四阶格式的三参数家族，它们满足

，。 (2.2.8)

这类格式可进一步被特殊化为一个六阶格式的两参数家族，一个八阶格式的一参数家族或一个简单的十阶格式，这个两参数的六阶家族定义如下：

，，。 (2.2.9)

当强加了八阶的约束，(2.2.9)简化为一个八阶格式的一参数家族，这些格式由

，。，。 (2.2.10)

定义。这个特殊的八阶格式中与Collatz[22，p.539]给出的(2.2.10)中令一致。

最终，当强加十阶的约束条件时产生了一个简单的十阶格式，这个格式由

，，，， (2.2.11)

定义，在(2.2)定义的格式中拥有最高的形式精度。

在之前(2.2)定义的格式中，那些最大化的形式精度（有一个规定好的计算模板）恰与二阶导数算子的合理近似或帕德近似相一致，这些已经在Kopal[23，pp.551-552]算子符法中给出。在3.1节中通过傅里叶分析的方法对格式(2.2)与其他一些著名的格式进行比较，这一分析引出了本文论述的谱分辨率的格式同时也产生了一个更优化的格式。

用来估算高阶导数的紧致格式在附录A中进行了讨论，在估算导数时包含一个中心平均网格的格式在附录B中进行了讨论，用于插值和滤波的紧致格式在附录C中进行了讨论。

3、误差的傅里叶分析

这一节论述了误差的傅里叶分析，该误差与最后两节讨论的近似有关，并与标准有限差分格式进行比较来判断误差特征提高的程度。差分格式的形式截断误差在本节中给出，使用傅里叶分析来表征差分近似误差在[24]中进一步讨论，这是一个比较差分格式的经典方法，该方法曾经被Roberts和Weiss[25]，Fromm[26]，Oliger和Kreiss[14]，Orszag[27-28]以及Swartz和Wendroff[10-13]使用，标准帕德格式的傅里叶分析在[18]中讨论并与二阶和四阶中央差分进行比较。

傅里叶分析提供了一个定量化差分近似分辨率特征的有效方法，这个定量化方法能够被用来进一步指导差分格式的最优化。在接下来一节中从离散或位相误差和各向异性（在多尺度上）方面来分析差分误差，并与标准差分公式进行比较，同时还给出基于分辨率特征的最优化格式的例子。这研究的所有差分近似（内部格点上的）都是中央差分形式，因此没有耗散误差（来自差分的保守项）。边界误差（非周期问题）的处理在第四节中呈现，也介绍了适合近边界节点处的近似。在4.4节中讨论格式的时候讨论了边界格式产生的局部误差及其对整体准确度的影响，这要求对一阶导数格式进行直接的数值测试。对整个格式的稳定性分析被放在4.5节，之后4.6节是对稳定的显示时间推进的时间步长约束的一个总结。

3.1差分误差的傅里叶分析

为了进行傅里叶分析，因变量在自变量变化的范围[0,L]内是周期变化的，即：，。因变量能够被分解为傅里叶系数

， (3.1.1)

其中，。由于因变量是实值，傅里叶系

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