一类广义非扩张映射的不动点定理外文翻译资料

英语原文共 7 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

一类广义非扩张映射的不动点定理

Fatemeh Lael and Zohre Heidarpour

摘要：本文中，我们介绍一类新的广义非扩张映射的不动点定理，获得了一些新的不动点定理。

MSC：47H10

关键词：单调映射；非扩张映射；不动点；

1. 引言和预备知识

非扩张映射是具有Lipschitz常数为1的Lipschitz映射。在[1-5]中，这种映射的不动点理论十分丰富，在非线性泛函分析中有广泛的应用[6]。

关于广义非线性映射，我们先给出一些基本的概念，这些概念在[7-8]中，是由Suzuki等人提出的。

定义1[8]：设是Banach空间的非空子集。我们说映射在C上满足条件，对于，如果蕴含。

当然，每一个非扩张映射满足条件，但逆命题是假的，你可以在[8]中找到反例。所以，有条件的映射类比非扩张映象类更广泛。

在[7]中，条件推广为：

定义2[7]：设是Banach空间的非空子集并且。我们说映射在上满足条件，对于，如果蕴含。

因此如果，我们会有条件。有例子表明，逆命题是假的，见[7]。

在[9]里，单调非扩张映射定义在。

接下来，我们回顾一些在上的概念，所有的概念都能在[10]里找到。

考虑Riesz Banach空间，在里面。当集合，Lebesgue测度为零时我们得到。在这种情况下，我们说几乎处处。里面的元素因此被看作一类函数。任何的规范都是由给出的。在本文中，我们将用代替，，代替。

在本文中，我们重新定义定义2在Banach空间的子集并且这些定理的证明[9]推广到更广泛的一类单调条件下，保持他们不动点性质。

1. 主要结果

设是具有矢量序关系的一个非空子集。一个映射称为单调的，如果对于所有，我们有。

我们概括条件如下：

定义3：设C是Banach空间的一个非空子集。对于，我们说一个映射在上单调，如果是单调的且对于所有，蕴含。

注：定义3是单调非扩张映射的概括，定义在[9]里如下。

一个映射是单调非扩张的，如果是单调的且对于所有的，我们有。

下面的例子是单调非扩张映射的直接推广。

例1：设对于所有，在上，有，考虑偏序关系当且仅当，有。

设被定义，映射满足单调条件但它不是单调非扩张。事实上，每当，如果，那么。另一方面，如果，然后我们再次得到，但如果，然后，在上满足单调条件的映射。

设然后而，因此不单调非扩张。

下面的引理是证明本文的主要结果的关键。

引理1：设和单调凸，假设对于一些。那么序列被

定义。

满足

。

证明：我们要先证明。假设，我们有。假设对于时，，那么我们有

即，由于T是单调的，那么，我们有

所以对于任意的，有

，

如果，在上的序列就叫做几乎不动点序列（简称）。

引理2：设是单调条件映射且对于，是有界的，那么

，

对于，有，对于所有的,都有.

证明：固定使得，因为是，有，存在，对于所有的，有。也就是说，对于所有的

，

因为满足单调条件，对于所有的，我们有

(1)

因此，通过三角不等式和，我们有

。

因此。证明仿照引理1的[7]。

引理3[11]：如果是一个序列在一个测度空间的一致有界函数且几乎处处满足，那么对于所有的，有

。

下面，设是一个非空、凸的有界集且对一些，是单调条件。

定理1：设使得。那么定义在是

证明因为对于，，我们有

。

由引理1，我们有。因此，单调条件说明

现在，我们能通过引理3的[1]来推论。

例2：我们发现定义在例1里面的，有一个。不难看出，是的非空、凸的有界子集。而且，我们证明了服从单调条件。此外，。因此，由定理1，有一个。

定理2：设紧致，假设存在使得和可比较，那么有一个不动点。

证明：设是一个定义在上的序列。由定理1，是一个。由于紧致，所以有一个收敛子序列到。通过三角不等式，我们得到

。

因为是一个，我们有

。 (2)

再次利用三角不等式，我们有

。 (3)

从不等式(2)和(3)，我们有

。 (4)

通过使用偏序和收敛性质。引理1说明

。

所以

。

因为

，

我们得到

。

所以

。

因此，单调条件说明

。 (5)

因为是有界的，引理3说明

。

从不等式(5)，我们得到

。

这说明。

由定理2，我们可以看到在例1中有一个不动点。

下面的例子表明，单调条件是一个条件的直接概括。

例3：设，定义关于的部分序列如下：

当且仅当时，。

设是

因为是紧集，所以它是的非空紧凸集合子集。令，那么和是可比较的。同时，服从单调条件。因此，由定理2，一个不动点。

注：对于，不服从条件。因为，对于和，我们有

，

但是

。

定理3：设是的弱紧子集，假设有使得。那么有一个不动点。

证明：由定理1，有一个。由于是弱紧的，所以对于一些有一个弱收敛子序列。如果，那么是收敛的，同时，对于定理2我们有相同的证明。另一方面，如果，那么通过引理2，

。 (6)

我们称。因为如果，由于满足Opial条件，我们有

，

1. 是一个矛盾，不成立。

这一结果是对于单调条件在中形式单调的元存在性定理的一个推广。因此这个类更大并且用于解答 Benavides[12]：对于Suzuki型映射，也满足不动点性质？

参考文献：

1. Goebel, K, Kirk, WA: Iteration processes for nonexpansive mappings. Contemp. Math. 21, 115-123 (1983)

2. Ishikawa, S: Fixed points and iteration of a nonexpansive mapping in a Banach space. Proc. Am. Math. Soc. 59, 65-71(1976)

3. Khan, AR, Hussain, N: Iterative approximation of fixed points of nonexpansive maps. Sci. Math. Jpn. 54, 503-511 (2001)

4. Kirk, WA: Fixed point theory for nonexpansive mappings. In: Fixed Point Theory. Lecture Notes in Mathematics,vol. 886, pp. 485-505 (1981)

5. Opial, Z: Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings. Bull. Am.Math. Soc. 73, 595-597 (1967)

6. Browder, FE: Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 54, 1041-1044 (1965)

7. Falset, JG, Fuster, EL, Suzuki, T: Fixed point theory for a class of generalized nonexpansive mappings. J. Math. Anal.Appl. 375, 185-195 (2011)

8. Suzuki, T: Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings. J. Math.Anal. Appl. 340, 1088-1095 (2008)

9. Khamsi, MA, Khan, AR: On monotone nonexpansive mappings in L ([0,1]). Fixed Point Theory Appl. 2015, Article ID194 (2015). doi:10.1186/s13663-015-0346-x

10. Beauzamy, B: Introduction to Banach Spaces and Their Geometry. North-Holland, Amsterdam (1985)

11. Brezis, H, Lieb, E: A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals. Proc. Am.Math. Soc. 88, 486-490 (1983)

12. Benavides, TD, Medina Perez, B: The fixed point property for some generalized nonexpansive mappings and renormings. J. Math. Anal. Appl. 429, 800-813 (2015)

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[26158]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word