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有效实现带有狄利克雷边界条件的泊松方程的四阶紧致有限差分格式

王汉泉^a，张勇^b，马修^a，邱军^a，梁燕^c

a 云南财经大学数学与统计学院，云南昆明650221，中国

b 沃尔夫冈保利研究所c/o Fak，数学，维也纳大学，奥斯卡-莫根斯坦广场，1090维也纳，奥地利

c 云南大学数学与统计学院，云南昆明650091，中国

摘要：提出四阶紧致有限差分格式来求解带有狄利克雷边界条件的泊松方程已经有一段时间了。该数值格式的有效实现在实际使用中是经常需要的。在本文中，基于快速的离散正弦变换，我们设计了一种有效的算法来实现这个格式。要做到这一点，泊松方程首先由四阶紧致有限差分法离散化，随后的离散体系不是由通常的矩阵求逆的方法解决，而是用快速的离散正弦变换来解决。通过这种方式，所提出的这类带有很大的网格数量的格式算法的计算量会大大降低。快速求解一维，二维和三维泊松方程详细的数值算法已经被提出了。在一维、二维、三维、四维的数值结果显示应用的紧致有限差分格式具有四阶精度,并且可以被有效地实现。

关键词：泊松方程；四阶；紧致有限差分格式；离散正弦变换

1.引言

出现在科学和工程学中关于偏微分方程数值近似的有效和准确的数值方法一直是数学家、工程师、物理学家和其他的科研学者们数十年的目标。在过去的五十年中，很多数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法和有限体积法都在偏微分方程的数值近似中占主导地位。然而有限差分法作为基础方法来解决出现在很多物理领域的偏微分方程，如量子力学，电磁学和流体力学。二阶显式有限差分的数值格式是被普遍使用的,因为他们的实现相对比较简单。举例说明，典型的显式有限差分格式在点处去近似函数的一阶导数,并通过给出了中心格式。其中是指的定义域均匀分割的网格大小。近似的局部截断误差为，通过增加有限差分格式的截断误差的阶数可以获得更好的近似。这通常可以被实现，是通过数值格式的模内所包含的很多点。作为一个例子,考虑一个显式带有五点模板中心差分公式，由下式近似出一阶导数

它的局部截断误差为，这个方法的缺点是在网格点附近和边界处需要包含更多的方程。

另一种方法是不扩大模板,但在会涉及某些节点的导数值，并且在这些点处函数已经被估计。例如,考虑到在1966年提出一阶导数有限差分近似^[1]，其近似于三个网格点处的导数值，在这三个网格点处的函数值为:

如以后所证明的那样，这个新的格式的局部截断误差为。

然而，如果在离散域上使用，则在模板突出域的两端的两点处需要四个额外的公式。 相反，格式仅仅在每个端点处需要额外的公式。 假设至少有一个边界条件是已知的，则只需要一个额外的公式。 因此，提出的隐式格式比显式格式要有优势。 格式通常称为紧致有限差分格式^[1～2]。

近五十年来，已经有了紧致有限差分法。如上所述，^[1]报道了一些特定的公式。在20世纪70年代初的一些流体力学问题上^[3-4]，他们开始运用有限差分格式去近似偏微分方程。从那时起，已经开发了几种不同类型的紧致有限差分格式。两种最常见的格式是中心格式和逆风格式。 1992年，一份对中心紧致格式有着深入分析的开创性论文表明，这些紧致格式对短波具有光谱分辨率^[2]。还研究了逆风紧致格式来解决非线性双曲线问题^[5-6]。近年来，由于出现了更快、更强大的计算可能性以及用于快速矩阵求逆的算法的开发，对紧致格式的证明是更有利的。例如，紧致格式已经被应用于处理由方程描述的壁界流问题。在超音速边界层流的大涡模拟中，以及在电磁波的散射中^{[7-9 ]}。紧致有限差分法已经应用在解决对流扩散方程^[10]、汉堡方程^[11]、波动方程^[12]、欧拉方程^[13]、薛定谔方程^[14-18]，方程^[19-20]和泊松方程^[21]。

虽然紧致有限差分格式可以使用更少的单元点获得更高的阶数精度，但它们是隐式方法，通常需要在应用于求解偏微分方程时进行矩阵求逆。在本文中，提出了快速实现带有狄利克雷边界条件的泊松方程的四阶紧致有限差分格式。我们用四阶紧致有限差分法离散泊松方程的狄利克雷边界值问题，并用快速离散正弦变换求解得到的离散系统，而不是矩阵求逆。泊松方程是最重要的偏微分方程之一。它在电磁学，机械工程和理论物理学中有广泛的应用。用于数值求解泊松方程的快速求解器的设计可能成为紧致有限差分法应用的必要条件。

对于许多其他类型的偏微分方程，当我们用紧致的有限差分格式离散化它们时，研究出快速有效的算法对我们很有用处。

本文的结构如下：在第2节中，我们首先简要介绍如何设计紧致有限差分格式。在第3节中，我们接下来展示如何用四阶紧致有限差分格式离散泊松方程，以及如何应用快速离散正弦变换来解决所得到的离散系统。还提出了一维，二维和三维泊松方程的详细数值算法。在第4节中，分别展示了通过四阶紧致差分法离散化的一维，二维，三维和四维泊松方程的数值结果。在第5节中，得出了一些结论并进行了讨论。

2 .紧致有限差分格式

在本节中，我们简要介绍如何构建紧致有限差分格式。有关如何构建它们的更多信息可以在^[2]中找到。

我们利用紧致有限差分法在网格点 处开始近似导数的之前，我们假设 ，其中和是一些整数。和是一些常数，表示空间x方向上的网格大小。

在通常情况下，通过在周围的相邻网格点的函数的值的线性组合，有限差分法近似处的函数的导数。例如，可以通过估计 ，通过 估计，再通过 估计。 这是在邻近点通过函数本身在处近似函数的导数的显式方法。

然而，紧致有限差分法隐含地近似函数在处的导数。在下文中，我们介绍了如何构造紧致有限差分法的基本思想，以便近似在处的一阶导数和二阶导数。

2.1 一阶导数近似

通过^[2]，中心紧致有限差分法给出一阶导数的近似。

其中，，，，是一些已经确定的常数。 通过泰勒展开，我们发现：

并且：

将等式和带入等式，并且匹配相似项的系数，即我们可以获得等式中那些未确定的系数，，，，的等式

由此可以得出：当，，，，满足等式，从等式，可以得到具有二阶精度的有限差分格式; 当，，，，满足两个等式和，从等式，可以得到具有四阶精度的有限差分格式; 当，，，，满足等式，和，可以得到六阶精度的有限差分格式。 可以以类似的方式构造一阶导数的高阶有限差分格式。

通过设置可以简单得出紧致有限差分格式。例如，如果我们选择：

并设置，然后从等式我们有：

将等式带入等式，我们得到的四阶精度的紧致有限差分格式如下：

显然可以看出，等式中的，，，，满足方程式和，但它们不满足公式。

2.2 二阶导数的近似

从文献^[2]知：中心紧致有限差分格式可以获得二阶导数的近似

其中，，，，仍然是确定的一些常数。 通过泰勒展开，我们有：

将等式和代入等式，我们发现：

由此可以得出：当满足等式时，由式可以得到二阶精度的有限差分格式; 当满足方程和时，由式可以得到具有四阶精度的有限差分格式; 当满足等式，和时，可以得到六阶精度的有限差分格式。

具体来说，如果选择则满足等式和，但它们不满足等式。 因此，我们可以得到以下用于的四阶精度的紧致有限差分格式如下：

当然，我们可以从中构造更多的高阶紧致有限差分格式，更多细节参考^[2]。

3.通过紧致有限差分格式近似泊松方程

在本节中，我们的目的是展示如何使用四阶紧致有限差分格式来分别解决在一维，二维和三维中带有狄利克雷边界条件的泊松方程。 为了降低计算量，并且基于快速离散正弦变换，我们构建了针对于离散系统的快速求解器。

3.1 一维的泊松方程

,

,

其中，是未知函数，是某个给定的源函数。

作为一般的有限差分法，我们首先将网格点的均匀离散间隔，有，，,其中是正整数。以下，我们表示，，，，以及。

从等式，我们用一个矩阵公式改写有限差分，如下：

其中被明确给出：

另外，我们从等式得到 . 即.然后可以改写为：

通过矩阵求逆直接求解，我们可以得到近似解.在上述推导中，我们假设. 如果不是，我们可以使用诸如和的近似，并且可以类似地进行。

在下文中，基于快速离散正弦变换，我们构建了线性系统的快速求解器，并绕过矩阵求逆运算。 众所周知，和的离散正向/反向正弦变换如下：

我们可以定义为的离散正弦变换。

从式可以近似如下：

将以上等式带入，我们得到：

或者写成一个简单的形式：

最后，我们有：

其中，

另外，从等式，我们得到，通过逆正弦变换，我们得到。总之，我们得到：

算法1：快速求解带有狄利克雷边界条件的一维泊松方程

1、给出和网格点，通过快速离散正弦变换从计算。

2.通过使用计算，然后通过的逆离散正弦变换获得.

通常，一个解决离散系统，即等式 通过矩阵求逆。 在这种情况下，计算量为。 然而，在所提出的算法1中，我们应用快速傅里叶变换实现快速离散正弦变换。 对于，我们为读者引用文献^[22]了解更多细节。 可以将数字成本从降低到。 在一维情况下，并不大，计算量的降低也不显著。 但是在二维甚至更高维度的情况下，可能非常大，计算量的降低将更加明显。

3.2 二维的泊松方程

在本小节中，我们希望应用四阶紧致有限差分格式去解决带有狄利克雷边界条件的二维泊松方程

其中，是未知的，是某个给定的函数。

在数值离散化中，我们首先对域进行分割，得到x方向和y方向的网格大小，即。网格点被定义为，其中，，， 另外，和分别表示为和的近似值。 类似地，和分别被定义为二阶偏导数和的近似值。

考虑到的紧致有限差分格式，我们可以得到以下近似值：

通过积（或张量积），可以将方程和重新改写成以下矩阵形式：

其中，和分别代表和的一般形式：

另外，令：

lt;

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