强π-正则群环外文翻译资料

英语原文共 4 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

强pi;-正则群环

A.Y.M.Chin和H.V.Chen

Institute of Mathematical Sciences, Faculty of Science, University of Malaya,50603 Kuala Lumpur, Malaysia

E-mail: acym@um.edu.my

AMS Subject Classification (1991): 16E50, 16U99

摘要：假设是一个有单位的环。称元素被认为是左（右）的，如果存在和一个正整数，使得。如果同时是左和右，那么它被称为强。在这篇文章中我们将证明群环为强的一些充分条件和必要条件。

关键词：强，正则，群环

1. 引言

本文中的所有环都被认为是有单位的环。环的元素被称为是左（右），如果存在和一个正整数，使得。如果同时是左和右，那么它被称为强元。如果环中的每一个元素都是左（右），那么被认为是一个左（右）。如果中的每一个元素都是强的，那么这种环是强环。在文献【3】（Dischinger）的结果中，所有的右环是左，反之亦然，则这种环是强环。如果对于任意的，都存在使得，则是一个冯·诺依曼正则环。在接下来的文章中，我们把冯·诺依曼正则环看成是常规的正则环。

众所周知，一个强环不是常规的正则环，反之亦然。比如说，一个阶的下三角矩阵在域中是强正则环，但不是正则环，而同态环是正则环但不是强的，其中是除环上的无限维向量空间。文献【1】和文献【4】中介绍了关于正则环与正则环的更多性质。

自五十年代末六十年代初，使得一个群环为正则环的必要条件与充分条件已经被人们所熟知（以文献【5】中定理3.15为例）。在本文中，我们研究强正则群环以及使一个群环成为强正则环的充分和必要条件。

1. 初等结果

假设环不是一个右正则环。则存在一个元素对于给定的任意的正整数和，都有。然后我们得出右理想的无限降链

因此不是artinian。于是artinian环一定是强正则的。

直接证明强正则环的同态也是强正则的。

假设是环，是群。我们将记群环。对于任意元素，的支撑是由不为0的组成，由于只有有限多个满足，所以是的有限子集。由生成的的理想称为增广理想。由，我们已知是的同态像（见）。

1. 强正则群环

本部分的主要结果如下：

定理 3.1 设是环，是群。如果对于中的每个理想 ，是强正则环，那么是强正则环。

证明：（反证法）假设不是强正则的。那么存在一个元素，对于给定的任意正整数和,使都有。因此的右理想链

不会终止。令是由的满足

理想组成的集。注意到知，而且是一个偏序集。设为的一个链元素和 。显然是的一个理想且对于所有的，有。我们证明，假设，那么对于某个和正整数，有。因为有限，那么存在使得。于是序列

是有限的，这是一个矛盾。因此，由引理知。包含一个最大元素。因此

不是强正则的，由假设不是一个素理想。因此存在理想，使得但是。令和。那么严格包含于和，我们同样有

.

由的最大性，序列

都是有限的。

因此存在一个正整数使得和成立。存在，使它满足和。因此

和存在，满足。因此

是有限的，与矛盾。所以我们得出是一个强正则环。

假设是环，是中的理想，是群。如果是一个强正则环，那么

因为强正则环的自同态映像也是强正则的，所以是强正则环。因此我们从定理3.1可以推出以下的结论：

推论 3.2 假设是环，是群。是强正则的当且仅当对于任意的素理想，都有是强正则的。

现在我们得到的群环是强正则的充分条件：

定理 3.3 设是一个具有artinian素因子的环，是局部有限群，那么是强正则的。

证明：假设是中的一个素理想，，是由生成的的子群。因为是有限的，是局部有限的，则是有限，显然，。我们可以得到强正则的，事实上，因为是artinian和有限，于是是artinian，因此是强正则环。又因为是中任意的元，所以也是强正则的。由定理3.1得出是强正则环。

那么定理3.3的逆定理是否为真很自然地成为了我们要思考的问题。我们知道如果是一个abelian群（详见命题3.5）那么这个逆命题是部分正确的。首先，我们来证明下面的命题：

命题3.4假设是环，是群。如果是强正则的，那么是强正则环，是扭曲群。

证明：从同构，我们得到是强正则环。令。又因为，考虑，注意到在中没有左逆或右逆，否则，因此，这与是的真理想矛盾。

因为是一个强正则环，它遵循Azumaya（文献【1】，定理3）的结果，存在一个正整数和一个元素使得

和

如果是零次幂的，那么是一个零因子因此由文献【2】中的命题6可知，具有有限阶。假设不是零次幂的，那么可以得到

且，所以不是一个零因子。因此，由文献【2】中命题6可知，具有有限阶。

由于扭阿贝尔群是局部有限，我们很容易有以下从命题3.4得到以下命题：

命题3.5 假设是环，是交换群。如果是一个强正则环，那么是一个强正则环，是局部有限群。

文献：

1. Azumaya, G.: Strongly p-regular rings, J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. 13, 34–39 (1954).
2. Connell, I.G.: On the group ring, Canad. J. Math. 15, 650–685 (1963).
3. Dischinger, F.: Sur les anneaux fortement p-re acute;guliers, C.R. Acad. Sci. Paris, Se acute;ries A
283, 571–573 (1976).
4. Goodearl, K.R.: Von Neumann Regular Rings, Krieger Publishing Company, 2nd edi
tion, 1991.
5. Passman, D.S.: The Algebraic Structure of Group Rings, A Wiley-Interscience Publica
tion, John Wiley and Sons, New York, 1977.

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[31328]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word