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Toeplitz三对角矩阵：属性和新的应用

西尔维亚诺斯凯塞 廖内洛帕斯奎尼 洛萨赖歇尔

摘要:众所周知，Toeplitz三对角矩阵的特征值和特征向量是封闭的。论文的第一部分论述了这一属性在研究矩阵的谱的灵敏度的应用以及由此衍生的近似正规矩阵的结构距离的显式表达式、常态偏离和-伪谱的研究。论文的第二部分讨论了该理论在逆特征值问题、基于Krylov子空间基地的切比雪夫多项式的构造和Tikhonov正则化方面的应用。

关键词：特征值;条件;Toeplitz矩阵;矩阵拟合问题;常态的距离;逆特征值问题;Krylov 子空间基;Tikhonov正则化

1.简介

Toeplitz三对角矩阵和该类矩阵的低阶扰动应用广泛，包括普通和偏微分方程的解^{[12,15,37,41]} 、时间序列分析^[26]和正则化矩阵在解决Tikhonov正则化离散病态问题^[17,33]。因此，理解与计算相关的Toeplitz三对角矩阵的属性是十分重要的。

Toeplitz三对角矩阵的特征值真实复杂，且对矩阵的扰动十分敏感。通过显式公式计算Toeplitz三对角矩阵的特征值和特征向量,我们得到了阐明这种敏感性的显式表达式。利用托普利兹和三对角结构时,我们得到了计算常态距离、结构距离、常态的偏离和-伪谱,以及对单个和总体特征值条件的简单公式。这些量是我们对Toeplitz三对角矩阵的特征值的敏感性有一个全面的了解。特别是,我们表明,特征值的敏感度呈指数级增长，且该指数为次对角元和超对角线元的绝对值的比率；特征值的灵敏度独立于对角项和非对角线项的参数。常态距离还取决于次对角元和超对角线元绝对值之差。矩阵亲近问题已经得到极大的重视

矩阵近似问题已经受到了相当大的关注;例如文献^{[11,20,25,30,31]}，文献^[3,34,40]详细分析了带状的托普利兹矩阵的-伪谱。我们对三对角托普利兹矩阵的兴趣源于得到显式公式带来的巨大利益的可能性和这些矩阵的许多应用。

本文组织如下：2 - 6部分分析特征值灵敏度，并提供数字插画。本文后面的部分描述了一些新型应用。7部分，我们考虑一个逆特征值问题。我们还引入一个最小化问题,并用一个梯形三对角托普利兹矩阵来解决它。后者矩阵可以应用在Tikhonov正则化的正则矩阵。这个应用程序在8部分中描述。部分9是关于构建基于适当选择平移和缩放的切比雪夫多项式的递归公式的多非正交Krylov 子空间基。

在Krylov 子空间方法中使用这类基来求解大型线性系统的方程或计算几个大型矩阵的特征值，在不允许高效地执行Arnoldi过程来生成一组标准正交基的并行计算环境中是有吸引力的;如文献^[21,22,32]的讨论。我们描述如何应用三对角托普利兹矩阵确定一个合适的间隔，使平移和缩放的切比雪夫多项式是正交的。结束语可以在部分10找到。

Biswa Datta在其控制理论中已经研究了本文中的几个主题，其中包括逆特征值问题^[1,6,7,9]和Krylov 子空间方法^[8]。很高兴把这篇文章献给他。

我们通过引入在续集中使用的符号来结束本节。欧几里德向量标准以及相关的感应矩阵范数被表示为和，代表 Frobenius矩阵或向量标准。

基于Toeplitz三对角矩阵的的子空间

中正则矩阵的代数类

中有多个特征值的矩阵类

表1. 文中数集的定义

表1定义了数集。设矩阵，则Frobenius范数中常态距离定义为

⑴

例如，文献^{[13,19,20,24,30,38]}中关于对常态距离的结果和讨论。三对角Toeplitz矩阵：

⑵

表示为，我们令

⑶

矩阵是一个特例。

表示在Frobenius范数中到的结构距离，即

显然，，对一些矩阵，比大得多。例如，对于，当时；见[30,例9.1]。

对于，表示在Frobenius范数中的距离，即

2.特征值和特征向量

众所周知，的特征值为

⑷

参考文献^[37]，由⑶可得

⑸

特别的，如果，矩阵⑵有个位于封闭线段的简单特征值

⑹

特征值关于对称分布。

矩阵⑵的谱半径为

并且，如果非奇异，即对所有，，考虑式⑸，有

为奇数时，我们有。

当时，与特征值对应的右特征向量为

⑺

相对应的左特征向量

⑻

其中表示复共轭，表示转置，表示转置复共轭。

如果（或），那么矩阵⑵有几何重数为一的唯一特征值，

左和右特征向量分别是单位向量的第一和最后一列（或最后和第一列）。

注意，给定矩阵的维数，知道比例足够唯一确定矩阵的取决于比例因子的所有左右特征向量。

3常态距离和偏离

本节讨论Toeplitz三对角矩阵的常态距离和结构常态距离，以及常态偏离和结构偏离。

定理3.1 矩阵⑵是正规的当且仅当

⑼

证明 结论⑼等价于

上述定理表明一个正则的Toeplitz三对角矩阵可写成下列形式

， ⑽

其中，根据式⑸得到式⑽的特征值为

特别地，位于封闭线段的特征值

定理3.2 是的一个矩阵。存在唯一矩阵使最小，定义该矩阵

其中由式⑶给出

证明 根据定理3.1给出的条件，当时，为使最小，必有

其中代表的均值。另外，使得方程最小，最小值为。

推论3.1 标准Toeplitz三对角矩阵（趋近于）的特征值为

⑾

其中由式⑶给出。位于封闭线段的特征值

因为

故此线段包含式⑹中的线段当且仅当且的谱半径为

下面的结果为计算Toeplitz三对角矩阵的常态距离提供了一个简单方程。

定理 3.3 若，则有

⑿

证明 由定理3.2可得由

得证。

备注3.1 距离与无关，但是趋近于的标准矩阵依赖于。换句话说，只有不同的矩阵到代数簇的距离相同，但它们在上的投影是不同的。注意到和，有为

3.1 常态距离和常态偏差的关系

常态偏差

由Henrici引入用于测量矩阵的非正规性，可通过三角恒等式表示

⒀

又由式⑿得

由，

其中表示常态距离。由此得出

， ⒁

3.2的谱距离

下面我们将Toeplitz三对角矩阵和近似标准Toeplitz三对角矩阵的谱结合起来。

定理 3.4 记为的近似标准Toeplitz三对角矩阵，定义特征值向量

其中我们假定和的特征值按相同方式排列，那么

证明由式⑷和⑾可得

由定理⒀得证。

下面的结果可由定理3.3和3.4得到

定理3.5 令，通过定理3.3和3.4，可得

， ⒂

证明由定理3.3和3.4得

3.3标准化常态结构距离

我们首先考虑矩阵的，那么由定理3.3可以得出以下结论

当时，我们有

因此

而且，当比例或从0上升到1时，标准化常态结构距离由减少为。

当且仅当时；

当时，我们有

⒃

由备注3.1知，因此

当且仅当delta;= 0和T是双对角线达到上限。

3.4 标准化常态偏离和距离

它直接表明矩阵标准化常态偏离上限是1，标准常态距离上限是。而且，以下结果成立。

定理3.6 令，那么

证明 由式⒁和⒃不等式，为了得到等式，我们利用构造一个标准化距离为的标准（循环）矩阵，特别地，如果，且令

其中表示第j个轴矢量。如果，我们选择

4.到的距离和结构距离

矩阵是多重特性，即是正常的矩阵或双对角线矩阵，有几何重为1的唯一特征值，这就得出了下的结果。

定理4.1 对任何的，我们有

特别地，如果，那么，

进一步地，如果，那么

其中表示在Frobenius标准中的近似矩阵。

我们认为对任何，有下式成立

这表明的差距越大，在上的结构距离就越大。

引入比例

⒄

这一比例用于证明以下定理的证明，下面的定理表明了的标准化结构距离的联系。

定理4.2 ，当且仅当是正规的时上限达到。

证明 假设，那么

上式表明当比例⒄从1减少到0时，标准化结构距离从减少到0。当时证明类似。

本节结束，我们得出以下一些结论

5特征值灵敏度

我们有多种方法研究矩阵特征值的灵敏度，首先研究下面的向量对的扰动的灵敏度。

引入函数

对扰动的灵敏度取决于的雅可比行列式。由式⑷可得雅克比行列式

⒅

考虑式⒀得到

⒆

如果考虑和数据的相对误差，式⒅又等价于下面的矩阵

我们得到

注意5.1范数不依赖于，但范数取决于比值，当且仅当即矩阵是正态的时范数达到最小值，而当比值⒄减少时范数趋近于。

注意5.2 特征值对扰动的敏感度随其本值增加而增加。

定理5.1 令，那么

证明 如果，那么

由式⒆最后一个等式得

得证。

5.1单个特征值条件数

文献^[16,42,43]中讨论了单个特征值的条件数。当时，这些条件数可以由式⑺和⑻得到。正态的计算和三角恒等式

得到

因此，单个特征值条件数为

⒇

特别地当，矩阵是正规的时，由定理3.1和下式

得到

在一般情况下时，我们由式⒇可得

其中由式⒄定义为

直接计算得到

（21）

该值依赖于是否满足下面的边界条件

（22）

当时该值取最大值，这里表示小于等于的最大整数。谱特征值在中间是最糟糕的情况。而且，当时，随着呈指数级增长。进一步地，当时，，而时。由后者，我们估计

5.2 总体特征值条件数

总体特征值条件数

它的属性在文献^[39]中有讨论，它可以通过求和单个条件数来估计，但我们想要确定一个简单明确的近似值，由式（21）和（22），我们得到，对于任意可对角化矩阵，有，边界

其中

， （23）

由公式⒄给出。

5.3 -伪谱

对于给定的，的-伪谱是集合

例如参考文献^[40]。部分7将采用下面的可替代定义

（24）

向量即为缩定义的-伪谱特征向量。

向量的-伪谱的特征向量近似于Toeplitz运算符的谱，当↘0，时^[34,40]，引入矩阵的符号

那么椭圆

， （25）

就是的谱边界，的长轴为

， （26）

的焦点之间的间隔由下式给出

， （27）

根据式（6），对每个有限的，的谱位于焦点的区间内，没有更小的区间有这种属性。而且，由式（11），近似于的正态矩阵的谱位于区间式（26）中。

5.4结构化扰动

令，并考虑三对角矩阵的微扰，对，我们得到一簇拥有简单特征值的可对角化矩阵，当↗1时矩阵收敛于亏损矩阵，后者矩阵有几何重数唯一的唯一特征值，因此，结构化扰动

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