二维自身映射下的自反模和环外文翻译资料

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二维自身映射下的自反模和环

Mitsuo Hoshino

设是一个左（右）诺特环，一个有限生成的左诺特环的模是，当时，。那么是否是自反的？在广义的nakayama引理中，这是一个重要的观点。参考Auslander and Reiten[2]。

在这篇文章中，我们的问题是，若每个有限生成的左诺特环是,它的模是，且满足当时，。则是自反的。我们主要的目的是证明：如果是一个左（右）诺特环，若当且仅当一个有限生成的左诺特环的模遵循以下几个等价条件：（1）是自反的（2）左诺特环的模有投射，它满足；（3）当时，。我们还要证明：如果是一个可交换诺特环，若它是一个维数大于2的Gorenstein环当且仅当全部关于的商环也是一个Gorenstein环，并且当时，，每个有限生成的的模是自反的。

如果代表一个可以证明该性质的环，且的模全都是单位模，那么该环会满足什么条件？我们通过表示这个的二重函数，对于一个模，我们通过来表示这个一般的估计图。重新定义一个模是半自反，如果是一个单的，并且如果是还一个同构，那么它将是自反的。如果满足且是有限生成的投射，那么这个模可以有限表现。记如果R是左诺特环那么每个有限生成左模是有限表现。

1.预处理

在这个部分，我们会准备几条需要用到的引理。

引理1.1。以下的条件等价：

1. 当时，若满足，则每个有限表现的左模是自反的。
2. 对于任意有限表现的自反右模，满足当时，。

证明：设是一个左模，满足一个有限表示和。我们有一个有限表示有。固定这些记号。参考Auslander [1, Proposition6.3]，和，相似的有，和。

(1) (2)。假定是自反的。当时，若满足，则是自反的，因此当时，。

(2)(1)假定当时，。N是自反的并且Extⁱ_R（N,R）=0当i=1，2。因此M是自反的。

引理1.2.设是左诺特环。假定。当满足时，则每个有限生成左模都是自反的。

证明：设是一个有限表现自反右模。记为有限表现。满足有限表示。应用，我们得到一个正合列其中投设。由于，所以当时，。通过引理1.1我们可以得出。

引理1.3。对于一个模，是自反的当且仅当也是自反的。

证明：对于任意模，记(see e.g. Jans [4]).

充分性：因为如果是一个同构，因此也是同构。

必要性：记因为，我们可以得到。应用我们得到。因此，这说明。从而，并且由于它是单的，所以是自反的。

引理1.4设是左右诺特环的。以下是等价的：

（1）一个二重有限生成左模是自反的。

（2）一个二重有限生成右模是自反的。

证明（1）（2）设是一个有限生成的右模，因为是有限生成，是自反的，因此通过引理1.3，可得是自反的。

（2）（1）同理也可证明。

自反的模和环有两维的自身单射

2.主要结论

首先，我们解决问题：是交换的。

命题2.1设是交换的诺特环。是一个维数最大为2的Gorenstein环当且仅当全部的商环都是Gorenstein环并且每个有限生成的模都是自反的，且满足当时，。

证明：充分性：这前面的主张是很出名的(see e.g.Bass [3])。这后面的主张来自引理1.2。

必要性：设是一个满足有限表示和的模。，By参考Bass [3, Proposition 6.1]，得是自反的。因此，通过引理1.1我们得到。从而得到。

为了证明主要理论，我们需要一个更补充性的结论。

命题2.2。设是左(右)诺特环。假定。当且仅当每个有限生成左模是自反的，且满足当时，。

证明：充分性：通过引理1.2.

必要性：我们需要证明。设是满足有限表示和的右模。通过，我们得到一个正合列，其中是投射。因此当时，并且是自反的。从而一个二重有限生成右模是自反的，通过引理1.4知是自反的。通过引理1.1我们有。因为，我们得到，因此，参考Zaks [5, Lemma A]，我们可以得到。

我们现在有一个新方式去证明主要理论。

定理2.3.设是左（右）noethrian。当且仅当一个有限生成左模满足以下等价条件：

(1)是自反的

(2)有一个正合列其中是投射。

(3)当时，。

证明，充分性：通过命题2.2，（3）（1）。也有暗示（2）（3）。最后，通过应用对一个有限表示，我们得到（1）（2）.

必要性，因为（2）（3），我们得到。因此，通过命题2.2（3）（1）暗示0。

我们最后做出如下结论：

评价：在命题2.1，全部环是商环满足必要条件是一个Gorenstein环。设，这里是一个域。若R不是一个Gorenstein环，反之因为当时，是自由的，所以每个有限生成的模是自反的。在另一方面，通过对引理1.1的轻微修改，能很容易证明如果是右诺特环的则当且仅当每个满足的有限生成左模是单的。

References

1. Auslander, M., Coherent functors, in: Proceedings of the conference on categorical algebra, Springer, Berlin, 1966, pp. 189-231.
2. Auslander, M. and Reiten, I., On a generalized version of the Nakayama conjecture, Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 69-74.
3. Bass, H., On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Z. 82 (1963), 8-28.
4. Jans, J.P., Duality in noetherian rings, Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1961), 825835.

[5] Zaks, A., Injective dimension of semiprimary rings, J. Algebra 13 (1969) 73-86.

Institute of Mathematics

University of Tsukuba

Ibaraki, 305

Japan

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