山路引理的延申外文翻译资料

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山路引理的延申

Lizhou Wanglowast;, Dongsheng Li

数学系，科学学院，西安交通大学，西安 710049，中国

摘要：我们呈现了山路引理的更普遍的形式。它断言，当某个水平集的连通性改变时，满足Palais–Smale条件的泛函存在一个临界值。我们还提出了一个在 [A. Bahri, H. Berestycki, A perturbation method in critical point theory and applications, Trans. Amer. Math. Soc. 267 (1) (1981) 1–32]中给出的定理的改进形式，它通过水平集的收缩性来描述临界值的存在。

关键词：山路引理，Palais–Smale条件，连通性，收缩性，水平集

1 引言与主要结果

山路引理是非线性问题的现代变分方法中最基本的定理之一。它允许几种变体和延拓。对于这方面，我们请读者参考调查报告[2–4]和专著[5]以及其中的参考文献。在本篇文章中，我们提出了一种更一般的山路引理形式，它通过改变一个基本拓扑性质——某些水平集的连通性来表示临界值的存在性。我们还希望指出[1]中一个定理的改进形式，它通过考虑另一个拓扑性质——水平集的收缩性来描述临界值的存在性。

首先，我们引入一些符号。设为一个Banach空间。我们用表示以为中心，半径的开球，为其闭包，为其边界。令。我们引入水平集

我们说满足Palais–Smale条件(今后记作（PS))，如果任何序列对有界且当时拥有收敛的子序列。山路引理如下

定理1 设为一个Banach空间且。假设满足(PS)并且存在此时

();

().

接着，我们得到一个临界值表示为

其中

.

在这部分中，我们将证明以下的山路引理的更一般形式：

定理2 设为一个Banach空间且。假设满足(PS)且存在此时

()位于不同的分量中；

()位于相同的分量中；

接着，我们得到中的一个临界值，可以表示为

.

粗略地讲，定理2断定泛函满足某一紧凑性条件，当水平集的连通性改变时假定一个临界值。假定满足定理1中的条件。集合

，.

接着，()()表明且位于的不同分量中。显然由定义可知，位于的同一分量。因此，由定理2，有一个临界值。这一现象表面定理2是山路引理的一个更普遍形式。

注意到Banach空间自身是连通的，我们可以得到定理2的一个简单推论。

推论 设为一个Banach空间且 假设满足(PS)并且存在，此时

()位于不同的分量中。

接着，有一个位于区间的临界值，可以表示为

。

我们将在第二部分中证明定理2，证明中最关键的步骤是下面的引理：

引理 设为一个Banach空间且。假设满足(PS)且在没有临界值。此时，是的一个限制集。

这个引理在[1]中在更严格的条件下得到证明。因此这是对[1]中相应结果的改进。因此，我们也可以在一定程度上改进[1]中的另一个结论，它通过研究水平集的收缩性来识别泛函的临界值。事实上，[1]中证明了下列定理3的两种较弱形式，他们或假设较强的条件去得到与定理3相同的结论，或假设较弱的结论。

定理3 设为一个Banach空间且。假设满足(PS)且存在此时

()不能收缩到自身的某一点；

()收缩到中的一点。

接着，在区间中拥有一个临界值，可以被表示为

。

注释 (i)上述定理，推论和引理中的光滑假设可能被削弱。例如，在定理2中，我们可能会假设对一些，。

(ii)上述结果中的(PS)可以被替换为下列局部形式：满足(PS)如果有序列满足对于，有并且当是预紧的时，。

(iii)这项工作的结论适用于更普遍的情况。例如，泛函可以被定义在一个巴拿赫流形上，或者更一般地，定义在一个完全连通的芬斯勒流形[2,4]上。

2 结果的证明

在这部分里，我们证明第一部分的结论。首先，我们证明这个引理；接着我们利用它去证明定理2与定理3。

引理的证明 为了证明这个引理，我们需首先建立一个映射，使得

。

这将会分两步实现。首先，我们建立伪梯度流。接着，利用这个伪梯度流，我们建立所需映射。

伪梯度流将被构造为常微分方程的解。通过(PS)人们可以证明存在使得在上没有临界值。存在一个Lipschitz联系映射使得

，若

，若

，若。

我们可以在上建立一个伪梯度适量场使之局部Lipschitz连续并且满足

(2.1)

(2.2)

注意到(2.2)表明

（2.3）

接着定义若与。最后我们设定对于，。接着通过构造，在上局部Lipschitz连续且。

现在我们可以定义映射。考虑以下柯西问题

可以证明它有解(更多详细证明见[2])。

接着我们探索伪梯度流的性质。由定义，

(2.4)

并且当时不等式严格成立。因此对于变量t不是增函数，并且对严格递减。由(PS)知，存在使得

(2.5)

如果，若则所以。我们声称若则存在唯一的使得。事实上，若并且对于所有，，接着有

(2.6)

其中我们连续使用了(2.2),(2.3)和(2.5)。显然,(2.6)不支持大的变量。因此，对于每一个有，存在使得。因此由我们可以总结出存在唯一的使。事实上，是下列等式的唯一解

根据隐函数定理，我们可以看出。不等式(2.6)还表明

因此，随着，。

设函数

上述关于的论点表明，且由定义。因此，是所求的收缩。证明完成。

定理2的证明 我们用反证法来证明。假设不是的一个临界值。我们将得到一个矛盾。

显然，。首先我们声称。由(PS)，存在使在上没有临界值。根据的定义，存在使得位于的同一分量上，我们说。因此，且不连通。利用引理，我们得到使得。令。接着并且是连通的。这表明位于的同一分量中。因此，由()知。

由(PS)，存在另一个使得在上没有临界值。由于已得出我们可以假设。再次利用引理，我们得到使对于，。令。接着，，并且是连通的。这表明位于的相同分量上，这与的定义相矛盾。因此，我们得出必须是的一个临界值。

定理3的证明 首先，注意到若可以收缩到中的一点并且是的一个收缩，那么也可以收缩到中的一点。接着，定理3可以用与定理2的证明相同的方式来证明。在此我们略去这些证明。

参考文献

1. A. Bahri, H. Berestycki, A perturbation method in critical point theory and applications, Trans. Amer. Math. Soc. 267 (1) (1981) 1–32.
2. I. Ekeland, N. Ghoussoub, Selected new aspects of the calculus of variations in the large, Bull. A.M.S. 39 (2) (2002) 207–265.
3. L. Nirenberg, Variational methods in nonlinear problems, in: Lecture Notes in Mathematics, vol. 1365, Springer-Verlag, 1989, pp. 100–119.
4. P.H. Rabinowitz, Minmax methods in critical point theory with applications to differential equations, in: C.B.M.S., vol. 65, A.M.S., 1986.
5. M. Struwe, Variational Methods and their Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer-Verlag, 1990.

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