一个超几何级数求和外文翻译资料

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一个超几何级数求和

Chenying Wang,Jingjing Dai, Istvaacute;n Mező

SchoolofMathematicsamp;Statistics,NanjingUniversityofInformationScienceamp;Technology,Nanjing,Peoplersquo;s RepublicofChina

摘要：Gosper推算出了一个非终止型的级数求和等式，随后Gasper和Rahman对其加以了证明,他们也得到类似的另一个级数求和等式.，我们将运用经修改后Abel部分和定理证明一个新的超几何级数求和公式.这个公式是经Chu运用反演技术和Abel部分和定理所得到的级数求和等式扩展而得到的.

关键词：广义超几何级数,一个新的超几何级数求和公式,级数求和公式,Abel部分求和定理

1.绪论与研究动机

根据Bailey [1]和Slater[2]的文献,关于变量的单边广义超几何级数显然可以表达为

此时,升阶乘定义如下

,

其中,由欧拉积分,函数[3,p.3]的定义如下

.

对于所有复数,函数可以表示为

. (1.1)

为了阐述方便,我们将升阶乘的分式和-函数的分式用以下记号标记

1977年,R.Askey在给R.Gosper[4]的一封信中列出了一些不含证明的”神秘等式”,所有等式的终止型都被Gessel和Stanton[5]证明了, 除了下面这个等式(cf.[5,Eq.(6.1)])

(1.2)

这个恒等式的终止型后来被Zeilberger[6]通过WZ方法、Chu[7, Eq.(5.2e)]通过反演技术证明.而Gasper和Rahman把这个恒等式的非终止型扩展为了一个级数转换[8,Eq.(1.8)],他们也得到了另一个非终止型级数转换[8,Eq.(4.6)],这个等式和(1.2)类似,可以表达为如下这个”奇怪”等式[8,Eq.(4.7)]

(1.3)

在文献[9]和[10]中,作者们分别指出了上述两个等式(1.2)和(1.3)概括了下面这两个级数和等式

,

,

最近,Chu计算得出了一个新的级数和等式.

引理1.1(一个超几何级数和公式)

.

我们会不禁的问,扩展这个级数,是否存在对应的级数？而我们这篇论文的目的就是去给出这个问题的肯定答案.为此,我们回想一下修改过后用于部分求和的Abel引理(cf. [12–16]).给定一个复序列,分别定义前后差分算子为和,将它们分别记为

和 ,

这里的 与只用于减法运算的普通算子不同.

引理1.2(Abel部分和定理) 令与为两个序列,那么有以下极限

.

然后当与收敛时有转换公式

.

证明 根据向后差分的定义,我们有

,

将最终的和中的替换为,我们得到以下等式

令,则等式成立,定理得证.

2.一个新的超几何级数求和

本节我们来证明一个与(1.2)(1.3)不同的超几何级数求和等式.

定理2.1(一个新的超几何级数求和公式)对于满足收敛条件：

的任意三个复数,,, 有

证明 对于定义如下的函数

,

取

,

,

容易计算

,

由此，不难得出以下等式

,

根据(1.1),我们知道

因此,当时,,.借助引理1.2,我们可以推出以下的序列

很明显,最终的和可以写作

.

我们能发现以下递归关系

,

重复这种关系次,我们能得到序列的转换

. (2.1)

鉴于和以下极限关系

,

令,则我们能由(2.1)推出非终止型变换

(2.2)

注意到(2.2)中所列出的级数和,我们可以根据引理1进行如下赋值

,

综上,定理得证.

推论2.1(Chu[7, Eq. 4.5d])

参考文献

[1] Bailey WN. Generalized hypergeometric series. Cambridge: Cambridge University Press; 1935.

[2] Slater LJ. Generalized hypergeometric functions. Cambridge: Cambridge University Press;

1966.

[3] Andrews GE, Askey R, Roy R. Special functions. Cambridge: Cambridge University Press;

2000.

[4] Gosper RWm. Private Communication to Richard Askey; Dec. 25 1977.

[5] Gessel I, Stanton D. Strange evaluations of hypergeometric series. SIAM J Math Anal.

1982;13:295–308.

[6] Ekhad SB. A short proof of a lsquo;strangersquo; combinatorial identity conjectured by Gosper. Discrete

Math. 1991;90(3):319–320.

[7] Chu W. Inversion techniques and combinatorial identity – A unified treatment for the 7F6-

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[8] Gasper G, Rahman M. An indefinite bibasic summation formula and some quadratic, cubic

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[9] Wang C, Chen X. A short proof for Gosperrsquo;s 7F6-series conjecture. J Math Anal Appl.

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[10] Wang C, Chen X. New proof for a nonterminating cubic hypergeometric series identity of

Gasper–Rahman. J Nanjing Univ Math Biquarterly. 2015;32:38–45.

[11] Chu W. Evaluation of nonterminating 3F2( 3

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[12] Chu W, Wang X. Abelrsquo;s method on summation by parts and hypergeometric contiguous

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[13] Chu W, Wang X. The modified Abel lemma on summation by parts and terminating hypergeometric series identities. Integr Transf Spec F. 2009;20(2):93–118.

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[15] Wang C, Wang X. New transformation formulae of quadratic 7F6-series. Filomat. 2014;28(2):

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