基于Chen系统的分数阶超混沌系统的分析与电路实现外文翻译资料

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基于Chen系统的分数阶超混沌系统的分析与电路实现

贾红艳，郭志强，王善峰，王锐

摘要：本文首先讨论了一个新报道的分数阶超混沌系统，它是基于Chen系统的。通过研究李雅普诺夫指数图、分岔图和相轨道图，观察了其动态特性。在此基础上，讨论了一种基于分数阶超混沌系统的新系统，并设计了模拟电路对该系统的数值结果进行了验证。实验结果表明，当系统阶数低至3.6时，新的分数阶系统可以产生超混沌。

关键词：分数阶；超混沌系统；李雅普诺夫指数；分叉模拟电路。

1 导言

分数微积分是研究和应用任意阶积分和导数的数学分析领域^[1]混沌是非线性动力学系统的一种特殊运动形式，在过去的几十年里得到了广泛的研究^[2]由于混沌现象在大量分数阶系统中被发现^[3]-[5]对于分数阶混沌的研究引起了人们越来越多的兴趣^[6],[7]许多新的分数阶混沌系统逐渐被提出^[8],[9].一般来说，超混沌系统的动态特性比混沌系统更复杂。因此，分数阶超混沌系统在安全通信中是合适和可靠的^[10]。最近，一些分数阶超混沌系统被提出和研究，如分数阶超混沌Rouml;ssler系统^[11]，分数阶超混沌Chen系统^[12]，分数阶超混沌吕系统^[13]，等等^[14]，[15]。

目前对分数阶超混沌系统的研究主要集中在系统的同步和动态特性等方面^[16],[17].但是，这些论文没有给出分数阶超混沌系统的李雅普诺夫指数图和分岔图，由于电子元件在真实电路中的易变性，很少给出电路实现来支持数值模拟的结果^[18].此外，分数阶系统要比整数阶系统复杂得多，用模拟电路来实现。因此，为了将分数阶系统中的某些超混沌系统物理化并应用到实际工程中，设计硬件电路来实现它们是非常必要和有意义的。

本文首先对分数阶超混沌Chen系统进行了讨论和分析。在此基础上，进一步分析了一种新的分数阶超混沌系统，并给出了相轨道图、李雅普诺夫指数图和分岔图，通过数值模拟验证了系统的混沌特性。最后，设计了一个模拟电路来实现该系统，最后给出了示波器观察到的一些电路结果，从物理的角度展示了分数阶系统中的高次系统。

2 分数阶超混沌CHEN系统

最近，一个分数阶超混沌Chen系统被报道如下^[19]:

其中a、b、c、d和cisin;r是系统的常数参数（1）,alpha;、beta;、x和delta;表示分数阶。在[19]中研究了分数阶超混沌陈系统的动力学行为和同步性。当a=35，b=3，c=21，d=7，e=0.3，alpha;=beta;=x=delta;=0.9时，可以观察到分数阶系统（1）的混沌吸引子，如图1所示。然而，很遗憾^[19]中没有报道分岔和Lyapunov指数，这主要是显示超混沌动力学的数值证明。因此，为了进一步揭示分数阶系统（1）的超混沌特性，我们将给出相应的分岔和李雅普诺夫指数。此外，本文还将介绍一个模拟电路，它将显示超混沌的物理动力学。

图1 超混沌系统的相图（1）：

a=35，b=3，c=21，d=7，e=0.3：（a）x-z平面上的吸引子；（b）x-y-z平面上的吸引子。

现在，固定a=35，b=3，d=7，e=0.3，和变参数c，分岔图和Lyapunov指数图分别如图2（a）和图2（b）所示。当参数cisin;[18,25]时，得到系统（1）的两个正李雅普诺夫指数，表明系统（1）中确实存在超混沌动力学。

图2 分岔图和李亚普诺夫指数图，

固定a=35，b=3，d=7，e=0.3，并且改变c：（a）分岔图，（b）李亚普诺夫指数图。

3 无水平分数阶超混沌系统

基于分数阶超混沌陈系统，通过改变系统参数，得到了一个新的系统。将呈现不同的动态特性，新系统的描述如下：

其中，0lt;alpha;=beta;=x=delta;lt;1，表示分数阶，a、b、c、d、e是系统的risin;R常数参数（2）。当改变它们时，可能会发现一些不同的混沌行为。

一般来说，正李雅普诺夫指数是反映系统混沌行为的一个重要特征，当它有两个正李雅普诺夫指数时，系统呈现超混沌状态。因此，在确定参数a=35、b=3、d=7、e=0.3、r=0.1和变量c时，系统（2）的李雅普诺夫指数图和分岔图分别如图3（a）和（b）所示。从图3可以看出，系统可以呈现cisin;[25,34]，这里不再讨论a、b、d、e和r的变化情况。

图3当固定a=35，b=3，d=7，e=0.3，r=0.1，并改变c时，

Lyapunov指数和分叉图：（a）分叉图，（b）Lyapunov指数图。

发现系统（2）在a=35，b=3，d=7，e=0.3，r=0.1时具有混沌行为，系统（2）的混沌吸引子如图4（a）所示。当c=26时，超混沌吸引子如图4（b）所示。分析表明，分数阶为0.9时，系统（2）中存在超混沌行为。

图4 分数阶超混沌系统的吸引子，当固定a=35，b=3，d=7，e=0.3，r=0.1，改变c时：

（a）c=18，x-z平面上的混沌吸引子，（b）c=18，y-z平面上的混沌吸引子

（c）c=26，x-z平面上的超混沌吸引子，（d）c=26，y-z平面上的超混沌吸引子。

4 新型分数阶超混沌系统的电路实现

本文采用从时域到频域的近似转换方法，设计了一种新系统（2）的电路。根据波德图，1/的近似值与偏差2db的关系如下：

在这里，单元电路可用于实现1/单元，如图5所示。

图5 电路单位为1/

首先，采用图5所示的电路单元设计了分数阶超混沌系统（2）的模拟电路，如图6所示。

图6 模拟电路的系统（2）

在模拟电路的基本器件，包括电阻器，电容，LF347BN放大器、模拟乘法器AD633（输出增益为0.1），每个电子元件的公差设计为5%，系统模拟电路的参数为: :, 当系统（2）显示超混沌时。在这里，通过改变可变电阻，系统（2）的状态可以在混沌和超混沌之间转换。

在multisim 13.0中，对模拟电路进行了设计和仿真，仿真结果的相图如图7所示。为了进一步验证仿真结果，构建了硬件电路，电路实现结果如图7所示：

而图8，模拟电路的仿真结果与电路实现结果基本相似：

图7.模拟电路的模拟结果：（a）c=18混沌吸引子z平面，（b）c=26超混沌吸引子x-z平面。

图8所示电路在示波器中的实现结果如下:

(a)c=18，混沌吸引子在x-z平面，(b)c=18混沌吸引子在y-z平面，

(c)c=26，超混沌吸引子在x-z平面，(d)c=26，超混沌吸引子在y-z平面。

5 结论

本文在分数阶超混沌Chen系统的基础上，提出了一种新的分数阶超混沌系统。通过数值模拟，给出了系统的相位轨道图、李雅普诺夫指数图和分岔图，验证了系统的混沌特性。此外，设计了一个模拟电路来实现该系统，最后给出了用示波器观察到的一些电路结果，从物理学的角度表明，当系统的阶数低至3.6时，新型分数阶系统可以产生超混沌。

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