傅里叶变换及其快速算法外文翻译资料

英语原文共 9 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

关于方程

Sakarya University,Mathematics Deparment,Sakary,Turkey

Recevied 25 Februray 2016;accepted 11 June 2016

Available online 30 June 2016

摘要：设且为整数并且表示第二类卢卡斯数列，定义并且当。在本研究中，当是奇数且 ，我们解出。我们证明只有可以是 的形式并且只有 或V₂可以是的形式。

关键字: 第二类卢卡斯序列; 一致性;丢番图方程

1. 介绍

设且为整数并且表示第二类卢卡斯数列定义为并且当 。

在[1], 作者证明当且时，等式只有个有限解。在[5]， Keskin证明在条件下等式和 当是奇数时成立。在[4]，当是奇数时， Karaatl和Keskin证明等式和 。在本文中，当是奇数，我们证明在时成立。我们证明只有可以是的形式并且只有或可以是的形式。在这次研究中我们将使用雅各比符号。我们的证明方法和Cohn, Ribenboim和McDaniel分别在[3]和[6,7]中用到的方法类似。

下列定理已经在[8]证明。

定理 2.1 让 且。那么

2.1)

如果 当为奇数, 那么由(2.1)可得

(2.2)

当是奇数， 一个数学归纳可得到

且 (2.3)

并且对于每个. (2.4)

更多的，如果是奇数且，那么 并且

(2.5)

对于有如果P是奇数且，则且

(2.6)

对于所有。定理(2.5)和(2.6)显示对于所有。 (2.7)

当是奇数，我们有对于所有。 (2.8)

如果是奇数，那么并且由此

对于每个 (2.9)

当P是奇数，我们有

(2.10)

并且 (2.11)

对于所有。

现在我们给出了一些关于卢卡斯数列项的恒等式。

当，我们有

(2.13)

当 ,通过使用归纳法，可得

(2.14)

下列引理可由定理2.1给出

引理 1. 如果n是个正整数那么当n为奇数时，且

1. 主要定理

从现在开始, 我们假定 n是正整数并且 P 是一个奇正整数。

定理3.1 让，如果对于一些正整数，那么.

证明.假设n为偶数，那么由(2.12)可得，且因此。因此。如果，那么分别为3 (mod 5)或 3 (mod 7)。而这是不可能的，所以由引理1

因此可得 。让 . 那么从 可知,因此可由(2.5)得知，如果，则=0并且我们得出 (3.1)

现在我们把证明分为三类。

第一种情况：假设那么5|w且当(w,p)=1时w不|P。更多的在此情况我们有如果P ² equiv; minus;1(mod 5)，那么由(2.13)得由于可知这是不可能的。假设，并且ngt;1，那么对于且为正整数.因此当a为奇数且。由(2.2)

这表示

说明

，由(2.4)和(2.8)化简得

但分别由(2.3)(2.10(3.1)得，这否定了。

第二种情况：假设，那么，且，如果，4(mod7)，那么由(2.14)(2.15)可得，由于所以这是不可能的。现在假设且，那么，，当为奇数且.因此由(2.2)

,

易得

所以由(2.4(2.8)

但分别由(2.3)(2.11)(3.1)得,这否定了.

第三种情况：假设，那么因为，，所以，更多的,所以，。如果，那么分别由(2.14)(2.15)，由于所以这是不可能的，如果，那么由(2.13)可得，由于所以这也是不可能的，所以P ² equiv; 1(mod 7)，让,那么对于且q为正整数.因此当a为奇数且

这表示

说明

，由(2.4)和(2.8)化简得

但分别由(2.3)(2.10(3.1)得,所以n=1。

定理3.2：如果对于一些正整数，那么或

证明：如果对于，我们有

，那么，但是整数指向可以用MAGMA轻松定位这表明当然是不可能的，因此,让为奇数且，那么由引理1可知P|，所以。 (3.2)

现在我们把证明分为三类。

第一种情况：假设那么且 ,由引理1可得如果5|P，那么由引理1可得，由于,，所以这是不可能的，如果，那么由(2.13)，是不可能的因为。假设，让且为奇数，由引理1可知P|，因此可见,因为是奇数，所以对于为正整数的,.因此当为奇数且.由(2.2)

这表明

由(2.4)(2.8)

分别由(2.3)(3.2)(2.10)可知这是不可能的，现在让且为偶数，那么对于的或 但是, 这已经在证明开头说明. 那么 。所以 对于为奇数且.那么由(2.2)说明

说明

=

，由(2.3)(2.10)(2.7)知所以这是不可能的。

第二种情况：Then 7|w and so I如果，那么V_nequiv;0，2(mod P)，又因为由于引理1，因为所以这是不可能的，因此，如果，那么因为 ，现在假设，让且为奇数那么对于且为正整数.因此当为奇数且

由于(2.2). 这表明

说明

=

分别由(2.3)(2.11))(2.7)

第三种情况：假设那么因为，，所以，由于引理1可知，7，如果2, 4(mod 7)，那么由(2.14)(2.15)。由于所以这是不可能的，如果，那么由(2.13)由于所以也是不可能的，所以,让,那么对于且为正整数.因此当为奇数且,那么由(2.2)

说明

=

由(2.4)(2.9)

分别由(2.3)(2.11)(2.10)(2.7)可知这是不可能的，所以综上得或。

REFERENCES

[1]M.A. Alekseyev, S. Tengely, On integral points on biquadratic curves and near-multiples of squares in Lucas sequences, J. Integer Seq. 17 (6) (2014) Article 14.6.6.

[2]W. Bosma, J. Cannon, C. Playoust, The MAGMA algebra system. I: The user language, J. Symbolic Comput. 24 (3–4) (1997) 235–265.

[3]J.H.E. Cohn, Squares in some recurrent sequences, Pacific J. Math. 41 (1972) 631–646.

[4]O. Karaatlı, R. Keskin, Generalized Lucas numbers of the form 5kx2 and 7kx2, Bull. Korean Math. Soc. 52 (5) (2015) 1467–1480.

[5]R. Keskin, Generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form wx2 and wx2 plusmn; 1, Bulletin of the Korean Mathematical Society 51 (2014) 1041–1054.

[6]P. Ribenboim, W.L. McDaniel, The square terms in Lucas sequences, Journal of Number Theory 58 (1996) 104–123.

[7]P. Ribenboim, W.L. McDaniel, On Lucas sequence terms of the form kx2, in: Number Theory: Proceedings of the Turku Symposium on Number Theory in Memory of Kustaa Inkeri (Turku, 1999), de Gruyter, Berlin, 2001, pp. 293–303.

[8]Z. Scedil;iar, R. Keskin, Some new identities concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers, Hacet. J. Math. Stat. 42 (3) (2013) 211–222.

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[20088]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word