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比特币收益的贝叶斯变化点分析

摘要：本文研究了比特币平均收益率和波动率存在结构性断裂。我们利用贝叶斯变化点模型来检测结构断裂，并将时间序列分割成若干段。我们发现，比特币平均回报率和波动率的结构性突破非常频繁。通过将具有相似性质的部分合并到制度中，我们确定了几个具有正平均回报的制度和一个具有负平均回报的制度。在不同的制度中，较高的波动性与较高的平均回报率有关，但最不稳定的制度除外，后者是唯一一个平均回报率为负的制度。

关键词：比特币；返回；波动率；制度；贝叶斯变化点模型

1 介绍

比特币是第一个也是最流行的去中心化开源加密货币。无论是在媒体报道方面还是在市场价值方面，它的受欢迎程度都在急剧上升。截至2017年12月11日，比特币市值超过2800亿美元。比特币和私人数字货币的总体经济概况可在例如Dwyer（2015）中找到。

近年来，比特币从金融学的角度得到了广泛的研究。Ciaian等人（2016）研究比特币价格形成的经济学，发现市场力量和比特币吸引力对比特币价格有显著影响。Bouri等人（2017a）得出结论，比特币价格对不确定性做出积极反应。Urquhart（2016）、Bariviera（2017）、Nadarajah和Chu（2017）以及Tiwari等人（2018）发现比特币市场具有信息效率，尤其是近期。然而，Jiang等人（2017）得出了相反的结论。Feng等人（2017）寻找比特币市场知情交易的证据。研究比特币是否应主要视为货币或投机资产，主要同意比特币市场具有高度投机性（Baek和Elbeck，2015年；Cheah和Fry，2015年；Kristoufek，2015年；Dyrberg，2016年；Blau，2017年；Corbet等人，2017年）。

对于考虑是否将比特币纳入其投资组合的投资者来说，了解比特币的风险回报特征及其与其他资产的相关性是非常重要的。文献中记载比特币与其他金融资产在很大程度上不相关（Bouri等人，2017c；2017b；Baur等人，2018）。

平均回报率和波动率通常是根据历史数据估计的。由于比特币市场经历了快速的变化，了解比特币的平均回报率和波动率是否随时间而保持不变是很重要的，如果它们持续变化，会发生多久。平均收益和波动性是不可数分析类型所必需的输入，投资组合优化可能是最重要的。因此，了解这些参数的稳定性对于分析比特币作为金融资产至关重要。我们利用贝叶斯变化点（BCP）分析来调查比特币收益分配中存在的不同部分，这些部分可以彼此独立，并且不限于预先指定的数字。这样就可以不受限制地查看比特币价格的预期回报和波动的动态。我们发现有许多细分市场，即比特币收益的分布经常发生变化。

图1 价格指数和比特币收益率

在金融市场，较高的平均回报率通常是承担较高风险的回报。我们调查这种关系是否也适用于比特币。为了容易看出较高的波动性是否与较高的预期回报相关，我们将具有类似统计特性的部门合并到制度中。我们找到七个政权。平均而言，波动性与这些制度下比特币的平均回报率之间存在正相关。低波动率制度与较低（但仍为正）的平均回报率相关，而高波动率制度与较高的平均回报率相关。然而，我们也记录了最不稳定的制度的存在，这是唯一与负平均回报相关的制度。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍数据，第3节介绍方法，第4节介绍结果，第5节总结。

2 数据

我们从比特币市场（Bitstamp Marketplace）获得比特币价格，该市场是最大的比特币交易所之一（Brandvold等人，2015年）。时间序列的跨度为2011年9月至2017年8月，每天观测2170次。我们将比特币价格的回报率计算为两个连续价格比率的对数。图1显示了价格指数以及日志返回。

表1给出了每日比特币收益的描述性统计数据。平均值和中位数均为正，分别为0.41%和0.22%。比特币日收益标准差为4.90%，高于大部分金融资产。降价幅度最大的是minus;48.52%，涨幅最大的是40.14%。偏态和峰度进一步将回归分布描述为近乎对称但高度轻率的。

图1中的返回图和汇总统计数据表明，比特币返回序列可以通过具有极端事件周期的对称分布进行建模。在下一节中，我们将描述一个模型，该模型能够将一个时间序列划分为若干段，其中返回值独立于任何其他段，并遵循正态分布。

3 方法——贝叶斯变化点模型

假设T比特币返回的单变量时间序列表示为r_1:T=（r₁，hellip;，r_T）。我们可以将该时间序列划分为m 1段，除以位置tau;_1:m=（tau;₁，hellip;，tau;_m）处的变化点，并设置tau;₀=0和tau;_{m 1}=t。在每个段i内，假定返回数据r_i=r_tau;i-1：tau;_i遵循具有段特定参数（mu;_i，sigma;_i²）的正态分布。以变化点和分段特定参数为条件，数据是独立的、相同分布的（IID）。为了推断未知数字和变更点位置以及特定于段的参数，我们进行如下操作（Fearnhead，2006年）。

首先，我们引入一个先验函数，通过先验函数间接地得到每个段长度上的变化点的个数和位置。特别是，我们使用几何分布对段长进行建模：

表1 每日比特币收益的描述性统计

几何分布的概率质量函数和分布函数定义为：

式中，psi;={p}是超参数向量，用于总结先前分布的所有参数。其次，我们介绍了正态分布的分段特定参数的先验条件：

为了实现解析计算，当数据服从正态分布时，自然先验是正态逆伽马（NIG）分布。这一先验意味着片段特异性方差的反伽马（IG）分布和片段特异性平均值的条件正态分布：

第三，我们计算了数据的边际可能性，这给了我们一个度量数据可能性的量，而不依赖于任何模型规范。通过将数据的可能性乘以参数各自的先验值，然后将这些参数进行积分，得出边际可能性。因此，我们

我们假设可以针对每个可能的段进行计算。

最后，我们可以使用标准的过滤递归计算感兴趣量的后验分布（Fearnhead和Liu，2007年）。变化点的数量和位置的后验概率通

过以下公式计算得出：

和

模拟变更点的数量和位置很简单。在仿真输出的基础上，进一步推导出各分段的后验均值和后验方差，并根据分段的概率进行加权。

与通常用于金融时间序列非线性分析的模型相比，BCP模型具有一些优势。首先，段的数量不受限制。第二，新的段独立于以前的段。如果出现新的和看不见的情况，例如，由于金融市场环境的变化，这可能比仅假定预先规定数量的经常性制度的模型更有利。第三，后验参数由片段的可能性加权，因此也可能随时间不断变化。这增加了灵活性，因为可以对段之间的过渡期进行建模。因此，我们发现BCP模型是一个灵活的工具，用于建模时间序列的非线性行为，例如与马尔可夫状态切换模型相比。在下一节中，我们将使用BCP模型来分析比特币收益率序列。

4 结果

图2 比特币的收益率、后验均值、后验95%区间和波动性集群

图2的上半部分显示比特币收益、后验均值和95%区间，其中边界计算为后验波动率的1.96倍。

在比特币收益率序列中，我们发现在整个周期内有48个结构性断裂，平均每1.5个月就有一个变化点。所识别的片段长度不同，后验平均值和波动性差异很大。各部分之间的过渡显示出两种模式从一个时间点突然过渡到另一个时间点（如2012年2月），并持续几个月（如2015年1月至2015年5月）。

第一段相当长，后波动率为8%，高于其他大部分段。然而，大约有四个周期，其后波动率甚至高于此。其中包括2012年8月中旬的一周后波动率为14%，2013年1月至2013年5月后波动率在11%至18%之间，2013年10月至2013年12月后波动率约为13%，2015年1月后波动率在8%至11%之间的两周。相比之下，所有其他部分的后验波动率都较低，主要是1.5%或3.5%。

当我们将比特币时间序列划分为独立的段时，我们避免了模型的过度限制。这提供了很多使我们可以自由探索时间序列的动力学。然而，为了更进一步，我们结合具有相同统计特性的段。例如，2015年1月至2017年8月确定的大部分细分市场的后波动率为1.5%或3.5%。这表示特定于这些段的状态转换过程。我们将独立的部分结合起来，根据它们的后验波动性对它们进行聚类。

聚类结果显示在图2的下方。方案1与低波动性相关，方案7与高波动性相关。表2显示了每个制度的汇总统计数据。虽然状态1至4可以解释为波动率高达8.42%和高频率的正常情况，但状态5、6和7标记的短期波动率高达27.76%。

在金融时间序列中，杠杆效应描述了股票价格和波动性之间的反向关系。我们并不认为比特币价格存在这种关系。通过更详细地研究图2，并仔细观察高波动性机制（2013年初和2013年末）的后均值，我们首先发现平均回报和波动性同时上升。然而，随着时间的推移，平均回报率急剧下降，而波动性则进一步增加。相比之下，以2015年1月为例，我们只发现波动性上升，而平均回报下降。因此，仅基于后验均值和波动率，我们没有发现比特币价格中杠杆效应的证据。

表2 制度内比特币收益的平均值和波动性

然而，通过比较波动性聚类方法（表2）创建的各种机制，可以发现一个有趣的观察结果。在前六个制度中，平均回报和波动性之间存在正相关。波动最小的制度表现出最低（但仍为正）的平均回报率，反之亦然。然而，这种关系并不适用于最不稳定的制度，即只有负平均回报的制度7。

这可以解释为：在比特币市场的大多数情况下（制度1至制度6），受到较高波动性影响的投资者获得较高的平均回报。然而，在最不稳定的制度7期间，平均回报率为负值，该制度发生于2013年，持续了10天，这标志着比特币投资者面临极端和不确定的局面。

5 结论

我们已经使用贝叶斯变化点（BCP）模型来分析比特币收益的平均值和波动率如何随时间变化。与金融文献中使用的其他非线性时间序列模型相比，这种方法有几个优点。金融时间序列中的动态可以在不做数据生成过程限制性假设的情况下进行研究，例如关于制度数量的假设。BCP模型使我们能够将时间序列划分为独立的段，并计算每个段的后验均值和波动率。

我们发现，比特币的平均回报率和波动性确实

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