八、九、十年级学生对百分比知识的理解程度外文翻译资料

八、九、十年级学生对百分比知识的理解程度

Shelley Dole, Tom J. Cooper, Annette R. Baturo, and Zoyrese Conoplia

Centre for Mathematics and Science Education, QUT, Brisbane, Australia

摘要：本文报告了8、9和10年级学生对与百分比相关的这类问题的理解，图表的使用以及解决方案策略的选择。不熟练和半熟练的学生表现出使用预期的僵化公式的方法来解决问题，但熟练的学生使用了灵活的估算方法、数字意义和反复试验，而不是预期的基于模式的方法。

不能否认百分数在现实世界中的应用。通过运用于广告牌，报纸，广告和零售营销，折扣百分比，证明，利润，损失，储蓄和增加是我们社会不可或缺的一部分。理解百分比在社会生活中是很有必要的，因此百分比在数学课程中尤为重要。但是，百分比经常被滥用，媒体广告中的错误应用可以看出在现实世界中百分比被误解了（沃森，1994年）。

根据Parker和Leinhardt（1995）的研究，百分比的教学很难实现的一个原因是百分比的概念已经改变并形成了一种具有多种含义的难以捉摸的简洁概念。根据Parker和Leinhardt的说法，百分比可以是以下所有意义：（a）百分数可以用等效的分数或十进制形式表示； （b）一个整体分数的意义上的比较（例如，如果候选人获得了35％的票数，该百分比是对该候选人进行投票的人的子集，投票总数）； （c）比率比较两种截然不同的集合（例如，男孩比女孩多400％）； （d）有关易于理解的解释（例如，州的就业率为8.5％，而低于全国平均水平的10％）； （e）根据陈述的百分比（例如，利率，折扣等）。这些之间的联系根据Parker和Leinhardt的说法，百分比的尺寸是比例的尺寸：所有这些描述所编织的共同点是：百分比是用于描述比例的另一种语言关系——一种独特，简洁并提供特权符号的系统。 （第444页）

理解百分比。在了解数学之外，还需要数学运算能力，但仅算术能力并不能保证对数学的理解（Leinhardt，1988）。最近的文献表明，对数学的理解包括对知识的了解。各种形式的概念和过程，以及不同形式的知识需要连接以形成可在各种应用程序中访问的架构任务（Putnam，Lampert和Peterson，1990年）。与本文有关的是Resnick（1982），Skemp（1978）和Leinhardt（1986）的知识形式。雷斯尼克将知识归类为两种句法（数学程序）或语义（对那些含义的理解），Skemp将知识归类为工具性知识（计算程序）或关系式程序（有关这些程序为何起作用的知识），而莱因哈特（Leinhardt）将知识归类为直观（“日常”现实世界，通常在正式教学之前获得的应用知识），具体与在教学过程中用适当的具体材料表示，计算的（算法过程的知识）或原则/概念的（了解约束或证明算法程序的原理，以及指令完成后进行）。因此，对于认知主义者来说，数学相关数学思想的各种内部化表示和表示之间的联系（Putnam，Lampert和Peterson，1990）。

了解百分比，然后需要适当的心理模型来理解百分比的各种概念以及解决百分比问题的公式。 如Parker and Leinhardt（1995，p。47）指出：“hellip;hellip;知道在学校和外面的百分比意味着理解其通常包含的多种含义及其关系的字符”。

但是，要解决问题时，学生还需要获取他们已经具备的知识。 Prawat（1989）认为，知识的获取是由学习者决定的。学习者的组织和意识的三个因素：知识库（概念，原则，规则，事实和程序）；战略和后战略思维（一般解决启发式和元认知过程（例如计划，监控，检查，修改）；和性格（习惯）。特别是在数学任务受元认知的影响。 Garofalo和Lester（1985）指出数学知识受人的三个元认知类别的影响：知识，“一个人对自身能力和局限性的评估数学，以及特定主题或任务”（第167页），包括动机，焦虑和毅力等情感变量；任务知识，一个人的对数学任务性质的信念；和策略知识，意识指导解决问题的策略。因此，足够的知识百分比包括了解百分数的含义以及知识使百分比计算合法化的原理以及元认知知识，以增加获取此类百分比知识的机会。

用于百分比教学的教学方法。 文献提供了多种发展百分比概念和解决百分比应用问题的教学方法。 发展百分比概念的常用方法是转化百分数到小数和小数（例如Brueckner＆Grossnickle，1987）。但是，也可以通过将百分比与比率转化来提高概念百分比（例如，Brown＆Kinney，1973年），通过研究百分比表达式作为比例（例如Schmalz，1977年），方法是探索百分比的特殊语言，并且通过探索简单百分比计算的模式（例如Glatzer，1984年）。解决百分比应用问题的教学方法也多种多样。 在数学结构方面，应用问题的百分比分为三种类型，由Ashlock，Johnson，Wilson和Jones（1983，p.297）在以下内容中描述方式：

类型 I查找数字的一部分或百分比（例如20的25％是p）;

类型II 寻找一个零件或百分比一个数字是另一个数字（例如15的p％是5）; 和

类型III 当某个数字的某个部分或某个百分比为已知（例如p的20％为6）。

Parker和Leinhardt（1995）在对百分比的文献进行分析时指出到1960年，有5种不同的计算程序可以解决百分比问题。 这五个过程可以总结如下：

（1）传统/案例：学生对问题进行分类并采用不同的程序解决每种问题类型（数字乘以百分比，作为类型的小数，将数字相除，然后将II型的十进制答案转换为百分比，并将数字除以百分比，得出类型III的小数）；

（2）百分比公式：公式中用“已知”代替，P = BR（P为百分比作为数字，B是基数，R是百分率），“未知”是通过代数运算发现；

（3）等式：“已知”被归类为因子或乘积，并被替换为公式，因数x因数=乘积（使用代数运算来找到未知）;

（4）比例：百分率被认为是公分母，而分母为100，等于由其他两个可能数字组成的分数（即a / 100 = c / d），并且未知数是通过代数运算或交叉乘积法找到的；和

（5）求1％：先计算“已知”的1％，然后再进行简单的算术运算以计算所需的百分比（例如200的11％是认为是200和11的1％的乘积）。

文献提供了各种教学方法。例如，代表10x10的百分比问题网格（将大正方形分成10行，每行10个小正方形）或在数字行上（从建议使用0到100）作为帮助学生形象化百分比计算的计算程序（例如Bennett＆Nelson，1994年）。助记符策略，强调关键词“ of”（意思是“乘”）和“ is”（含义鸿沟）也被建议来帮助学生解释百分比问题并按百分比计算（例如，McGivney＆Nitschke，1988年）。但是，这些方法似乎很少解决百分比意义的多面性的问题，涵盖所有知识（小数/分数，比率和比例），并涵盖所有百分比含义（数字，分数，比率，比例，统计信息和功能）。此外，Parker和Leinhardt（1995）指出比较教学的结果研究没有结论性地表明一种方法优于另一种方法。

评估学生的百分比知识。 Parker和Leinhardt（1995）声称百分比是数学课程中一个令人困惑的话题，对学生和教师，基本上就是“百分比很难”（第423页）。他们的主张被第四次全国教育数学表现（NAEP）（Kouba等，1988）评估的百分比的调查结果证实，七年级和十一年级的学生似乎对百分比的理解不足并且在百分比应用方面存在困难（尤其是II型和III型问题）。

Lembke和Reys（1994）的最新研究考察了5、7、9和11年级。比较学生前后对百分比概念的理解和不同学生计算百分比知识的方法，并显示出学生可能拥有的更有希望的百分比知识图景。 Lembke和Reys在四年级的每个年级中采访了高中生学生发现：（a）5年级和7年级的学生（未收到正式指示的百分比使用了多种直观策略来解决简单，即类型I）百分比问题； （b）年龄较大的学生（9年级和11年级）使用了用于计算百分比的百分比公式，通常会产生简单的错误；和（c）通用基准（100％是整体，50％是一半，而25％是一半的一半一年级的学生都在使用该软件）计算并检查其计算的合理性。

对本文的启示。与研究Lembke和Reys的方式类似（1994），本报告所针对的研究旨在分析和归类不同水平的学生所获得的知识和解决百分比问题方案，并得出适当的含义指导制定百分比概念和解决方案策略。 特别，该研究侧重于三年水平（第8、9和10年级）和三个类别的熟练：能够解决所有三种类型的百分比问题； 半熟练，能够解决I型问题，但不能解决II型和III型问题；不熟练，无法解决任何类型的问题。 以下问题是研究的重点：

（1）熟练，半熟练和不熟练的百分比问题解决者理解的百分比知识是什么？

（2）熟练，半熟练和不熟练百分比问题解决者是如何理解和解决百分比问题？

本文报告了本研究的三个方面，即熟练的，半熟练的和不熟练的百分比问题解决者对百分比问题的了解类型，解决方案策略的类型以及图表的使用。

方法

研究中采用的方法是定性的。研究方法是半结构性Piagetian临床访谈和方案分析（Ginsburg，1981）。

样本。有目的从男子布里斯班中学的8、9年级和10年级找出具有代表的18名学生。 在九十年代，这三个班级的学生被教授以下三种百分比问题解决方法，并根据他们的回答将其分为熟练，半熟练或不熟练。据此，每年从每个学生中随机选择两名学生。

方法。该方法是临床访谈。任务集中在学生对百分比问题的理解（旨在（学生）以及学生用于解决这些问题的策略。

在本文中，报告了以下三个任务的响应：（a）第一个任务通过询问他们对这三个知识的了解，了解学生的总体百分比方案百分比问题的结构类型； （b）学生通过观察他们解决三种类型的问题来解决百分比问题; （c）第三部分探索了学生使用图表来解决百分比的问题通过要求他们用图表解决问题来解决问题自发使用。

程序。这些学生被从班级带走并接受了采访。独立房间。采访持续了30分钟，并进行了录像。学生们在面试之前曾尝试过这些问题，面试的重点是回忆他们在解决方案中使用的方法。对学生的探查是基于或有问题。如果检测到未用于问题的知识，向学生询问为什么不使用它。

分析。访谈进行了方案分析（Ericcson＆Simon，1984）。 Strauss和Corbin（1990）的扎根理论方法用于确定模式和共性。

结果

详细介绍了十八名学生对这三个问题的回答。学生的表示如下（第一个数字是指他们的年级）：

熟练的学生8P1、8P2、9P1、9P2、10P1、10P2

半精通的学生8SP1、8SP2、9SP1、9SP2、10SP1、10SP2

非熟练学生8NP1、8NP2、9NP1、9NP2、10NP1、10NP2

学生对百分比问题的回答。六个学生中的四个熟练的学生（8P2、9P2、10P1和10P2）和两个半熟练的学生（9SP2和10SP2）从Ashlock等人的文章中找出了三种类型的问题（1983）。一名不熟练的学生（8NP2）识别了两种问题类型，将其描述为“发现”给定数字的百分比-60％的数字是25％，然后“找到60％的百分比”一个数字是另一个数字-15是60的百分比；就像一位半熟练的学生（8SP2）一样，将问题类型描述为“找到一个问题的百分比”。数字，确定此数字占此数字的百分比，利润问题和损失问题。其余10名学生（8P1、9P1、8SP1、9SP1、10SP1、8NP1，9NP1、9NP2、10NP1和10NP2）没有发现Ashlock等人的任何内容。问题类型，并认为有四种或更多类型。不熟练的学生是在对问题类型的描述上尤其不同。例如，“关于数学测试，现实世界中的百分比，用于销售商品的百分比以及百分比用于导出”（8NP1）和“您除以乘积的那些”（10NP2）。

学生的解决方案策略。寻找解决方案的最广泛使用的策略百分比问题是百分比公式方法。这是三个人用的熟练的学生（9P1、9P2、10P2），四个半熟练的学生（9SP1、9SP2、10SP1，10SP2）和所有非熟练学生。此策略用于线束两名熟练学生的反复试验策略（公式被遗忘时）（9P1、9P2）和三个半熟练的学生（9SP1、10SP1、10SP2）。所有不熟练的学生都没有尝试过无法解决的问题。

两名熟练的学生（8P1、9P1）使用统一策略，另外两名熟练的学生学生（8P2、10P1）使用传统/案例策略，而两个半熟练学生（8SP1、8SP2）使用了比例法。四个不熟练的学生（9NP1、9NP2、10NP1、10NP2）使用了关键字策略（单词“ of”表示乘，“是”表示除法）。

熟练的学生表现出较强的数字，运算和逆运算能力运算（8P1、9P1、9P2、10P1），百分比，常用分数和小数部分（8P1、10P1、10P2）以及估算和基准测试（8P1、8P2、9P1，9P2、10P1）；他们还表现出了分析问题的能力结构上（8P2、9P1、9P2、10P1）。估计和基准标记的示例是由以下提供：8P1说，“ 51的答案是多少的85％？”由于整体比例为85％，因此必须比51大一点； 9P1相关的“ 186是240的百分比？”到240中的120是50％；而对于“ 28％的150？，10P1表示28％约为1/3，这意味着答案接近50。熟练的学生将估算与试错和结构知识结合在一起，例如，当给定两个数字并要求找到一个百分比时，9P2将较小的数字乘以较大的数字再乘以100，查看答案，然后反转他认为答案不合理时所做的事情。

半熟练的学生还熟练地进行了转换（8SP2、9SP1）和使用估计和基准测试（所有SP学

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