科学与教育10：391-408，2001年。

copy;2001年Kluwer学术出版社。 在荷兰印刷。

391

数学教育与数学史能否共存？

迈克尔·n·弗里德

Negev的Ben-Gurion大学科学技术教育中心。Box653，Beer-Sheva，84105，以色列

摘要。 尽管人们对将数学教育与数学史结合起来有着广泛的兴趣，但这一努力存在着严重和根本的问题。 主要的困难是，当一个人想在课堂上看到历史主题或教学中的历史方法时，承诺教授纯科学和应用科学所必需的现代数学和现代数学技术迫使一个人要么轻视历史，要么扭曲历史。 特别是，这种承诺迫使人们对数学史采取“惠吉格什”的方法。 困难的两个可能的解决办法是：（1)“彻底分离”-将数学历史与普通教学课程分开，(2）“彻底妥协”-将数学研究转变为数学文本的研究。

关键词：数学教育，数学史，惠格主义，沉淀，两层思维，人文数学

导言

认为数学史应该在数学课堂上占有一席之地并不是一个新的想法。 即使它是新的，比如在20世纪60年代和70年代，它也不是完全闻所未闻的-已经在本世纪初，在此之前，教育工作者考虑了数学史对教学的价值(例如，见Barwell1913年)。 今天，国家数学教师委员会(NCTM1989)和美国数学协会等已成立的组织敦促将历史纳入数学课程，国际研究小组（如数学史与教育学关系国际研究小组）对此进行了讨论，并成为会议、论文和互联网小组的主题。 但是，尽管写了这么多，并说在实践中，学校本身几乎没有做什么。 这引起了对数学和数学教育结合历史的整个项目的批判性审视。 特别是，人们应该考虑其基本假设的正确性，即真正有可能将数学历史与数学教育结合起来。本文的主要目的是表明，这一假设确实存在困难。

讨论将分为三个部分。 首先，我将调查数学史在数学教育中的重要性的一些常见理由，以及教育者建议将其引入课堂的一些模式。 在第二部分，我将探讨数学教育的任何历史方法必然会出现的困境，因为一个人不可避免地致力于现代数学和现代数学技术的教学。 最后，我将审议两项可能解决这一困境的决议。

数学教育中的数学史：模式与理由

教育工作者对数学史感兴趣的原因有很多。 例如，Fauvel（1991）引用了十五个理由——毫无疑问，如果一个人梳理了文献，你会发现更多。 但是，可以公平地说，这些原因可以分为三个广泛的主题：（1)数学史使数学人性化；(2)使数学更有趣、更容易理解和更平易近人；(3）使人们洞察概念、问题和解决问题。在第一个主题中，人们认为数学史是鼓励多元文化的方法，给学生历史角色模型，将数学研究与人类的情感和动机联系起来(例如，Swetz1995；Avital1995；Brown1993)。 第二个，自然是最广泛的这些广泛的主题，包括声称数学史增加了教学的多样性，减少了学生对数学的恐惧，使人们对数学在社会中的地位有了某种意义(例如，Ness1993；Rickey1995)。 当一个人谈到数学史对教师的重要性时，当一个人谈到数学史对学生的重要性时，最后一个主题有些不同。 例如，就教师而言，这里的“个体发育概述了系统发育的论点”，其中声称，学习数学中的某些学科遵循与学科历史平行的道路(例如，Fauvel1991；Sfard1995；Garner1996；Thomaidis1993)。 就学生而言，这一主题指出历史为问题和想法提供了背景，提出了解决问题的替代办法，显示了想法、定义和应用之间的关系(例如Katz1993；Kleiner1993；Avital1995)。 当然，这些主题更多地是强调的表达，而不是它们是不同的类别，事实上，大多数关于教育数学史的作家认为它们都是相关的。

在学校课程中引入数学史的各种模式一般有两种基本策略。第一种方法是介绍历史轶事、简短的传记、孤立的问题等等——我称之为加法策略，因为通过它，人们不会改变课程，除非扩大它。这可能是一个非常被动的策略，比如当老师给学生看数学家的照片时。 伟大的科学史学家乔治·萨顿（1957年，第9页）说：“肖像画的重要性是不能夸大的。 一幅好的肖像画

一个人告诉我们更多关于他的事情，而不是最长的描述”。 然而，大多数采用加法策略的人确实增加了一些对著名数学家生活和工作的描述。 Swetz（1995年，第25页）否认包括这种“。。。 在已经拥挤的课程中有更多的事实知识”。 然而，Swetz自己的“在课堂教学中使用数学史上的问题”程序也是加法策略的一个例子。 他说，“历史问题和问题解决本身作为一个主题，可以成为一堂课的重点，但如果这些问题广泛地分散在课堂练习和家庭作业中，则可能更有效。 喜欢指定“本周问题”的教师会发现历史问题很适合这项任务”(Swetz1995，p.33)。 这些历史问题有助于激励、说明或启发课堂主题，而主题本身并不一定以历史的方式教授。例如，在研究“完成平方”的方法来寻找二次方程的根时，教师可以使用通常的非历史解释和做通常的非历史练习。 但老师没有把它留在那里，而是加强了讨论，如Swetz(1995，p。 28)这样说，通过介绍一些作家认为这种技巧起源于巴比伦的问题。

第二种策略实际上改变了材料的呈现方式，例如，通过使用历史发展来解释一种技术或想法，或者根据历史方案组织主题。 我把这一战略称为适应战略，因为它使课程适应或适应历史环境或历史模式。 例如，这是Katz（1995）“Napier的对数适应今天的课堂”中的策略，Katz建议，在Napier的几何运动学方案之后引入对数，将对数的功能性质引入到预学生中。 重要的是要强调，使Katz的策略成为一种便利的是，他在实际教学中使用历史发展作为指导：将对数表示为对任何正实数x和y具有g(x)g(y)g(xy)性质的函数，然后才显示这与Napier对对数的理解有何关系将是一种加法策略。 Katz还在他的《用微积分的历史来教微积分》(Katz，1993)中以更广泛的方式应用了住宿策略，他不仅建议用历史来介绍课程中的个别科目，而且还建议确定课程本身的结构和流程。 事实上，他仔细地指出了这个策略与我所说的加法策略有何不同。 他写道(Katz1993，第243页)：“用历史的方法来计算，我的意思不是简单地给出每个单独主题的历史背景，或者给出各种想法的开发者的传记素描。 我的意思是按其历史发展顺序组织专题，并讨论每一专题的发展历史动机，包括数学和其他科学领域的专题”。

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数学教育历史方法的困境

数学教育的历史方法没有内在的困难，这自然必须成为上述战略的任何理由和任何混合或变化的基础：显然，在询问历史和数学教育是否良好以及应如何进行之前，必须假设将历史和数学教育结合起来是真正可能的。 事实上，我认为，这种历史方法从一开始就提出了一个两难的问题。 但在讨论这个难题之前，先考虑一下时间这个相当平凡的问题。

中学的数学课程很少为增加科目或扩大现有材料的讨论留出空间。 教师必须在很短的时间内完成大量的主题；他们承受着配额制度的压力。 因此，教师应该抵制引入数学史的程序，尽管它有其优点，这并不奇怪。 Avital（1995年，第7页）对这个问题很敏感，他说：“老师可能会问lsquo;我在哪里找到教历史的时间rsquo;，最好的答案是：lsquo;你不需要额外的时间rsquo;。 只需给出一个与你正在教学的主题直接相关的历史问题；告诉它来自哪里；并让学生自己阅读它的历史”。 当然，Avital在这里的解决方案根本不是解决办法，因为他只是从老师那里删除了时间问题，并将其传递给学生。 但是，通常情况下，添加策略可以在时间限制内工作，方法是将一个普通的课堂问题替换为一个引用相同材料但具有历史背景的问题。 事实上，这一点在Avital1995年的论文中已经提到了其他地方，而且肯定是Swetz方法的中心(Swetz1995)。涉及住宿策略的程序，就像上面讨论的Katz的程序一样，以不同的方式解决时间问题。 这类课程不要求教师承担额外的科目，而只以新的方式教授旧的科目。 因此，在这种情况下，教师不会被迫在已经超载的程序中为额外的材料找到额外的时间，学生也不会被迫为额外的家庭作业找到额外的时间。

然而，一个人解决了时间问题，但很明显，问题的出现是因为一个人必须把数学的历史融入一个总纲是固定的课程；没有一个老师可以接受一个排除，例如，二次方程的解的课程。 这样，时间问题与另一个相关问题有关。 显然，数学史与数学课程固定核心的相关性可以成为有利于它的论点。 因此，Avital（1995年，第7页）写道：“历史可以按照课程从主题到主题。 一些解决历史问题的方法不仅丰富了教学，而且实际上展示了比现代更好的教育方式”。换句话说，在这个观点中，历史方法可以起作用，因为对于课程中的每一个主题，人们都可以找到一个相关的历史问题、想法或图形。 但这种持续的相关性测量的缺点是，它把数学中的历史方法的作者变成了一种历史编辑，接受什么是相关的，扔掉什么是不相关的。卡兹必须认识到这个几乎不可避免的角色，

因为他写道(Katz1993，p。”“当然，我不能总是坚持历史记录。 许多看似好的想法导致了死胡同，或导致了在这一层面上过于困难的方法”。 不用说，这些“死胡同”只是数学史上那些在现代数学中没有延续的部分，也就是说，它们是那些与我们必须教的东西无关的部分。

通过对相关性的讨论，我们探讨了数学与数学教育相结合的项目中存在的一个固有的困难。 它从一个简单的事实开始，我们数学教育工作者致力于教授现代数学，教授我们的学生在以后的数学、科学或工程研究中需要的数学。这一承诺必须将引入历史课程的尝试从属于现代数学课程的需要；数学史不是研究而是使用的东西。 人们经常在关于这个主题的文献中看到“使用”这个词。 因此，我们有“数学史在教学中的运用”、“数学教育中的运用”、“利用微积分历史来教学微积分”、“课堂教学中利用数学史中的问题”、“通过使用历史材料改进微积分的教学”等。 现在，仅仅因为一套知识被使用本身并不能证明它被滥用，而使用它的人不一定要受到谴责。 然而，当历史被用来证明、加强、解释和鼓励明显的现代主题和实践时，它不可避免地成为所谓的“不合时宜”(Kagh1987)或“辉格”历史（巴特菲尔德1931/1951）。 这种史学，如果不是彻头彻尾的应受谴责，至少在大多数史学界是非常值得怀疑的。 正如我们将要看到的，每一位历史学家，特别是数学历史学家，都必须以某种方式与“辉格”历史问题进行斗争。

那么，什么是“辉格”历史呢？ 它最好的描述仍然是赫伯特·巴特菲尔德（1931/1951），他发明了这个概念。 因此，在下面的简短叙述中，我将主要遵循巴特菲尔德的论述。

在辉格史学中，现在是衡量过去的尺度。 因此，人们认为在历史上重要的正是导致今天被认为重要的东西的原因。出于这个原因，“如果没有必要的话，历史学家应该“干预”过去，因为他知道他在后来的位置上所拥有的“(Kagh1987，p。89).巴特菲尔德把辉格历史学家描述为“一个巨大的光学错觉”的制造者（巴特菲尔德1931/1951，第29页）：辉格历史学家产生的似乎是一幅清晰而确定的过去图景，但实际上产生的是一种扭曲。对巴特菲尔德来说，辉格党的历史比糟糕的历史更糟糕，它根本就不是历史。正如他所说，“用一只眼睛研究过去，可以说，在现在，是历史上所有罪恶和诡辩的根源，从最简单的罪恶和诡辩开始，就是不合时宜的。..这是我们所说的“非历史”一词的本质(巴特菲尔德1931/1951，pp。30–31)。 关键是，只要历史学家真正相信历史是真实的，他认为世界总是在变化，它在变化，因此，过去是

不像现在。 这就是为什么巴特菲尔德强调，历史学家总是从过去和现在的区别开始，“。。。 因为历史学家的主要目的是阐明过去和现在之间的矛盾，他的主要职能是以这种方式作为其他世代和我们自己之间的调解人。 他不应该强调和放大一个时代和另一个时代之间的相似之处，如果他去寻找过去的现在，他会在一群误解之后骑马。“(巴特菲尔德1931/1951，p。10).

毫无疑问，一个人可以从现在回到过去，但它只有从现在的角度有一个方向；从过去的角度，也就是历史的角度，它是一个流浪者的曲折的道路，不知道他要去哪里。 这使得关于思想和制度的起源的问题有些可疑，在巴特菲尔德看来，毫无希望的惠吉什：“他的基本误解的后果从来没有比惠吉历史学家对起源的追求更明显的了；因为如果我们把这一追求变成寻找类比，或者如果我们试图过于直接地寻找过去的现在，我们就会感到非常困惑。如果我们问：“我们欠谁宗教自由？我们可能会问这种自由是如何产生的，但即使如此，给我们答案也需要所有的历史。如果我们想象我们仅仅发现了第一个谈论自由的人，就已经找到了自由的起源，那我们就是错误的。42–43).

这一点在数学史学中尤为中肯。 数学史学家被诸如，谁发现了二次公式之类的问题淹没了？ 或者谁发明了函数概念？ 怎么能回答这样的问题？ 以第二个问题为例。 人们可能会认为Oresme发明了函数概念，因为他对质量强度的图形表示类似于函数的图形。人们可能会把奥雷塞姆的作品称为“。。。我们现在描述的函数的图形表示的早期建议“(Boyer，1985，p。290).事实上，我们很容易在Oresme中找到函数概念，因为我们清楚地知道我们正在寻找什么以及它有多重要。但是，通过让Oresme参与我们自己对函数概念的搜索，我们错过了他自己对运动和变化的本质的兴趣，我们失去了亚里士多德的语境，这种兴趣由此而增长(见Lindberg1992，pp。290–307).实际上，我们拿走了奥雷塞姆的想法，让他思考我们自己的想法。这是一种倾向，Youschkevitch，写函数的发展，是很清楚的，并仔细指出。 他说，“一般来说，研究过去时代的数学，人们不仅经常估计它对进一步发展这门科学的重要性（这是必要的），而且还经常不小心地扩大对其思想的解释，将它们与现代的、更普遍的概念和概念联系起来。 事实上，正如歌德的浮士德对他的学生瓦格纳所说，历史学家把时代精神等同于他自己头脑中的反思.“(Yousc

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A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education

Article in Educational Studies in Mathematics · July 2009

DOI: 10.1007/s10649-008-9174-9

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Educ Stud Math (2009) 71:235–261 DOI 10.1007/s10649-008-9174-9

A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education

Uffe Thomas Jankvist

Published online: 21 January 2009

copy; Springer Science Business Media B.V. 2009

Abstract This is a theoretical article proposing a way of organizing and structuring the discussion of why and how to use the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, as well as the interrelations between the arguments for using history and the approaches to doing so. The way of going about this is to propose two sets of categories in which to place the arguments for using history (the “whys”) and the different approaches to doing this (the “hows”). The arguments for using history are divided into two categories; history as a tool and history as a goal. The ways of using history are placed into three categories of approaches: the illumination, the modules, and the history-based approaches. This categorization, along with a discussion of the motivation for using history being one concerned with either the inner issues (in-issues) or the metaperspective issues (meta-issues) of mathematics, provides a means of ordering the discussion of “whys” and “hows.”

Keywords Using history in mathematics education · Whys and hows · History as a tool, history as a goal · Indispensability of arguments · In-issues and meta-issues · Illumination, modules, and history-based approaches · Genetic principle

Introduction

When reading the literature on using the history of mathematics in mathematics edu- cation, one comes across various arguments in favor of why it may be a good idea and various ideas on how to do it, what I shall refer to as the whys and hows respectively. Unfortunately, such a reading of the literature seems to reveal some blurring in the

U. T. Jankvist (B)

Department of Science, Systems, and Models, IMFUFA,

Roskilde University, P.O. Box 260, 4000 Roskilde, Denmark e-mail: utj@ruc.dk

discussion of these whys and hows. Part of the explanation of this may have to do with the issues being tackled by many different kinds of researchers (mathematicians, historians, educators, etc.), each having their own agenda, background, and style. Also, each researcher is often deal

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