利用几何画板教学相对速度外文翻译资料

利用几何画板教学相对速度

原文作者 Tin-Lam TOH 单位 新加坡南洋理工大学国立教育学院

摘要：在现行的增补数学教学大纲（教育部，2000）中，引入了主题相对速度. 这个主题涉及抽象的力学概念，这对学生和老师来说都是困难的. 许多初级教师可能在本科时期没有学习过本科力学课程.

Leong和LIM（2003）发现，几何画板（GSP）的有效使用能够提高学生在几何成绩测试中表现的空间能力. 由于力学和相对速度是由几何概念建立起来的，所以GSP的使用可能会给学生提供一些希望来可视化这个主题的一些概念.

在本文中，将讨论使用GSP，以提高学生对一些基本的运动学概念的理解. 希望教师能够在不让学生陷入繁琐的数学计算的情况下说明概念. 所有复杂的数学计算可以留给下一层次的课程，如应用数学课程.

关键词：几何画板； 相对速度； 教学

1 计算机软件与几何学习

一些资深教师抱怨几何证明的严谨性，这对于培养学生的逻辑思维很有帮助，已经不在当前的课程中了. 计算机软件在课程中的引入一直引起教师们对学生基本数学能力丧失的恐惧. 例如，随着计算器的引入，一些教师抱怨学生可能会失去对简单数字的基本运算的估计感. 同样的道理延伸到计算机在教育中的应用：使用GSP，逻辑训练中的训练严谨性和学生解决几何问题的能力会受到影响吗？

HoHN（1997）提供了可以用GSP来完成的工作表的样本活动. 他建议，涉及几何定理证明的活动可以用软件来完成. 这意味着，通过提高学生的空间能力，可以获得更多抽象的几何结果. Hoen进一步建议学生可以尝试推广已有的定理和状态并验证他们的猜想. 所有这些都符合教学大纲中新的问题解决方法（教育部，2000）.

正如Leong amp; LIM（2003）指出的，使软件GSP适合于转换几何教学的关键特征是

（a）使对象能够在屏幕上变换；

（b）它可以方便地测量距离、角度和面积；

（c）它具有点击和拖动的功能，使用户能够对不同的情况进行实验.

（d）允许动画的动作完成.

在这里，将利用上述特征，使力学概念的教学比严格的证明更直观.

例1：过河

对于大多数学习相对速度的学生来说，主要的困难之一是向量的分解. 因此，重要的是帮助学生在可视化矢量的投影之前，投入到实际的相对速度的概念. 这里，GSP可以帮助学生形象化矢量投影的概念.

相对速度的一个主要设置是“过河”的情景. 我们假定河岸有两条平行线，如下图所示. 由两条平行线表示的两个平行线之间的距离是d单位. 我们将进一步假设船的真实速度在v的角度保持恒定.

然后船渡河的时间

=真实距离/真实速度 =真实距离 /v hellip;hellip;（a）

通过考虑沿图1中距离d标记的方向的投影，另一种计算过河时间的方法.

= hellip;hellip;（b）

两种计算方法（a）和（b）都给出了船渡河的相同时间. 要使中学生（a）和（b）同时给出这一点并不容易，因为“投影”的概念不在他们的中学科学课程中.

对于一个不精通三角几何的学生来说，可以用GSP来清楚地说明这一点. 在下面的图2中介绍了使用GSP的工作表. 在上面的工作表中，学生点击屏幕上的动画按钮来启动两个点A和B的动画. 首先，A和B都与X点重合. 点击动画按钮，两个点开始从左到右移动，如上面的图表所示.

B点代表了渡河的实际船，而A点是另一个依赖于B的运动的粒子，因此（i）AB总是平行于岸边；以及（ii）A和B同时到达彼岸.

船舶B过河所花费的时间可以计算为，真实距离指的是船B的实际距离. 粒子A所花费的时间，通过工作表中的一系列提示问题（见图2），可以计算为. 由于A和B两个粒子同时到达另一个海岸，所以计算到达另一个海岸所需的时间的另一种方法可以被视为. 在许多典型问题的数值问题中，使用计算过河时间的方法可能更直接.

例2：在最快的时间到达彼岸

使用GSP可以清楚地说明另一个问题，就是找到最短的过河时间. 假设一个电流以一定的速度流向下游. 一艘船以恒定速度行驶. 问题是：在最短的时间内，船应该转向什么方向才能到达岸边？

我们构造工作表，如下面的图4所示. 在下面的图4和图5中，时间测量单位为秒.

学生被要求拖动箭头，箭头的方向代表船的驾驶方向. 一旦决定了船的转向方向，屏幕上的按钮动画点就可以被点击，以显示实际船行进的路径（见图5）. 在图5中，由GE所代表的船的行进方向与GD所代表的船的转向方向不相同. E点代表船的实际位置，而D是船的位置，如果没有下游的电流，点D和E沿垂直于两条平行河岸的方向具有相同的投影.

学生点击和拖曳船上的航向，以允许不同的方向选择船驾驶. 通过改变船的航向，船的实际路径将相应地改变. 从工作表本身可以立即看出这一点. 然后，学生可以被要求在船上的课程上探索，以便在静水中采取不同的路线，以最快的时间到达另一个海岸.

学生们会发现，在最快的时间里，船应该走到另一条岸边的路线是垂直于两条平行的河岸. 在满足目标的同时，投影的数学严密性将被省略. 在这种情况下，作为GSP使用的额外另人高兴的事情，学生将能够对上述文件进行以下观察：

a. 如果船夫驾驶上游，船的速度比他驾驶的速度慢，因此到达另一岸需要更长的时间；

b. 如果船夫驾驶下游，船的速度从他驾驶船的速度增加（越下游，船的速度越快）. 然而，

渡河所需的距离要长得多，因此到达另一岸所需的时间也增加了.

观察（A）和（B）很难用机械计算本身来证明；使用这样的动画，观察对学生来说是很明显的.

例3：实际系统和相关系统的概念

教学相对速度的方法通常是“减息”的方法，参见国家教育学院2003，PP186—189. 在一个系统中，当两个粒子A和B以恒定速度运动时，它相当于另一个系统，其中一个粒子（称为B）处于静止状态，而A相对于B的相对速度行进. 前者的系统被称为“实际系统”，而后者系统则称为“相关系统”. 他“相对B的相对系统”. 自然产生的问题是：为什么这两个系统是等价的？从几何学的角度来看，它只是原点到A点的一种转化，它应该被还原为静止. 然而，这对于大多数学生来说是抽象的，因为它隐含地涉及到系统的转化. 通过动画的使用，可以很容易地引出等价概念. 图6显示了当实际系统和相对系统（B减少到静止状态）并行显示的情况. 当动画按钮被点击时，两个系统将开始移动（如图7所示）. 在实际系统中，粒子A和B都移动，而在相对速度下，只有粒子A移动而B静止. 学生将观察到，在任何时间点，在实际系统和相对系统中矢量AB、A与B的相对位移相等.

学生可以通过将A和B拖动到不同的位置来改变初始点，但是无论是A还是B都在运动或静止，无论在实际系统还是相关系统中，矢量AB总是相等的. 明确了相关系统的物理意义. 这是一种机械地将实际系统转换成相对系统的替代方法，通过减少B来休息.

2 教师的内容知识

为了能够设计适合学生的工作表，教师需要有良好的教学内容知识——仅在额外的数学教学大纲中所需的知识量是不够的. USSIKN（2001）将教师需要具备的教学内容知识分为三类：（1）教学大纲所需的广义知识；（2）概念分析（3）问题分析. 可能是当前在职教师发现这一主题困难的原因之一是，对于这个话题，他们没有足够的教学内容知识. 因此，他们发现很难教这个主题或设计适当的活动，以促进他们的学生的学习.

3 利用GSP增加价值

考虑示例1：学生可以通过视觉冲击获得对沿着给定方向（垂直于两个平行河岸的方向）的矢量（在这种情况下速度向量）的概念的正确理解，而不是传统的死记硬背，认为和这两个表达式相等（参见示例1）. 矢量的解析是相对速度的基础. 要有信心设计这方面的工作表，教师需要能够看到类似的图形和相关的力学概念解决向量的几何概念. 示例2是另一个学生难以想象的概念：不管船的水速如何，船必须垂直于两个平行的岸，以便在最短的时间到达另一岸. 然而，随着GSP的使用，通过拖曳船的不同方向可以容易地看到以下事实：如果船在上游转向，由于船的真实速度降低，需要较长的时间到达另一侧；如果船在下游转向，即使船的速度增加了，为了到达另一个岸边，他必须走很长的距离. 因此，为了在最短的时间到达另一岸，他必须垂直于两个平行的岸边. 例3需要将两个向量ab减去“治疗”A作为原点的物理解释. 因此，在几何上等同于将A点在任何时刻转换回同一点. 矢量ab在两个系统中是相同的. 这是相对系统与实际系统的关系. 因此，用“GSP法”解决“涉及到相对速度的问题”的“REST—REST”方法可以给出更有意义的物理解释.

4 利用GSP教学相对速度的反馈

作者在新加坡为在职教师进行了12小时的相对速度讲习班. 使用GSP花费了2个小时，并使用适当的工作表对教师进行实际操作. 在整个课程结束时，参与者的反馈被收集. 关于使用GSP来教授与相对速度有关的上述概念的两个问题被问及反馈如下：

问卷调查

在35名参与者中，18人（超过50%）认为实验班的GSP部分是整个课程中最有用的部分. 目前，在2004年作者正在与两名将要教学相对速度的教师工作，为了获得对学生学习成绩的任何影响在利用GSP参加相对速度的课程后.

5 结论

教师可以设计发现工作表，让学生发现和验证两个粒子以恒定的速度移动，并以不同的起始点截取的必要和充分条件. 所有这些活动使学生能够理解所有相对速度的标准结果，而不必进入数学计算的严密性. 上面的讨论给出了三个例子，说明如何使用GSP来帮助学生可视化相对速度主题中的一些关键概念. 应该注意的是，以上是关于软件如何用于教学的一些建议；它不排除在教学中如何使用软件的所有可能性. 其余的取决于教师在设计他们的文件和相关工作表的学生创造力.

教育工作者不应忽视最重要的是如何确保课堂中技术的有效使用（Bliss T. J. ，BelsL. L. ，2003）. 教师除了具备良好的教学内容知识外，还必须具备合理的工具水平. 此外，教师应时刻牢记，使用GSP或任何其他教育技术是为了加强学生的学习.

参考文献

[1]Bliss, T. J. amp; Bliss, L. L. （2003）. 教师专业发展对教育技术有效整合的态度反应. 在职教育杂志，29（1）：81—99.

[2]Hoehn，L.（1997年）. 并发定理和几何画板. 大学数学学报，28（2）：129-132.

[3]Leong, Y. H. amp; Lim-Teo, S. K. （2003）. 几何画板对新加坡中学二年级学生变换几何空间能力和成绩的影响. 数学教育家，7（1）：32—48.

[4]教育部.（2000年）. 中学毕业证书（普通级/正常水平）：数学学科大纲，得分/教育部，新加坡.

[5]国立教育学院.（2003年）. 绿皮书：在中学数学教学的资源和理念，新加坡.

[6]Usiskin, Z.（2001年）. 教师数学：一个值得成为一个领域的内容几何，数学教育家，6（1）：81—99.

外文文献出处：Asia-Pacific Forum on Science Learning and Teaching, Volume 4, Issue 2, Article 8 (Dec. , 2003)

附外文文献原文

On using Geometers Sketchpad to teach relative velocity

Tin-Lam TOH

National Institute of Education
Nanyang Technological University
Singapore

E-mail: 资料编号：[280173]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word