最大模原理外文翻译资料

最大模原理

原文作者 James Ward Brown Ruel V. Churchill（美）

摘要：如果函数f在给定区域上解析且不为常数，那么|f(z)|在D内取不到最大值，

即不存在D内的点z₀使得|f(z)|le;|f(z₀)|对D内所有点z都成立．

关键词：最大模原理

在这节中，我们来推导一个关于解析函数模的最大值的重要结果.先给出一个引理.

引理 设f在|z-z₀|lt;ε内解析且满足|f(z)|le;|f(z₀)|，那幺f(z)在这个邻域中

为常数f(z₀）.

为证明之，我们假设f满足已知条件，令z₁为所给定邻域中任意异于z₀的点.设rho;表示

点z₀与z₁间的距离.若用C_p记以z₀为圆心且经过点z₁的正向圆周|z-z₀|=rho;(图68)，

由柯西积分公式可得

(1)

又因C_p的参数表示为

z = z₀十rho;e^itheta; （0le;theta;le;2pi;），

故(1)可以写成

(2)

从(2)式可见当函数在一个给定圆周上及其内解析时，它在圆心的值是它在圆周上的值的

算术平均值.这叫做高斯均值定理.

从(2)式可得

(3)

另一方面，由于

|f(z₀十rho;e^itheta;)|le;|f(z₀)| （0le;theta;le;2pi;）， (4)

我们得到

因此

明显由不等式(3)和(5)可知

或

最后一个积分中的被积函数是theta;的连续函数；且由条件(4)在整个区间0le;theta;le;2pi;上都非负. 由于积分值为零，故被积函数恒为零.就是

|f(z₀十rho;e^itheta;)|=|f(z₀)| （0le;theta;le;2pi;）. (6)

这表明|f(z)|=|f(z₀)|对圆周|z-z₀|=rho;上的所有z都成立.

最后由于z₁是空心邻域0lt;|z-z₀|lt;ε内任意一点，可见对任意0lt;rho;lt;ε，圆周|z-z₀|=rho;上的点z都满足|f(z)|=|f(z₀)|．所以|f(z)|=|f(z₀)|在|z-z₀|lt;ε内处处成立.根据24节练习7(b)知当解析函数在区域中模为常数时，函数也为常数．因此f(z)=f(z₀)在这个邻域中都成立，引理得证.

利用这个引理就可以证明下面的最大模原理.

定理 如果函数f在给定区域上解析且不为常数，那么|f(z)|在D内取不到最大值，

即不存在D内的点z₀使得|f(z)|le;|f(z₀)|对D内所有点z都成立．

给定f在D内解析，我们假设|f(z)|在D内一点z₀处取得最大值然后证明f(z)在D

内为常数.

这里所用的方式与26节中证明引理时是类似的．我们取D内的折线L来连接z与D内任意点P.用d表示L到D的边界的最小距离．当D是整个平面时，d可取任意正数.接着我

们在L上取有限个点

z_0,z_1,z_2,hellip;,z_n-1z_n

使得z_n与点P重合且

|z_k-z_k-1|lt;d (k=1,2,hellip;,n).

设N_k为以z_k为中心，半径为d的圆邻域，那么就得到一些圆域(图69)

N₀，N_l，N₂，hellip;，N_n-1，N_n，

这些圆域都包含在D内且N_k(k=1，2，hellip;，n)的圆心在N_k-1．

由于假设f(z)在D的z₀达到最大值，所以那也是在N₀的最大值点.那么f(z)在N₀上

为常数f(z₀).特别地，f(z₁)=f(z₀).这意味着在N₁内处处有|f(z)|le;|f(z₁)|；再次应用引理可得当z为N₁内点时

f(z)=f(z₁)=f(z₀).

因为z₂在N₁内，那么f(z₂)=f(z₀) .于是当z在N₂时就有|f(z)|le;|f(z₂)|；再次应用引理得当z属于N₂时，

f(z)=f(z₂)=f(z₀).

如此继续下去我们就得到在N_n内有，f(z_n)=f(z₀).

注意到我们假设z_n= P为D内任意不为z₀的点，所以我们得到在D内处处有f(z)=f(z₀).定理得证.

如果函数f在一个有界闭区域R内解析且在R上连续，那么|f(z)|在R上可取到最大

值(17节).即存在一个非负常数M，使得对R中所有点z都有|f(z)|le;M，且等号能在R

上至少一点处成立.如果f是常值函数，那么在R内所有点都有|f(z)|=M.如果f(z)不

是常数，那么根据最大模原理，在R的内点z处有|f(z)|ne;M.我们就得到了最大模原理的

一个重要推论.

推论 设f在一个有界闭区域R上连续且在R内部解析不为常数， 那么|f(z)|总会在

R的边界某点处达到最大值.

例 令R表示矩形区域0le;xle;pi;，0le;yle;1.由上面推论整函数f(z)=sinz的模在R的最

大值在边界某处可达到.这可以直接通过计算来验证（见33节）

注意sin²x工当x=pi;/2时最大而sin²hy当y= l时最大.所以|f(z)|在R的最大值在边界点z=

(pi;/2，1)处取得，在R中无其他点取此值(图70).

当推论中的函数f写成f(z)=u(z，y) iv(z，y)，函数u(x，y)在上调和（见25节）有最大值并且最d大点只可能在R的边界上.这是由于复合函数g(z) =exp[f (z)]在R上连续且在其内部不为常数.所以|g(z)|=exp[u(x，y)]在R上连续且在边界上取得最大值.

根据指数函数的单调性就可得u(z，y)在边界上取得最大值.

|f(z)|和u(z，y)的最小值的性质将在练习中给出.

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外文文献出处： James Ward Brown Ruel V. Churchill（美）《复变函数与应用》机械工业出版社（英文版·第7版）pp125-129

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