素数 （2）

2.1 第二定理的第一个证明

自己对定理4给出的证明如下。

设是不大于的所有素数组成的集合，并令

（2.1.1）

则不能被中任何一个数整除，于是要么是一个素数，要么可以被介于和之间的某个素数整除。无论哪一种情形都会有一个大于的素数存在，这就证明了该定理。

该定理等价于

（2.1.2）

2.2 方法的更进一步的推论

如果是第个素数的定义与（2.1.1）式中的相同，那么显然，对有

从而有

这个不等式使我们能对的增长速率给出一个上限，并对的增长速率给出一个下限。

然而，我们可以得到如下更好的界限，假设对有

（2.21）

那么 方法就给出

（2.2.2）

由于（2.2.1）对为真，从而它对所有也为真。

现在假设且

那么就有

于是，根据（2.2.1）式就有

由可推出：对有

显然此不等式对也成立，于是就证明了：

定理10：

这样就超越了定理4，得到了的阶的一个下限。当然这个下限太小，因而不大合理。例如，根据此不等式它对才给出而此时实际上的值已超过 了。

2.3某种算术级数中的素数

方法还可以沿另外的方向发展。

定理11 存在无穷多个形如的素数。

我们不用（2.1.1）式，而改用

来定义数，那么就是形如的数，且它不能被不超过的任何素数整除。它也不可能仅仅是形如这样的素数的乘积，这是因为两个形如的数的乘积仍然是

一个形如的数。于是它一定能被一个大于且形如的素数整除。

定理12 存在无穷多个形如的素数

证明是类似的。用

来定义，并且注意到，除了2和3以外的任何素数都形如或者形如，且两个形如的数的乘积仍是一个形如的数。

证明形如的素数的无穷性要更困难一些。我们需要假设后面（20.3节）要证明的一个定理的真实性。

定理13 如果和没有公约数，那么的任何奇数因子都必定形如。

如果事先假设这个定理成立，就能证明存在无穷多个形如的素数。事实上可以证明

定理14 存在无穷多个形如的素数。

取

这是两个没有公约数的平方数之和。奇书的平方是

这是一个形如的数，故而是一个形如的数。根据定理13，的任何素因子均形如，也即均形如或者，而形如的两个数的乘积仍然是一个形如的数，这样就可以和以前一样完成证明了。

所有这些定理都是著名的定理的特殊情形。

定理15（定理） 如果是一个正数，且和没有除了1以外的公约数，那么就有无穷多个形如的素数存在。

这个定理的证明过于困难，不适合放在本书中。而当等于1或者-1时则有较为简单的证明。

2.4定理的第二个证明

定理4的第二个证明（该证明由）依赖于所谓的“数”的一个性质。

数定义为

于是有

数在很多方面都令人感兴趣：比方说，曾经证明过，如果是一个素数，那么边数为的正多边形可以用的方法内切到一个圆的内部。

与这里的问题有关的数的性质如下。

定理16 任何两个数都没有大于1的公约数。

假设和是两个数，且

如果，就有

从而有于是就有

这就给出但由于是奇数，从而这就证明了定理。

由此推出，中的每一个数都能被一个奇素数整除，且整除其中某一个数的奇素数必不能整除这组数中其他任何一个数。这样就至少有个不超过的奇素数存在，而这也就证明了的定理。我们还有

显然，由这个不等式[它比（2.2.1）式要稍强一点]可以导出定理10的一个证明。

2.5数和数

前4个数都是素数，曾猜想所有的数都是素数。然而

在1732年发现

是合数。因此既整除又整除从而它也整除这两个数的差

1880年证明了

最近有数学工作者证明了对于

以及的许多更大的值，都是合数。尚无已知的因子，而对于所有其余已证明了是

合数的数 都有一个因子是已知的。

在之后没有发现过取素数值的，于是猜想一直未能被证明是一个成功的猜想。很有可能取素数值的的个数是有限的。如果事实确实如此，那么取素数值的就是有限的，这就因为容易证明下面的定理。

定理17 如果且是素数，那么必为偶数且

因为如果是奇数的话，就是偶数。又如果有一个奇数因子且那么可以被整除：

将猜想和另一个著名猜想的命运加以比较是很有意思的，这个猜想说的是形如的素数。我们首先给出另一个与定理17几乎同一类型的平凡定理。

定理18 如果且是素数，那么且为素数。

因为如果，那么就有又如果且那么就有

这样一来，判断是否素数的问题就归结为判断是否素数。1644年曾断言：对

都是素数，且对另外的44个小于257的的值，都是合数。结论中的第一个错误是在大约1886年被发现的，那一年发现了是素数。其后在的结论中又发现了4

个错误，因此对他的结论不再需要认真对待了。1876年发现了一个方法来测试是否素数，并用此方法证明了是素数。这个数直到1951年都仍然是已知最大的素数，而在1951年用不同的方法发现了一个更大的素数（仅用到一台台式计算机），而（他们用到剑桥的电子计算机）则发现了若干个打素数，其中最大的一个是

这个数大于得到的那个数。但是的判别法特别适用于在二进制的数值计算机上使用。后来又在（

以及最后是等人的）一系列的研究中得到了应用。现在已知对

皆为素数，而对中所有其余的均为合数。最大已知的素数是

它是一个位的数。

15.5节将描述的判别法，并给出一个在定理101中所用的判别法。

数的问题与“完全数”问题有关，16.8节中会考虑完全数问题。

我们还会在6.15节和15.5节中再次回到这个论题。

2.6定理的第三个证明

假设是前个素数，令是不超过且不能被任何素数整除的数的个数。如果把这样的表成形式

其中是“无平方因子数”，即它不能被任何素数的平方整除，这样就有

其中每一个的取值或者为0或者为1.的指数恰有种可能的选择，于是有不多于个不同的值。此外，从而有不多于个不同的值。故有

（2.6.1）

如果定理4不真，那么素数个数就是有限的，设所有素数为此时对每个有因此

而这对是错误的。

可以用这个方法来证明两个进一步的结果。

定理19 级数

（2.6.2）

是发散的。

如果该级数收敛，可以选取使得第项以后的余项小于，也就是说

满足且能被整除的数的个数至多为因此（它是满足且能被中一个或者多个数整除的数的个数）不多于

于是，根据（2.6.1）式就有

这对是错误的，从而该级数发散。

定理20

取从而

取对数就得到定理20的第一部分。如果令则有定理第二部分结论立即得出。

根据定理20有这仍然是一个远低于实际结果的数。

2.7关于素数公式的进一步结果

暂时回到1.5节中提出的问题。可以寻求各种意义下的“素数公式”。

（i）可以寻找一个简单函数使它取所有的素数值且仅取素数值。也就是说，当取值为时，该函数连续取素数值这是1.5节中讨论过的问题。

（ii）可以寻找的一个简单函数，它只取素数值。的猜想如果正确的话，那就会给出此问题的一个答案。而现在的情况是还不知道是否会有令人满意的答案。但是有可能构造出一个（多一个正整数变量的）多项式，尽管这个多项式所取的负值和合数，电脑它所取的正值全都是素数且包含了所有的素数。见附录2.

（iii）可以适当降低要求，仅仅来求的一个简单函数，它取无穷多个素数值。由定理得知，就是这样一个函数，关于这个问题的不太显然的答案由定理11至定理15给出。除了平凡的解之外，定理15是已知的仅有解答。迄今尚未能证明

或者的任何一个另外的二次式能表示出无穷多个素数，所有这样的问题看起来都极其困难。

有一些简单否定的定理，它们包含了对于问题（ii）的很不完全的回答。

定理21 不存在任何非常数的整系数多项式它能对所有或者对所有充分大的都取素数值。

可以假设的首项系数是正的，于是当时就有，且比方说对还有成立。如果且

那么，对每个整数

都能被整除，并且当趋向于无穷时也趋于无穷。从而可以取到无穷多个合数值。

有这样的二次式存在，它对的一列相当长的值都取素数值。例如 对于都取素数值，而

则对都取素数值。

一个更为一般的定理（6.4节中将证明它）是

定理22 如果

是它的变量的一个整系数多项式，且当时有，那么对无穷多个的值，都取合数值。

2.8 关于素数的未解决的问题

1.4节陈述了两个猜想式的命题，没有人知道它们的证明，尽管数值证明表明它们很可能是正确的。还有许多其他的同类猜想。

存在无穷多个形如的素数。更一般地，如果是没有公约数的整数，是正数，不全是偶数，且不是完全平方数，那么就有无穷多个形如的素数存在。

2.7节（iii）已经 讨论过。如果有公约数，显然在规定形式的数中最多只有一个素数存在。如果两者均为偶数，那么始终是偶数。如果，那么

这样一来，如果是素数，那么要么要么整除，而这只能对的至多有限多个值为真。因此猜想中所说的限制条件是至关重要的。

之间总有素数存在。

如果是偶数，那么个奇素数之和。

这就是“”。

如果是奇数，那么个奇素数之和。

从某个数开始往后的所有要么是一个平方数，要么是一个素数和一个平方数之和。

这个结论并不是对所有的都为真，比如34和58就是例外。

一个更加值得怀疑的猜想（2.5节中曾经谈到过它）是：

素数的个数是有限的。

2.9整数模

现在给出在1.3节中未给出的定理3和定理2的证明。另一个证明在2.11节中给出，第三个证明在12.4节中给出。在本节中，整数指的是正的或者负的有理整数。

这个证明与数的“模”这个概念有关。模指的是一个数系，中任何两个数的和与差也是中的元素，也就是说，

（2.9.1）

一个模里面的数不一定是正数或有理数（它们也可以是复数，或者四元数），不过这里我们只关心整数的模。

单独一个数0构成一个模[零模（）]。

由的定义推出

重复这个方法，我们看出，对任何（正的或负的）整数有更一般地，对任何整数有

（2.9.2）

另一方面容易看出，如果给定的值组成的集合就作成一个模。

显然，除了零模以外，任何模都含有正数。假设是中的最小正数，如果是中任何一个正数，那么对所有的如果是被除得到的余数，且

则有既然是中的最小正数，故有于是就得到

定理23 除了零模以外，任何模都是某个正数的整倍数组成的集合。

定义两个不全为零的整数和的最大公约数（）：如果是能同时整除和的最大正整数，记为

于是有可以用同样的方法定义任意一组正整数的最大公约数

对整数形如

的数组成的集合是一个模，根据定理23，它是某个正数的倍数组成的集合。由于整除中的每一个数，所以它必整除和，于是

另一方面

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