将几何画板融入中学几何课程的教学研究外文翻译资料

将几何画板融入中学几何课程的教学研究

原文作者 Margaret W. Groman

摘要：几何画板是用来帮助学生学习几何原理的互动几何软件。在的美国纽约的奥斯威戈的立大学里的中学数学课程中，老师尝试着利用几何画板使一个几何形状以一个动态的方式展现在学生眼前并进行授课。本文提供了如何利用几何画板的三个例子。传统的折纸和直尺和圆规通常是教给学生经常用到的预备步骤，几何画板提供的量度功能使我们可以建造一个任意三角形，然后点击并拖动它的顶点，然后变形的三角形就可以转换成许多不同的形状，直至我们需要的某些三角形的重要特征变得清晰明了。有的学生反应，在探究几何图形方面利用几何画板对我们的影响是非常积极的。甚至现在有许多人想购买几何画板的副本为自己个人使用，或者在他们的教学中使用。通过几何画板的展示，学生和老师学会了用多媒体软件来测检验和测试他们的猜想。

关键词：几何画板；计算机；数学课程；动态几何

正文：

在我们纽约州立大学奥斯威戈的数学系里，开设了一些多媒体软件的课程，这些课程是对小学和中学阶段的教学有所帮助的。许多年以来，我们曾试图将现代教育技术融入到这些课程里面，并用科学技术补充到了一些课程的教学内容里面去。从基础教育课程专业使用的计算机语言标识，到绘制图形的早期计算机和计算微积分序列的计算器等等，有些部门认为计算机技术不应该“独立”，计算机或者说是多媒体软件可以用在数学上，甚至可以用在我们的数学课程上，使我们的数学课程更有意义和有趣。这些时间我一直在参与使用交互式几何软件，几何画板，并想就知道如何利用几何画板改变我的教学过程和我的教学方式作如下报告。

在以前的几个学期里，几何类的教学通常都是以一个相当传统的方式教的：例如定义给予，定理说明和定理证明三个基本方式。我们有在使用一个叫MIRAS的数学几何软件，用来模拟在一个平面的一些实验和利用一些设备来做一些实验类型的活动，例如折纸的实验，课程标准中规定的要求掌握的直尺和圆规作图活动等等。我经常向人介绍几何画板，因为几何画板对我们的帮助其实是非常大的，几何画板可以供我们以一个动态的方式来进行相关的数学教学活动。为便于说明几何画板带来的好处，我已经选定了三个例子来解释在使用几何画板过程中的前后差异。

任何一个三角形都有三种线，就是三角形的角平分线，中位数和它的高线。在我接下来列举的这个例子中，我们要求该角平分线是平分三角形中的三个角中的任意一个就行了。它的高线是通过任意一个顶点并垂直于相对侧的线，中线是从三角形顶点到相对侧的中点的线。我们将首先研究的是它的角度平分线，学生可以使用一些简单的折纸活动发现角平分线和各个角度之间的平分关系。在三角形ABC中把 AC边折叠过来和AB边重叠，这样就做出的折痕就是角的角平分线，在这之后，做出了一个角的角平分线之后，学生可以遵守相同的方法做出其他两个角的角平分线，你能发现所有三角形的三条角平分线是相交的，或者说它们含有一种共同的点。

命题1任意一个三角形的角平分线相交于一点。

我们可以通过折纸的方法验证这个命题，教师也可用传统的直尺和圆规作图的方式来验证，首先我们做出任意一个三角形，并做出它的三条角平分线。那么我们都可以发现，三条平分线的交点都是在三角形内部的点。那么在一个任何角度的三角形的三条角平分线都是相交的或者说学生没有使用“特殊”的三角形吗？如果我们要验证起来的话非常麻烦，但是如果我们使用几何画板的话结果就会非常方便。几何画板允许学生检查或者验证他们的猜想，我们可以很方便的构造任意角度三角形的三条角度平分线。那么具体的验证步骤如下，第一，构造一个任意的三角形，并使用几何画板做出这些三角形的三条角平分线，我们可以从学生的角度观察到这些平分线是相交的或者说是交于一点的，而且交点都是在三角形内部的。到目前为止，折纸可能无法实现我们的验证需要。但是几何画板允许学生单击并拖动学生要选定的顶点。然后我们拖动该顶点进行移动，在我们移动的同时可以看到三角形变形到不同的形状。然而，角平分线始终保持其为角平分线的状态，并且它们的交点，虽然改变位置，但依旧是原来角平分线的那个交点。在下面的图中，三角形ABC的C点被选中并拖动。角A，B和C的角平分线保持同步，但我们可以发现三角形三条角平分线的交点D点始终不变。利用几何画板来证明我们的，“三条角平分线的交点是在三角形内部的点”的猜想是如此的合理，并且有说服性。事实上，在我们未来的教学过程中，几何画板可以是我们用来向学生证明的一个强有力的武器，通过几何画板的呈现，许多的问题都不再是问题。

此外，我们可以利用画板的量度选择，学生可以测量每个三角形角平分线的交点点D到三个边的的距离。如上图所示，在任意一个三角形中，它的距离是恒定的。这一观察允许学生以直观的方式来角平分线的点到角侧面两条边是等距的。因此，如果点D为角A的角平分线上的任意点，那么从D到AB段的距离等于从D到AC段的距离。另外，如果D点是关于角B的角平分线的任意点，那么从D到ＡＢ段中的所述距离等于从D到ＢＣ段的距离。我们使用几何画板就可以已经允许学生“发现“这一命题，测试它，并验证它是否合理，几何画板已经是指向一个证明的重要方式和手段。

类似的结果可以用在一个三角形的高线。

命题2一个三角形的高线是相交的。

同样的方法在这里可以被使用。我们可以通过折纸的方法验证这个命题，教师也可用传统的直尺和圆规作图的方式来验证，学生可以到计算机实验室用几何画板画电子草图来测试。我们有直观的体验，如果我们用纸张折叠和直尺和圆规作图的方式确实不如用几何画板来的方便便捷，尽管可能我们的一些未来老师还没有进入过用动态几何软件来进行教学的教室，对几何画板还不是很熟悉。一个关于几何画板的调查的结果如下。

我们可以要求学生去发现，有没有可能三条高线交于三角形外的一点如果三条高线交于三角形外的一点时，那么这是个怎样的三角形呢？这个例子的验证难度可能有点远高于命题1的验证。利用常规作图工具直尺和圆规，学生可能会幸运的得到可能其中共同的点是在三角形外部的，但学生将如何知道是在哪种特别的三角形里？这时候，几何画板就能提供我们这一平台，做一个三角形，然后点击拖动顶点，然后变形的三角形就可以转换成许多不同的形状，并拖动一个顶点，我们不断地变换，直到该三角形的重要特征变得清晰（如果三条高线交点交于三角形内部，那么当且仅当所有的三个角测量都小于90度。），由此可见，几何画板扩展了我们可以进行调查的材料。

最后，我们可以利用几何画板研究我们熟悉的撞球问题。在图3中，学生要求给出定点X到三角形三个顶角的距离的总和，从A到X和从X到B的最低限度。实际上，在题中的问题是要找到反弹点点A的位置，这样它会弹击中球B.发现点X为学生找到的最佳位置后，打印出它们的草图，根据几何知识，解释为什么他们发现的X点的位置是最佳的。我们也可以通过测量和利用几何画板计算工具找到位置点X。如把点X上下移动用来观察距离总和的变化。那么现在的问题变得有趣了，有什么特别之处可以用来定位位置？你会如何​​形容这个几何位置？你怎么能找到它在不使用几何画板的情况下？许多学生发现这些问题很难。一些同学注意到，当X是最佳位置时，角CXA的量度等于角度DXB的量度。但是，这还不是学生找到证明为什么这个位置是最佳的最佳位置的证明或方法。

学生在研究几何形状的问题方面使用几何画板所带来的反应是非常积极的。许多人想购买该软件的副本为自己的人员使用，并供他们教学经验的使用。学生和老师学会了使用这一软件来测试猜想和结构。我们可以通过使用画板来进行问题的定理或证明过程，在接近理想的情况下，让学生构建自己的数学理解。我作为一个教师，成为了几何画板的研究者之一。

外文文献出处：谷歌网

附外文文献原文

Integrating Geometers Sketchpad into a Geometry Course for Secondary Education Mathematics Majors

Margaret W. Gorman

Department of Mathematics State University of New York, College at Oswego

Oswego, New York 13126

315-341-3030Groman@Oswego.oswego.edu

Our Mathematics Department at SUNY Oswego offers a significant number of courses to prospective teachers, at both the elementary and secondary level. Over the years we have attempted to integrate technology into these courses where ever the technology complements the mathematics content of the courses. From the use of the computer language LOGO in courses for elementary education majors, to graphing calculators in the precocious and calculus sequence, the department has had the opinion that technology should not 'stand alone', but be used in a meaningful manner in the mathematics courses. Most recently I have been involved in the use of the interactive geometry software package, Geometers Sketchpad and would like to report on how the use of Sketchpad has changed the way I teach the course.

In previous semesters the geometry class was taught in a fairly traditional manner. Definitions were given, theorems stated and proved and problems assigned and corrected. We dido some laboratory type activities using MIRAS, a device used to do reflections in a plane, garboards, paper folding and of course standard ruler and compass constructions. The introduction of Sketchpad allowed us to continue these activities in a dynamic manner. For purposes of illustration I have selected three examples to explain the differences in the course, before and after Sketchpad.

Associated with any triangle are three sets of lines the angle bisectors, the medians and the altitudes. The angle bisector is the line that bisects one of the three angles in a triangle. The altitude is a line through a vertex and perpendicular to the opposite side, and a median is a line formal vertex of a triangle to the midpoint of the opposite side. We will consider angle bisectors first. Students can use something as simple as paper folding to discover a relationship between the angle bisectors. In triangle ABC side AC is folded over to lie on side AB and the paper is creased. When unfolded the paper crease represents the bisector of angle A. After doing the same for the other two angles the student observes that all three bisectors are concurrent, or contain a common point. Letups state this result as

Proposition 1 the angle bi

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