LU分解外文翻译资料

LU分解

（1）

在线性代数中，LU分解是将矩阵分解为一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积的形式。有时这个乘积中还含有置换矩阵。这种分解主要应用在数值分析求解线性方程组和计算矩阵的行列式这两个方面。LU分解可以看作是高斯消元法的矩阵形式。LU分解是有数学家Alan Mathison Turing发现的。

定义：假设矩阵A为一个方阵，那么它的LU分解形式如下：；

其中L和U分别是下三角和上三角矩阵，并且它们的阶数相同。这意味着L矩阵对角线以上的元素都是0，同样的U矩阵对角线以下的元素都为0。对一个矩阵，分解形式如下：

LDU分解的分解形式如下：

其中D是对角矩阵，L和U是单位三角矩阵。即L和U的对角线上元素均为1.。

LUP分解的分解形式如下：

其中L和U分别为下三角和上三角矩阵，P为置换矩阵，即是P是一个由0和1组成的矩阵，并且它的的每一行恰有一个 1，每一列至多一个 1。

一个充分消元的LU分解形式如下：

存在性和唯一性

可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都是非零子式。若其中L矩阵（或U矩阵）是一个单位三角矩阵，那么我们说这个分解是唯一的。同理可知矩阵的LDU分解也是唯一的，证明其唯一性的条件相同。

如果矩阵不可逆，它的LU分解依旧可能存在。实际上，对于一个秩为k的矩阵，如果它前k个顺序主子式都不为零，那么这个矩阵就可以进行LU。反之不然。

任意域上的一个方块矩阵可以进行LU分解的充分必要条件已被发现，这些充分必要条件可以用某些特定子矩阵的秩来表示。高斯消元法来求解矩阵的LU分解的算法可以扩张到任意域上。

任意矩阵都可以进行进行LUP分解。

正定矩阵

如果矩阵A是埃尔米特矩阵，并且是正定矩阵，那么我们我们可以发现矩阵U是L的共轭转置。在这种情况下，A的分解可以写成如下形式。

这样的分解我们成为Cholesky分解。对于任意正定矩阵，Cholesky分解存在且唯一。此外，相较矩阵的LU分解而言，Cholesky分解更加便捷，并具有更高的数值稳定性。

具体的表达式

由于矩阵的LDU分解存在并且唯一，对于给定的矩阵，我们可以相对应地给出相应的三个矩阵L，D和U的具体表达形式。表达式由A的主子式之比构成（A的主子式不为零），为矩阵A第i个顺序主子式与第i-1个顺序主子式的比值(其中)。。

算法

LU分解本质上还是高斯分解的一种形式。我们通过初等变换把矩阵A转化成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。Doolittle算法即将矩阵左乘一系列单位下三角矩阵，由此我们得到一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵。克劳特分解稍有不同，即构造一个下三角矩阵和一个单位上三角矩阵。

这类算法的复杂度一般在，对于充分消元分解法则不然。

杜尔利特算法

对于给定的矩阵，我们假定。

接着，我们定义的情况如下：

在第n步，消去矩阵的第n列主对角线下的元素：将的第n行乘以之后加到第i行上去。其中。这相当于矩阵的左乘一个单位下三角矩阵:

假设

经过N-1轮操作后，所有主对角线以下的元素都变成0，由此，我们得到一个上三角矩阵。故得到以下下列分解：

这时矩阵就是矩阵U，。下三角矩阵的逆依然是下三角矩阵，而且下三角矩阵的乘积依旧是下三角矩阵，故矩阵L是下三角矩阵。

于是我们得到分解：。显然，要是算法成立，在每步操作时必须有。如果这一条件不成立，就要将第n行和另一行交换，由此就会出现一个置换矩阵P。这就是为什么一般来说LU分解里会带有一个置换矩阵的原因。

克劳特和LUP算法

LUP分解也叫做克劳特分解，具体分解算法如下：

1. 若矩阵第一行含有非零项，那么选取一个置换矩阵使得左上角含有非零项。否则，选取单位矩阵，使得矩阵。

1. 删除矩阵的第一行和第一列得到矩阵，。在矩阵的上方加上一行零向量，并在其左侧加上矩阵的第一列向量，将得到的新矩阵记为矩阵L。

1. 对矩阵机型如下变化：在其上方和左侧分别加上一行和一列零向量，接着，将其左上角（值为0的地方）用1中的式子替换。通过这一系列变换，我们将得到的矩阵记为。同理，我们可以对进行类似变换得到。并定义。其中P为矩阵的逆矩阵。

1. 在这一点上和是相同的。如果矩阵A的第一行是0，那么。如果都含有零向量，那么。否则和在矩阵的左上角含有相同的非零项。并且。为单位上三角矩阵。故。

（2）

解决方程组问题的一种方法是使用高斯约旦迭代模型，另一种方法是LU分解，这种分解包含两个矩阵，一个是上三角矩阵，一个是下三角矩阵。首先，我们解释怎么样找到一个LU分解。

*在寻找LU分解中的提示

1 .行交换是不允许的。如果进行了行交换，那么这个矩阵的LU分解不存在。

2. 在使用高斯消元法的时候，没有必要使主元素在主对角线上，然而，在某些矩阵中则推荐得到主元素以便更好的进行行运算。

3.通过高斯消元法来寻找一个LU分解时要将所有的行变换都考虑在内。通过行变换，我们将找到下三角矩阵。

4.矩阵的LU分解并不是唯一的，每个矩阵至少有一种LU分解的分解方法。

为了得到矩阵U，我们对矩阵进行行变换，直到得到一个上三角矩阵。

为了得到矩阵L，我们从一个单位矩阵开始，并遵循以下规则：

任意行运算涉及在一行元素上加上另一行元素的多倍的值。例如：，我们把的值放在单位矩阵的第行，列。

任意行运算涉及将一个主元素放在主对角线上，例如：，单位矩阵的主元素位置上的值为。

例：找到下列矩阵的一种LU分解。

1. 通过高斯消元法求上三角矩阵U。

1. 对于L矩阵，我们采用上面所提及的规则进行行运算。

因此，我们得到矩阵的LU分解为：

接下来我说明如何使用LU分解来求解方程组问题。

利用LU分解法求解方程组的步骤：

1. 列出等式.

1. 找出矩阵A的一个LU分解。这将产生方程组

1. 令。求解等式，得到y的值。

1. 把y的值代人等式，得到x的值。由此，我们得到方程组的解。

例:用LU分解法求解下列方程组

1. 建立方程.

2、找到矩阵A的LU分解，这将产生方程

注记：我们之前已经给出了矩阵A的LU分解，分解如下：

因此，

并且有

3、令

求解y的值。求解等式，得到y的值。

其中

接下来，求解方程得到y的值

4、把y的值代人等式，得到x的值。

因此，我们得到这个线性方程组的解围

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