基于Newton-Cotes公式的积分近似计算外文翻译资料

基于Newton-Cotes公式的积分近似计算

摘要：许多积分都无法用解析法求出，如：，这个积分在概率统计中经常出现，积分的值通常用列表给出。对于这类积分，只能用近似计算方法来计算积分值。在此给出Newton-Cotes公式的三种具体形式，梯形公式，Simpson公式，Cotes公式，以及复合求积法得出的复合求积公式。

关键词：数值求积； 复合求积； Newton-Cotes公式；

近似积分有许多解析技术。在定积分

（1）

中，可以先将进行泰勒或其他级数展开，然后逐项进行积分从而得到关于积分的一个级数。但这里所讨论的大多数积分方法都具有加权平均公式的形式

（2）

其中为权，为节点（不一定全在中）。不同的权和节点可以定义不同的积分方法，数值积分技术也称为数值求积方法。

实际上在微积分中我们已经接触过某些数值积分方法，其中包括中点公式

（3）

（），这个公式是用常数，即的，而梯形公式

（4）

（），则是用在区间上的线性插值来近似的。从几何上看，中点公式是用矩形近似下面的区域，梯形公式是用梯形近似下面的区域。

例5.1.1 考虑。通常可以用误差函数

（或其他类似的特殊函数）计算积分的值。利用误差函数（对所有的都有效），即的值可以由误差函数得到，误差函数的值可以直接计算，而不必采用数值求积。（如使用样条。）这里用中点公式和梯形公式近似。区间中点，由中点公式

（5）

由梯形公式

（6）

若取4位小数，则积分的真值为0.8427（用MATLAB的erf函数）。这个函数在积分区间上的线性插值位于函数的下方。

除了这两个公式以外，还有许多近似积分公式。这实际上是一组公式，它们都是用插值多项式来近似，然后对多项式进行积分所得到的，中点公式和梯形公式也属于这类公式。也就是说先在积分区间上用

（7）

近似，然后使用公式

（8）

其中常数依赖于节点，积分上下限以及在某些点上的值。由的多项式插值的积分所构成的公式称为插值型公式，如果节点是等距的，则称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。

梯形公式是通过节点上的一次插值得到的牛顿-柯特斯公式。4.1节曾将插值写成

（9）

的形式，其中

（10）

（11）

是拉格朗日插值多项式，这样

（12）

与（4）一致。对于（3），权，节点。

下面详细讨论一下牛顿-柯特斯公式，实际上在这个公式中取及或者要求所有节点都包含在中是没有必要的（一般并不假定在区间外是已知的）。如果且，则称为闭牛顿-柯特斯公式（个点）。梯形公式是闭的但中点公式则不是，中点公式在上只有一个节点，闭牛顿-柯特斯公式的个点将分成个子区间。

用4.1节中的方法很容易得到个点上的闭牛顿-柯特斯公式。由于插值

（13）

其中，，所以

（14）

其中权

（15）

的计算并没有简单的公式，只能通过多项式的定积分得到。对于梯形公式，。设

（16）

为区间中每个小区间的长度，梯形公式的权威。

对于不同的可以将的值用列表给出，常用的闭牛顿-柯特斯公式为辛普森（Simpson）公式

（17）

（），辛普森公式

（18）

（）以及布尔（Boole）公式（或米尔尼（Milne）公式）

（19）

（）。这些公式中的由（16）给出。虽然公式中的系数都是正的，但对于更高一些的的符号也可能是正负混合的，同时系数也会越来越大。

在积分区间很大时可以将积分分成在小一些区域上积分的和并利用

（20）

然后在这些小区间上使用求积公式，这种方法称为求积公式的复化（或复合）形式，前面所使用的都是简单形式。以前我们是用节点将区间进行分割，但这里是在几个点上使用简单公式。若取，则复化梯形公式为

（21）

如果是偶数，则复化辛普森公式为

在这些公式中在端点上的权比在内部节点上的权小，复化辛普森公式的权比复化梯形公式的权小。端点信息的可靠性往往比较差——虽然我们知道函数在左右两边的情况，但并不知道函数在左边情况——因此端点的权要小一些。

外文文献出处：

Jeffery J.Leader.Numerical Analysis and Scientific Computation[M].Beijing：Tsinghua University publishing company.2008.8：298-307

外文文献原文附后

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

英语原文共 13 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[286845]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word