勾股定理

StephanieJ.Morris DepartmentofMathematicsEducation

勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。他在数学上有许多贡献，虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡献。据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。后来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的追随者。他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。因此2的平方根被认为是不合理的，他们就尝试了知识压制。它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。

毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。毕达哥拉斯定理指出，

对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和

图1

根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和A和B，等于蓝色的正方形面积，正方形三区

因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是：

对于一个直角三角形的边长a，b和c，其中c是斜边长度。

虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理，但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉斯早一千年。现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。如果用欧几里德的算法使用，很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容：

“一个大广场边a b是分成两个较小的正方形的边a和b分别与两个矩形A和B，这两个矩形各可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线c。四个三角形可安排在另一侧广场a b中的数字显示。

在广场的地方就可以表现在两个不同的方式：
1。由于两个长方形和正方形面积的总和：

2。作为一个正方形的面积之和四个三角形：

现在，建立上面2个方程，求解得

因此，对c的平方等于a和b的平方和（伯顿1991）
有许多的勾股定理其他证明方法。一位来自当代中国人在中国现存最古老的含正式数学理论能找到对Gnoman和天坛圆路径算法的经典文本。
这勾股定理证明是一个鼓舞人心的数字证明，被列入书Vijaganita，（根计算），由印度数学家卜哈斯卡瑞。卜哈斯卡瑞的唯一解释是他的证明，简单地说，“看”。
这些发现证明和周围的几何定理的毕达哥拉斯是导致在作为Pythgorean数论问题的最早的问题之一。

毕达哥拉斯问题：找到所有的边的长度为直角三角形边长的组成，从而找到在毕达哥拉斯方程的正整数所有的解决方案：

有三个整数（x，y，z）满足这个方程，则称为勾股数。
部分勾股数：
x y z
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61

该公式将产生所有勾股数最早出现在书欧几里德的元素x：

其中n和m是.正整数，且不同为奇数或偶数
在他的书中算术，丢番图证实，他能利用这个公式直角三角形，虽然他给了一个不同的论证。
勾股定理可在初中向学生介绍。在高中这个定理变得越来越重要。仅仅这样还不够，为勾股定理代数公式，学生需要看到的几何连接以及在教学和学习中的勾股定理，可丰富和通过使用增强点纸，geoboards，折纸，和计算机技术，以及许多其他的教学材料。通过对教具和其他教育资源的使用，毕达哥拉斯定理可能意味着更多的学生不仅仅是插上数字的公式。
以下是对勾股定理的证明包括欧几里德一个品种。这些证明，随着教具和技术提高，可以大大提高学生对勾股定理的理解。
下面是一个由欧几里德其中最有名的数学家之一证明的总结。这个证明可以在书欧几里德的《元素》中找到。
命题：直角三角形上斜边的平方等于在直角边的平方和。

图2

欧几里德开始在上面图2所示的毕达哥拉斯配置。然后，他建造了一个垂直线，从C做DJ就关于斜边垂线。这点H和G是本与斜边上的正方形的边垂足。它位于的三角形ABC的高。见图3。

下一步，欧几里德表明，矩形HBDG面积等于BC上正方形的和与矩形的HAJG正方形的面积关系。他证明了这些等式利用相似的概念，三角形ABC，AHC和CHB相似 ，HAJG面积=(HA)(AG),AJ=AB, HAJG面积=(HA)(AB), 三角形ABC与三角形AHC相似，即：

。

因此，

以同样的方式，三角形ABC的和CHG是相似的。所以

即

由于这两个矩形的面积之和，是对斜边正方形的面积，这样就完成了证明。
欧几里德急于把这个结果在他的工作尽快得出结果。然而，由于他的工作与相似联系不大，直至图书第五和第六，他必须与另一种方式来证明了勾股定理。因此，他采用平行四边形的结果是相同的基础上翻一番，并在同一平行线之间的三角形。连接CJ和BE。

矩形的AHGJ面积是三角形JAC面积的两倍，以及ACLE面积是三角形BAE面积的两倍。这两个三角形全等采用SAS。在同样的结果如下，为其他类似的方式长方形和正方形。（卡茨，1993年）

在中学阶段，我们主要学习的简单几何有三角形，平行四边形，菱形，矩形（正方形），梯形等。

同样在学习这些几何的同时，往往也是与代数方面相结合的。比如告诉一个三角形是直角三角形，我们马上得到三边的一个关系式，而反过来告诉三边的关系式也要能判定这个三角形是什么三角形。

例如：有一个△ABC的三边长分别为（m、n属于正整数，且mgt;n）.试求△ABC的面积（用含m、n的代数式表示）。

分析：已知三角形的三边求面积，很多同学都会觉得无从下手，或者用“海伦公式”计算，但计算复杂。反过来再仔细审题，通过观察这三条边，发现这三条边应该有着某种代数关系，所以代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：

,也就是说，△ABC的三边满足勾股定理，也就是说△ABC是一个直角三角形，而且能明确出哪两条边是直角边，进而直接算出三角形的面积。

所以我们知道这里运用的勾股定理证明垂直是常见的数形结合的例子。除此之外，在其他几何中也有诸多数形结合的例子。
点击这里，普惠制动画来说明这方面的证据。
接下来的三个证据更容易看到了毕达哥拉斯定理证明，将高中数学学生的理想选择。其实，这些都是可以证明，学生可以自己在某个时候兴建。
第一次证明是以一个长方形被分成三个三角形开始的，每一块三角形包含一个直角。这个证明可以通过地懊恼技术的使用来观察，或者把它裁剪下来。

可以看见绿色的三角形和红色的三角形可以完全吧蓝色三角形覆盖。现在，我们可以给出勾股定理的证明用过使用相同的三角形。

证明：

1、比较三角形1和3.

角E和角D，都是直角在三角形中，通过比较他们的相似点，我们有

AC/BC=AD/EC

而且从图形6，BC=AD.所以

AC/AD=AD/EC

通过交叉相乘，我们得到：(AD)^2=(AC)(AE) 等式1

2、比较图形2和3

通过比较图形2和3的相似点，我们得到：AC/AB=CD/AE

从图形四，AB=CD。通过替代，AC/CD=CD/AE

交叉相乘有：（CD）^2=(AC)(AE) 等式2

最后，结合等式1和2，我们得到：(CD)^2 (AD)^2=(AC)(AE) (AC)(EC)

(CD)^2 (AD)^2=(AC)((AE) (EC))

从图形三知道：AC=AE EC

所以(CD)^2 (AD)^2=(AC)(AC)，即(CD)^2 (AD)^2=(AC)^2

我们就证明了勾股定理。

下面的证明是另外一个以一个长方形开始的勾股定理的证明。它通过构造长方形CADE（其中BA=DA）。接下来，我们构造角BAD的角平分线交ED与点F。这样，角BAF就等于角DAF，AF=AF，BA=DA。所以，通过全等三角形的的判定可以得到，角ADF=角ABF。因为角ADF是一个直角，所以角ABF也是直角。

接下来，因为角EBF 角ABC 角ABF=180°，角ABF=90度，角EBF和角ABC互补，所以角EBF 角ABC=90度。我们同样知道：角BAC 角ABC 角ACB=180度。因为角ACB=90度，角BAC 角ABC=90度。所以，角EBF 角ABC=角BAC 角ABC，且角BAC=角EBF。

通过相似定理，三角形EBF和三角形CAB相似。现在，设K是三角形EBF和三角形CAB的相似比。所以，三角形EBF三边为ka,kb和kc .因为 ,FB =FD，FD=kc.同样因为另外对边也相等，b=ka kc,c=a kb。通过求解k,我们有 b/(a c)=(c-a)/b.通过交叉相乘，得到b^2=(a c)(c-a),所以a^2 b^2=c^2.这样我们就证好这个定理了。

根据上述所提，勾股定理的证明还可以被深入地挖掘和探索还可以通过勾股的外形带来的疑惑来证明。学生可以制造问题然后运用面积等方法来证明。这会是很大的联系因为这是个动手操作的活动。学生可以通过自己的努力来证明勾股定理。

这里例举的证明仅仅只是勾股定理证明中的一些例子。勾股定理是非常重要的方面给学生学习和理解。

外文文献出处：Department of Mathematics Education J. Wilson, EMT 669

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

英语原文共 19 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[286848]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word